数学物理方程考点集合5月22日.docx
数学物理方程考点集合5月22日一分离变量法 ìuu-a2uxx=0(0<x<l,t>0)üïïu(x,0)=j(x),u(x,0)=y(x)íý ïu(0,t)=0,u(l,t)=0ïxîþ令u(x,t)=X(x)T(t), 代入得： T+laT=0''ìüïX+lX=0ï í'ýïïX(0)=0,X(l)=0îþ1 当l£0,X(x)=0,u(0,t)º0,排除。 ''22 lñ0，X(x)=C1cos而X'(x)=-lC1sinlx+C2sinlx+lxlx,lC2cos则: C2=0,C1cos得ll+C2sinC2=0,C1cos(2n+1)p2lll=0 ll=0,而C1不能为0，则：C1cos2ll=0,l=æ(2n+1)pö(n=0,1,2,.),l=ç÷,得到：2lèø(2n+1)p2lx。Xn(x)=C1cosT''n+3(2n+1)pa4l2222Tn=0(2n+1)pat+Bnsin(2n+1)pa其通解为：Tn(t)=Ancos于是得到：un(x,t)=çAncosè¥æ2l(2n+1)pa2lt+Bnsin2l(2n+1)paö2lt(2n+1)p2lt÷cosø x，4u(x,t)=(2n+1)pa(2n+1)paö(2n+1)pæAcost+Bsintcosx, ç÷ånn2l2l2løn=0èì¥æü(2n+1)pöAcosx=j(x),(0<x<l)÷ïåçnï2lïn=0èïø5íý ¥(2n+1)pa(2n+1)pï(Bcosx=y(x),(0<x<l)ïånïï2l2lîn=0þ(2n+1)püìxý在区间上的正交性得： 由函数系ícos2lîþn=02l(2n+1)pAn=òj(x)cosxdx， l02ll4(2n+1)pBn=y(x)cosxdx ò0(2n+1)pa2lìuu-a2uxx=0(0<x<l,t>0)üïï第二类：íu(x,0)=j(x),ut(x,0)=y(x)ý ïu(0,t)=0,u(l,t)=0ïxxîþ令u(x,t)=X(x)T(t), 代入得： ¥T+laT=0''ìüïX+lX=0ï í'ý'ïîX(0)=0,X(l)=0ïþ''2 1 l<0,X(x)=C1e-lx-C2e-lx，又X'(x)=-lC1e-lx-lC2e-lx3 ìïC1得到:íïîC1-l-C2-le-ll-l=0-C2üïý，C1=C2=0，X(x)=0,排除。-llï-leþ4 l=0时，X(x)=C1x+C2,而X'(x)=C1，C1=0,X(x)=C2 5 lñ0，X(x)=C1cos而X'(x)=-lC1sin则：C2=0,C1sinnpllx+C2sinlxlx,ll=0,lx+lC2cos2ll=0,而C1不能为0，则：C1sinl=ænpö(n=0,1,2,.),l=ç÷,得到：èlønpl2Xn(x)=C1cos22x。T''n+3npal2Tn=0npalt+Bnsinnpal其通解为：Tn(t)=Ancostìænpanpat+BnsinïçAncos于是得到：un(x,t)=íèllïA+Bt，(n=0)0î0¥ünpöt÷cosx，n>0ïløý, ïþ4u(x,t)=ìïA0+ï5íïB+0ïîA0=B0=1l1¥(2n+1)pa(2n+1)paö(2n+1)pæAcost+Bsintcosx, ÷åçnn2l2l2løn=0èüïïý npanpBncosx=y(x),(0<x<l)ïïllþ2lnpæöAcosx=j(x),(0<x<l)ç÷ånløn=0è¥ån=0由傅立叶展开系数得： òl0lj(x)dx，An=òl0j(x)coslnplxdx， nplxdx òl0y(x)dx，Bn=ònpa20y(x)cosìuu-a2uxx=0(0<x<l,t>0)üï第三类：ïíu(x,0)=j(x),u(x,0)=y(x)ý ïu(0,t)=0,u(l,t)=0ïxîþ令u(x,t)=X(x)T(t), 代入得： T+laT=0''ìüïX+lX=0ï í'ýïïX(0)=0,X(l)=0îþ''2当l£0,X(x)=0,u(0,t)º0,排除。 lñ0，X(x)=C1cos而X'(x)=-lC1sinlx+C2sinlxlx,lx+lC2cos则: C2=0,C1cosll+C2sinll=0 2 C2=0,C1cosll=0,而C1不能为0，则：C1cos2ll=0,得l=(2n+1)p2læ(2n+1)pö(n=0,1,2,.),l=ç÷,得到：2lèø(2n+1)p2lx。Xn(x)=C1cosT''n+(2n+1)pa4l2222Tn=0(2n+1)pa2l(2n+1)pa2l其通解为：Tn(t)=Ancos于是得到：un(x,t)=çAncosè¥t+Bnsint+Bnsin(2n+1)pa2ltæ(2n+1)paö(2n+1)p t÷cosx，2l2løu(x,t)=(2n+1)pa(2n+1)paö(2n+1)pæAcost+Bsintcosx, ÷åçnn2l2l2løn=0èì¥æü(2n+1)pöAcosx=j(x),(0<x<l)ç÷nïåï2lïn=0èïøí¥ý (2n+1)pa(2n+1)pï(Bcosx=y(x),(0<x<l)ïånïï2l2lîn=0þ(2n+1)püì由函数系ícosxý在区间上的正交性得： 2lîþn=02l(2n+1)pAn=òj(x)cosxdx， 0l2ll4(2n+1)pBn=y(x)cosxdx ò(2n+1)pa02l¥有限长杆上的热传导 2ì¶uü2¶u=a,0<x<l,t>0ïï2¶t¶xïï¶u(l,t)ïï+hu(l,t)=0.t>0ý íu(0,t)=0,¶xïïïu(x,0)=j(x),0£x£lïïïîþu(x,t)=X(x)T(t)，代入得到X(x)T'(t)=aX"(x)T(t)2X"(x)T'(t)2即：=2=-l,T'(t)+laT(t)=0,X"(x)+lX(x)=0X(x)aT(t)¶(l,t)u(0,t)=X(0)T(0)=0，+hu(l,t)=X'(l)T(t)+hX(l)T(t)=0¶x 3 所以：X(0)=0,X'(l)+hX(L)=0下面分析可得到：1.l=0时，X"(x)=0,X(x)=c+dx,X(0)=c=0,X(x)=dx,X'(x)=d,X'(l)+hX(l)=d+hdl=0,因为hl>0,所以d=0.于是c=d=0。2.l<0时,x2+l=0,x=±-l,X(x)=ce-lx-lx+de-lx-lx,X(0)=c+d=0,X'(x)=c-leX'(l)+hX(l)=(c-l+hc)e得到：c=d=03.l>0时，X(x)=cosX(x)=dsin也就是tan-ll-de-l,-ll+(hd-d-l)e-=0lx+dsinll+llhllx,x(0)=c=0,ll)=0,hsin1hllx,d(hsinll=-lh=-lcos,舍ll+lcosll=0,ll=u,-=a,得到tanu=au,令y=tanu,y=au,ll=un,(n=1,2,3,¼),则：l=(Xn(x)=Dn'sinTn'(t)+(unl),(n=1,2,3,¼),2unlx,(n=1,2,3,¼),-(unal¥unal)Tn(t)=0,(n=1,2,3,¼),Tn(t)=Ane¥2)t2,(n=1,2,3,¼),un(x,t)=¥ån=1Xn(x)Tn(t)=ån=1Dne-(unal)t2sinunlx,(n=1,2,3,¼),j=lån=1Dnsinunlx,又òsin0lunllxsinunlxdx=0(m¹n),¥l令òsin0unlxdx=ln(m=n),òsin0unlxj(x)dx=åDnòsinn=10unlxsinunlxdx=DKlk则:Cn=1lnòl0j(x)sinunlxdx。 圆域内的拉普拉斯方程： 一个半径为a的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数 f (x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布 2ì2ü¶u¶u222ï+=0,x+y<aï22¶yï¶xïïïíu|x2+y2=a2=f(x,y),ý ïïx=rcosqìüïïíýïy=rsinqïþîîþ 4 2ì1¶ü¶u1¶u(r)+=0,0<r<a,0<q<2pïï22r¶r¶rr¶qïïïïu(a,q)=f(q),íý ïu(r,q)=u(r,q+2p),ïïïïïîu(0,q)<+¥þu(r,q)=R(r)F(q),代入得:R"F+2R'FrR2+1r2RF"=0,F"F.即rR"+rR'=-所以:rR"+rR-lR=0,F"+lF=0.又因为:|R(0)|<+¥,F(q+2p)=F(q).现在分析:1.l<0时,x=±-l,F(q)=ce-lq+de-lq,c=d=0,2.l=0时，F(q)=c+dq,c+dq=c+d(q+2p),得到:d=0,F(q)=c.3.l>0,令l=x,x=±li,F(q)=cod2lq+dsinlq,因为：F(q+2p)=F(q),所以：l=n,n=1,2,¼又由Fn(q)=c,l=0,则：ln=n,n=1,2,3,¼Fn(q)=cncosq+dnsinq,n=1,2,3,¼当n=0时，有:rR0"(r)+rR0'(r)=0,且|R0(0)|<+¥,舍r=e,则t=lnr,R0'(r)=代入得到：dR0dtk2t22dR0dr=1dR0rdt,R0"(r)=1r2(dR0dt2-dR0dr),=0,R上积分,得到:1òP-1m(x)(1-x)Pn'(x)dx-121òP-1n(x)(1-x)Pm'(x)dx= 2m(m+1)-n(n+1)òPm(x)Pn(x)dx-1左边=(1-x)Pm(x)Pn'(x)-Pn(x)Pm'(x)|-1=0211所以m(m+1)-n(n+1)òPm(x)Pn(x)dx=0-11又因为n¹m,所以：òPm(x)Pn(x)dx=0-12.归一性 10 当m=n时,11.n=0时,òP20(x)dx=2,-112.n=1时，òP21(x)dx=2,-1313.假设n=m时，òP2x)dx=2n(成立，则：-12n+11òP2m(x)dx=2-12m+1;11(m+1)òP2m+1(x)dx=ò(2m+1)Pm(x)-mPm-1(x)Pm+1(x)dx-1-111=(2m+1)òPm+1(x)Pm(x)dx-mòPm-1(x)Pm+1(x)dx;-1-1用n=m+1代换，用Pm+1代入得：原式=2m+112m+3ò-1(m+2)Pm+2(x)+(m+1)Pm(x)Pm(x)dx =+3=2(m+1)2(m+1)+1,得证。2mdxxJ1(x)=xJ0(x),ddxJ0(x)=-J1(x).五贝塞尔函数的正交性和归一性 1.正交性 (n)n)Jm1m(2m(n)(n)3mn(Rr),Jn(Rr),Jn(Rr),.,Jn(mRr)在上关于权函数R(n)(n)ì0,当m¹òrJmmkn(=í0Rr)Jn(mRr)drïk时ü2ïïR2J2n+1(m(n)当m=k时ýîm),ïþ由r2P"(r)+rP'(r)+(lr2-n2)P(r)=0,两边除以r得到：rP"(r)+P'(r)+(lr-n2r)P(r)=0,将上面两式合写可得到：dr)2dr(rdP(dr)+(lr-nr)P(r)=0,通解为AnJn(r)+BnYn(r). 11 r正交，即：因为n阶贝塞尔函数时相应贝塞尔方程的特解，所以：(n)(n)(n)2ùémmmmmmdédnù2Jn(r)ú+êr-r)=0, (1) êrúJn(drëdrRRrRûëû(n)(n)2ùémk(n)2mkmkdédnùJn(r)ú+êr-r)=0,(2)êrúJn(drëdrRRrRûëû(1)xJn(mk(n)Rr)-(2)xJn(Rmm(n)Rr),并对差从0到R积分得到：(n)(n)(n)(n)émmmk2ùmmmk2只有0解，则原方程有唯一解ïïïþ22 。éé¶u22¶u2ùt建立能量不等式：ò+a(¶x)údx£eêò(yûêWtëëW0é¶u22¶u2ù即：+aúdx£0,òê¶t¶xûWtë左边=0，即：+a(22+ajx)dx+2òòKtùfdxdtú,úû2¶u¶x)=0，2u|t=0=0,所以u=0=0，所以u为常数。又七GRONWALL不等式的证明 非负函数G(t)在0,t上连续可微，满足：dG(t)dtG(0)=0,对tÎ0,T,1c(ect£cG(t)+F(t),则G(t)£-1)F(t) 13 证明：et-ctdG(t)dt-ct-cedt£t-ctG(t)£e-ct-ctF(t),两边积分得：ò0deG(t)tdt-ctòe0-ctF(t)dteG(t)|0£tòe0F(t)dtte-ctG(t)-et-c0G(0)£òe0-ctF(t)dtte-ctG(t)£òe0-ctF(t)dt£F(t)òe0-ctdttF(t)òe0-ctdt=F(t)(ct1c-1ce-ct),两边同乘ect,得：e-ctG(t)e£1cect(1-e-ct)F(t)，1ctG£F(t)，得证。c三位波动方程的泊松公u(M,t)=1¶4pa¶t式：dS+14paMSatòòj0atòòSatMj1atdS.勒让德多项式： dédyù2(1-x)+n(n+1)y=0êúdxëdxû贝塞尔多项式：rP"(r)+rP'(r)+(lr-n)P(r)=0222能量不等式：éé¶u22¶u2ùtò+a(¶x)údx£eêò(yûêWtëëW02+ajx)dx+22òòKtùfdxdtúúû2达朗贝尔公式：u(x,t)=12j(x+at)+j(x-at)+12ax+atòy(h)dhx-at 14
