新人教九年级上二次函数知识点总结与练习.docx

新人教九年级上二次函数知识点总结与练习新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习 知识点一：二次函数的定义 1二次函数的定义： 一般地，形如y=ax2+bx+c的函数，叫做二次函数 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 知识点二：二次函数的图象与性质ÞÞ抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点 2. 二次函数y=a(x-h)+k的图象与性质 二次函数基本形式y=ax2的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小 2y=ax2+c的图象与性质：上加下减 1 y=a(x-h)的图象与性质：左加右减 2 2 二次函数y=a(x-h)+k的图象与性质 23. 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 æb4ac-b2öb 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为ç-，÷ 2a4a2aèø当x<-bbb时，y随x的增大而减小；当x>-时，y随x的增大而增大；当x=-时，2a2a2a4ac-b2 y有最小值4aæb4ac-b2öb 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为ç-，÷ 2a4a2aèø当x<-bbb时，y随x的增大而增大；当x>-时，y随x的增大而减小；当x=-时，2a2a2a4ac-b2 y有最大值4a3 4. 二次函数常见方法指导 二次函数y=ax2+bx+c图象的画法 画精确图 五点绘图法 利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y轴的交点，顶点. 二次函数图象的平移 平移步骤： k)； 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k，确定其顶点坐标(h，2 可以由抛物线ax经过适当的平移得到具体平移方法如下： y=ax2向上(k>0)平移|k|个单位y=ax2+k2向右(h>0)平移|k|个单位向右(h>0)平移 |k|个单位向上(k>0)平移|k|个单位向上(k>0)平移|k|个单位向右(h>0)平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减” 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：顶点式：交点式： .已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. .已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. .已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 b4ac-b2bö4ac-b2æ2公式法：y=ax+bx+c=açx+，顶点是，对称轴÷+2a4a2a4aèø是直线x=-2b. 2a2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h. 4 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 抛物线y=ax+bx+c中，a,b,c的作用 a决定开口方向及开口大小，这与y=ax中的a完全一样. b和a共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线y=ax+bx+c的对称轴是直线x=-如果b=0时，对称轴为y轴； 222b，故 2ab>0时，对称轴在y轴左侧； ab如果<0时，对称轴在y轴右侧. a如果c的大小决定抛物线y=ax+bx+c与y轴交点的位置 当x=0时，y=c，所以抛物线y=ax+bx+c与y轴有且只有一个交点，故 如果c=0，抛物线经过原点； 如果c>0,与y轴交于正半轴； 如果c<0,与y轴交于负半轴. 22知识点三：二次函数与一元二次方程的关系 5.函数y=ax2+bx+c，当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程有两个不相等实根； ，则方程有两个相等实根；，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 5 的图象 方程有两个不等实数解 的解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识 y轴与抛物线y=ax+bx+c得交点为(0,c). 与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax+bx+c有且只有一个交点(h,ah222+bh+c). 抛物线与x轴的交点 二次函数y=ax+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点ÛD>0Û抛物线与x轴相交； 有一个交点ÛD=0Û抛物线与x轴相切； 没有交点ÛD<0Û抛物线与x轴相离. 平行于x轴的直线与抛物线的交点 同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax+bx+c=k的两个实数根. 一次函数y=kx+n(k¹0)的图像l与二次函数y=ax+bx+c(a¹0)的图像G的2222交点，由方程组íìy=kx+nîy=ax+bx+c2的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时Ûl与G有两个交点; 6 方程组只有一组解时Ûl与G只有一个交点； 方程组无解时Ûl与G没有交点. 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax+bx+c与x轴两交点为2A(x1，0)，B(x2，0)，由于x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，故 bcx1+x2=-,x1×x2=aaAB=x1-x2=(x1-x2)2=(x1+x2)2b2-4acDæbö4c-4x1x2=ç-÷-=aaaèaø2知识点四：利用二次函数解决实际问题 7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 7 新人教版九年级上二次函数基础练习题 12x+3x-5的形状大小相同，开口方向相反的抛物线是 2123512Ay=-x+x- By=-x-7x+8 4222122Cy=x+6x+10 Dy=-x+3x-5 222二次函数y=x+bx+c的图象上有两点(3，8)和(5，8)，则此拋物线的对称轴是1与抛物线y=- Ax4 B x3 C x5 D x1 3抛物线y=x-mx-m+1的图象过原点，则m为 A0 B1 C1 D±1 2224已知抛物线y=ax+x+c与x轴一个交点的横坐标是-1，那么a+c= A0 B1 2 C1 D2 5把二次函数y=x-2x-1配方成顶点式为 Ay=(x-1) Cy=(x+1)+1 22B y=(x-1)-2 Dy=(x+1)-2 226直角坐标平面上将二次函数y-2(x1)22的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，则其顶点为 A(0，0) B(1，2) C(0，1) D(2，1) 7函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是 A有两个不相等的实数根 B有两个异号的实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根 8已知二次函数y=x2+mx+m-5，则抛物线与x轴交点个数 A0 2 B1 C2 D不能确定，与m取何值有关 9函数y=kx-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 Ak<3 Bk<3且k¹0 8 Ck£3 Dk£3且k¹0 210二次函数y=ax+bx+c的图象如右图所示，则abc，b-4ac，2a+b，2a+b+c这四个式子中，值为正数的有 A4个 B3个 C2个 D1个 2211已知正比例函数y=kx的图象在二、四象限，则二次函数y=2kx-x+k的图象大致为 12抛物线y=ax+bx+c和直线y=ax+b在同一坐标系的图象为 213二次函数y=4x-mx+5，当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大；则当x=1时，y的值为 A-7 B1 C17 D25 214已知函数y=x2-2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范围是 A-1x3 B-3x1 Cx-3 Dx-1或x3 15已知抛物线y=x+4x+3，请回答以下问题： 它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 图象与x轴的交点为 ，与y轴的交点为 16抛物线y=ax+bx+c(a¹0)过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0 9 22(填“>”,“<”或“=”) 217抛物线y=6(x+1)-2可由抛物线y=6x-2向 平移 个单位得到 218顶点为且过点的抛物线的解析式为 19对称轴是y轴且过点A、点B的抛物线的解析式为 20抛物线y=-2x+4x+1在x轴上截得的线段长度是 2221抛物线y=x+(m-2)x+m-4的顶点在原点，则m= 2()222抛物线y=-x-2x+m，若其顶点在x轴上，则m= 223抛物线y=ax+bx+c如右图所示，其对称轴为x=-轴的两个交点分别为A、B，其中A的横坐标为1，设抛物线与x21，则B的横坐标为 ；2ax2+bx+c=0的两个根为 224二次函数y=ax+bx+c的值永远为负值的条件是a 0，b-4ac 0 2225一个二次函数的图象顶点坐标为，形状与抛物线y=-2x相同，这个函数解析式为_ 26二次函数y=2x-x, 当x _ 时, y随x增大而增大，当x _时, y随x增大而减小 27如右图是y=ax+bx+c的图象，则(填“>”,“<”或“=”) a_ 0 , b_ 0 , c_ 0 , a+b+c_ 0 , a-b+c _0 , b2-4ac_ 0 , 2a+b_0 28已知y=ax+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A, B，则ax2+bx+c>0的解集是_; ax2+bx+c<0的解集是_ 29已知二次函数y=ax+bx+c如右图所示，则其对称轴是_；如果点A(-2,y1),B(3,y2)在抛物线上，则y1_y2(填“>”,“<”或“=”) 10 222230已知二次函数y=-x+bx+c过四个点A(3,-5),B(-5,-5),C(-2,y1),D(3,y2)，则2y1_y2(填“>”,“<”或“=”) 31已知抛物线y=ax+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M在第 象2限 32 已知抛物线y=x+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，SABC=3，则c= 33已知二次函数y=ax+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示,则当x=4时，y= 2234如图已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过A，B，C 求二次函数的表达式画出二次函数的草图 235已知抛物线y=-x+4x-3 试说明该抛物线与x轴一定有两个交点 若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(A在B的左边)，且它的顶点为P，求A，B，P三点的坐标以及ABP的面积 将此抛物线向下平移一个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式 在如图所示的直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线y=-x+4x-3，并根11 22据图象写出当x取何值时，函数值大于零 36某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润 37在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x(m)，花园的面积为y(m2) 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由 根据(1)中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 12 38已知二次函数y=ax+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示： 2它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 图象与x轴的交点个数为 ，与y轴的交点坐标为 求出二次函数的表达式，画出二次函数的精确图 点A、B在函数的图象上，则当1<x1<2,3<x2<4时，y1与y2的大小关系正确的是 Ay1>y2 B y1<y2 C y1³y2 D y1£y2 当y<1时，x的取值范围是 39抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：b24ac0；a+b+c0；ca=2；方程ax2+bx+c2=0有两个相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点在点和之间 其中正确结论的序号是 40如图，在同一直角坐标系中，二次函数y=ax+bx+c的图象与两坐标轴分别交于A、点B和点C，一次函数y=mx+n的图象与抛物线交于B、C两点 一次函数、二次函数的解析式分别为 13 2当自变量x 时，两函数的函数值都随x增大而增大 当自变量 时，一次函数值大于二次函数值 方程ax+bx+c-mx-n=0有_个根 22 14