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染色体遗传问题的数学建模论文染色体遗传问题的数学建模论文 一、问题的提出 随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，越来越重视遗传学的研究，特别是遗传特性的逐代传播，引起人们的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特性遗传给下一代，主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对确定后代所表现的特性。常染色体遗传中，遗传特性由遗传基因A和a来支配，当一个个体从它的亲本的每一个基因对中遗传一个基因，以形成自己的特殊的基于对时，会出现不同的情况。遗传的代数不同，基因分配也会不同。 有位农民的作物由三种可能基因型组成：AA ,Aa ,aa .分布如下： AA Aa aa AA-AA 1 0 0 AA-Aa 1/2 1/2 0 AA-aa 0 1 0 作物总体中的每种作物总是由基因型AA的作物来授粉，那么第n代总体中可能基因型的分布表达式会是什么呢？ 二、符号约定 a-第0代中AA所占比例 a(n)-第n代中AA所占比例 b-第0代中Aa所占比例 b(n)-第n 代中Aa所占比例 c-第0代中aa所占比例 c(n)-第n代中Aa所占比例 三、问题的分析 由于后代是各从父体或母体的基因对中等可能的得到一个基因而形成自己的基因对，故父母代基因对和子代各基因对之间的转移概率可知。 由于研究所采用的AA型植物与其他基因型植物相结合的方法培育后代，故第n代中AA型的基因的植物是由n-1代中的AA型和Aa型植物产生的；第n代中Aa型的基因的植物是由n-1代的Aa型和aa型产生的；第n代中没有aa型植物。由此分析，进行模型的选择，并建立模型。 四、基本假设 假设：令n=0,1,2,L。 a,bc设nn和n分别表示第n代植物中，基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分率。令x(n)为第n代植物的基因型分布: x(n)éanùú=êbnêúêëcnúû 当n=0时 x(0)éa0ùú=êb0êúêëc0úû 表示植物基因型的初始分布，显然有 a0+b0+c0=1 第n代的分布与第n-1代的分布之间的关系是通过上表确定的。 五、模型建立与求解 根据假设，先考虑第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型与AA型结合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为1/2，第n-1代的aa型与AA型结合，后代不可能是AA型。因此，当n=0,1,2,L时 an=1·an-1+bn-1/2+0·cn-1 即an=an-1+bn-1/2 类似可推出 an=cn-1+bn-1/2 cn=0 将式相加，得 an+bn+cn=an-1+bn-1+cn-1 根据假设，有 an+bn+cn=a0+b0+c0=1 对于式、式和式，我们采用矩阵形式简记为 x(n)=Mx(n-1),n=1,2,L 其中 é11/20ùéanùúêbú(n)M=ê01/21x=êúênúêêë000úû ëcnúû 式递推，得 x(n)=Mx(n-1)=M2x(n-2)=L=Mnx(0) 式给出第代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出M，我们将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角阵D，使 nM=PDP-1 因而有 Mn=PDnP-1,n=1,2,L 其中 él1Dn=êê0êë0这里0l20nél10ùê0ú=ê0úê0l3úûën0ln200ùú0úúln3û l1,l2,l3是矩阵M的三个特征值。对于式中的M，易求得它的特征值和特征向量: l1=1,l2=1/2,l3=0 é100ùé1ùé1ùé1ùúl=ê0úê-1úê-2úD=ê01/20l=l=123êúêúêúêúêêêêë000úû,ë0úû ë0úû ë1úû 因此P=l1所以-1l21ùé11úl3=ê0-1-2êúê1úë00û 通过计算P=P，因此有 x(n)=Mnx(0)=PDnP-1x(0) 01ùé1é111núê0=ê0-1-2êúê2ê1ú0ë00ûêë0x(n)即0ùé111ùéa0ùúúêbú0úê0-1-2êúê0ú1ú0úë00ûêëc0úû ûênn-1éanùé11-(1/2)1-(1/2)ùéa0ùú=ê0únn-1úê=êb(1/2)(1/2)bn0êúêúêúúêê00ëcnúûêû ë0ûëc0úéa0+b0+c0-(1/2)nb0-(1/2)n-1c0ùêú=ê(1/2)nb0+(1/2)n-1c0úêú0ëû 所以有 ìan=1-(1/2)nb0-(1/2)n-1c0ïnn-1íbn=(1/2)b0+(1/2)c0ïcn=0în(1/2)®0，所以从式得到 n®¥当时an®1,bn®0和cn=0 因此，得出结论：在极限的情况下，培育的植物都是AA型。 六、模型的进一步分析 在上述问题中，我们都选用了基因型AA的植物来授粉，但是实际情况中无法保证每次授粉的母体均是基因型AA，可以是完全随即的状态，所以在进行模型的进一步分析中，我们选择了另一种比较有代表性的结合方式来研究。这时我们不选用基因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合。即基因型为AA和基因型为AA的植物作为母体和父体，基因型为Aa基因型为Aa的植物作为母体和父体，基因型为aa和基因型为aa的植物作为母体和父体，那么后代具有三代基因型的概率如下表： 后 代 基 因 型 AA Aa aa AA-AA 1 0 0 父体母体基因型 Aa-Aa 1/4 1/2 1/4 aa-aa 0 0 1 并且x(n)é11/40ùúM=ê01/20êúêë01/41úû =Mnx(0)，其中M的特征值为l1=1,l2=1,l3=1/2 通过计算，可以解出与l1,l2相对应的两个线性无关的特征向量l1和l2，及与l3相对应é1ùé0ùé1ùúê0úê-2úl1=ê0l=l=23êúêúêúêêêlë-1úû ë1úû ë1úû 的特征向量3：P=l1因此l2é101ùúl3=ê00-2êúêë-111úû P-1é11/20ùú=ê111êúêë0-1/20úû x(n)=Mnx(0)=PDnP-1x(0) é101ùé10úê01n=ê00-2êúêêë-111úûêë00所以有 ùé11/20ùéa0ùê1úêbú0ú11úêúê0ú(1/2)núûêë0-1/20úûêëc0úû 0ìan=a0+(1/2)b0+(1/2)n+1b0ïbn=(1/2)nb0íïc=c+(1/2)b-(1/2)n+1b000înn(1/2)®0，所以从式得到 n®¥当时an®a0+(1/2)b0,bn®0和cn®c0+(1/2)b0 因此，得出结论：如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅具有基因AA和aa。 七、模型的评价与推广 数学模型是建立在日常的生产和生活中，对于本次关于常染色遗传的模型的建立过程和意义，对于人类的生活有重大意义。科技日益进步，人类的求知欲望日益强烈，对于大自然和人类生命科学中的一些知识都在进行深一步的挖掘和探索。 在常染色体遗传的问题上，对于农业生产和人类生存都是很重要的科学探究。当这一课题被攻破后，对于农业生产来说将是很有历史意义的一个里程碑。它标志着人类对于常染色体的遗传问题已完全掌握，可以根据需求来生产相关产品，对于国家来说也是一项重大的进步。 以上呈现给大家的模型我们必须承认有一定的局限性，因为没有做到最全面的可能性的预测，在已知的基础上，因为有限的知识了解和时间的限制，我们只讨论了另外一种情况，其他情况的分布我们并没有做完全深入的处理。是本模型的缺陷之一。但是就以上的模型而言，它是很有代表性的两种情况。对于它的评价在今后的生产工作中，我们可以根据自身的需要，用科学的方式进行选择，就本题而言，如果我们需要的是基因型AA的植物，我们可以根据母体和父体的选择，在最短时间内获得所需基因型的植物。不同的配比，经过数学模型建立的过程可以完善农业生产过程中的不完备性。将各种情况综合分析、比较之后可以在找到最有效率的方法。 以上呈现给大家的模型可以在农业生产中可以广泛推广，对于一些名贵花卉的培育，优良品种的留存，社会的需求等方面都有重大意义。根据国家和社会的广大消费者的需求培育出要求的农产品，保证了营养和健康。在一些珍贵花卉的品种培育上，我们可以通过建立数学模型，分析之后融入到实际生产中，培育出新品种，带来视觉欣赏和经济效益的双重丰收。对于一些濒临灭绝的动植物，我们也可以通过建立相应的数学模型来选择培育和配种方案，保证这些珍贵基因的繁衍，保护生物多样性，基因多样性，亦是保护我们赖以生存的地球环境。 对于数学模型的建立可以体现在生产和生活中的各个方面，面对常染色体的遗传问题，我们必须将生物领域的知识和数学领域的知识相结合，各个学科再也不是独立和分离的，通过数学模型的建立使她们的紧密相连。每个领域的相关性都可以建立在数学中，并完美的结合和体现在世界生活中。对于一些实际问题的解决方案可以通过分析数学模型来确定，将各种可能性列举出来之后进行对比即可选择出相对最好的解决方案。