数学百大经典例题(1).docx

数学百大经典例题典型例题一 例1 若a/b，bIc=A，则a，c的位置关系是 A异面直线 B相交直线 C平行直线 D相交直线或异面直线 分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论 解：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1B1=a，AB=b，则a/b 若设B1B=c，则a与c相交若设BC=c，则a与c异面 故选D 说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解一般以正方体、四面体等为具体模型例如，a，b相交，b，c相交，则a，c的位置关系是相交、平行或异面类似地；a，b异面，b，c异面，则a，c的位置关系是平行、相交或异面这些都可以用正方体模型来判断 典型例题二 例2 已知直线a和点A，AÏa，求证：过点A有且只有一条直线和a平行 分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性 存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法；惟一性，即证明满足条件的对象只有一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象 因此，这是否定性命题，常用反证法 证明：存在性 AÏa， a和A可确定一个平面a， 由平面几何知识知，在a内存在着过点A和a平行的直线 惟一性 假设在空间过点A有两条直线b和c满足b/a和c/a根据公理4，必有b/c与bIc=A矛盾， 过点A有一条且只有一条直线和a平行 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性 典型例题三 例3 如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AEAB=AHAD=l，CFCB=CGCD=m，求证： 当l=m时，四边形EFGH是平行四边形； 当l¹m时，四边形EFGH是梯形 分析：只需利用空间等角定理证明EH/FG即可 证明：连结BD， 在DABD中，EH=lBD AEABCFCB=AHADCGCD=l， EH/BD，且在DCBD中，=m， FG/BD，且FG=mBD EH/FG， 顶点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内 当l=m时，EH=FG，故四边形EFGH为平行四边形； 当l¹m时，EH¹FG，故四边形EFGH是梯形 说明：显然，课本第11页的例题就是本题的特殊情况 特别地，当l=m=边形是平行四边形 如果再加上条件AC=BD，这时，平行四边形EFGH是菱形 12时，E，F，G，H是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四典型例题四 例4 已知a、b是两条异面直线，直线a上的两点A、B的距离为6，直线b上的两点C、D的距离为8，AC、BD的中点分别为M、N且MN=5，求异面直线a、b所成的角 分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线a、b平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解 解：如图，连结BC，并取BC的中点O，连结OM、ON， OM、ON分别是DABC和DBCD的中位线， OM/AB，ON/CD，即 OM/a，ON/b OM、ON所成的锐角或直角是异面直线a、b所成的角 又 AB=6，CD=8， 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS OM=3，ON=4 在DOMN中，又MN=5， M2+ON2=MN2， ÐMON=90o 故异面直线a、b所成的角是90o 说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线但是，异面直线所成角的定义中的点O一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的 典型例题五 例5 已知四面体S-ABC的所有棱长均为a求： 异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长； 异面直线EF和SA所成的角 分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC、AB的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解 解：如图，分别取SC、AB的中点E、F，连结SF、CF 由已知，得DSABDCAB SF=CF，E是SC的中点， EFSC 同理可证EFAB EF是SC、AB的公垂线段 在RtDSEF中，SF=32a，SE=12a EF=34SF22-SE1422 =22a a-a取AC的中点G，连结EG，则EG/SA EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角 连结FG，在DEFG中，EG=由余弦定理，得 12a，GF=12a，EF=22a 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 1cosÐGEF=EG+EF22-GF22×EG×EF=4a+2×12224a-22214aa2=22 a×ÐGEF=45o 故异面直线EF和SA所成的角为45o 说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值 典型例题六 例6 如图所示，两个三角形DABC和DA'B'C'的对应顶点的连线AA'、BB'、CC'交于同一点O，且AOAO'=BOBO'=COCO'=23 (1)证明：AB/A'B'，AC/A'C'，BC/B'C'； (2)求SDABCSDA'B'C'的值 分析：证两线平等当然可用平面几何的方法而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明 证明：(1)当DABC和DABC在O点两侧时，如图甲 AA'与BB'相交于O点，且'''''AOAO'=BOBO'， AB/AB 同理AC/AC，BC/BC ''''大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS (2)AB/A'B'，且AC/A'C'，AB和A'B'，AC和A'C'的方向相反，''''''ÐBAC=ÐBAC，同理ÐABC=ÐABC 因此，DABCDA'B'C' 又ABAB''=AOAO'=23，SDABCSDA'B'C'4æ2ö=ç÷= 9è3ø2当DABC和DA'B'C'在O点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2) 说明：此题DABC与DA'B'C'是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作说明 典型例题七 例7 S是矩形ABCD所在平面外一点，SABC，SBCD，SA与CD成60°角，SD与BC成30°角，SA=a，求： (1)直线SA与CD的距离； (2)求直线SB与AD的距离 分析：要求出SA与CD、SB与AD的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离 解：如图所示，在矩形ABCD中，BC/AD SABC，SAAD 又CDAD，AD是异面直线SA、CD的公垂线段， 其长度为异面直线SA、CD的距离 在RtDSAD中，ÐSDA是SD与BC所成的角， ÐSDA=30°又SA=a，AD=3a (2)在矩形ABCD中，AB/CD，SBAD， SBAB，又ABAD， AB是直线SB、AD的公垂线段，其长度为异面直线SB、AD的距离 在RtDSAB中，ÐSAB是异面直线SA与CD所成的角，ÐSAB=60° 又SA=a，AB=acos60°=直线SB与AD的距离为a2a2， 说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：找线段；证线段是公垂线段；求大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 公垂线段的长度 (2)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段 典型例题八 例8 a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，判断a与c的位置关系，并画图说明 分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的问题，同时也考查了图形语言的表达能力 解：直线a与c的位置关系有以下三种情形如图： 直线a与c的位置关系可能平行；可能相交； 可能异面 说明：本题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力 典型例题九 例9 如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线 A12对 B24对 C36对 D48对 分析：一般地，立体几何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定一规律，然后按此规律进行计数正方体的各棱具有相同的位置关系所以以一条棱为基量，考察与其异面的几对，问题可解 解：如图，正方体中与AB异面有C1C，D1D，B1C1，A1D1， 各棱具有相同的位置关系，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算成本， 异面直线共有12´42=24对 说明：分析清楚几何体特点是避免重复计数的关键计数问题必须避免盲目乱数，做到“不重不漏” 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 典型例题十 例10 如图，已知不共面的直线a，b，c相交于O点，M、P是直线a上两点，N、Q分别是b，c上一点 求证：MN和PQ是异面直线 证法1：假设MN和PQ不是异面直线， 则MN与PQ在同一平面内，设为a M、PÎa，M、PÎa aÌa 又OÎa，OÎa NÎa且OÎb，NÎb， bÌa 同理：CÌa a，b，c共面于a，与已知a，b，c不共面相矛盾， MN、PQ是异面直线 证法2：aIc=O，直线a，c确定一平面设为b PÎa，QÎc，PÎb，QÎb， PQÌb且MÎb，MÏPQ 又a，b，c不共面，NÎb，NÏb， MN与PQ为异面直线 说明：证明两条直线异面的方法有两种 (1)用定义证明：此时需借反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可 (2)用定理证明：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件：aÌa，AÏa，BÏa，然后可以推导出直线a与AB是异面直线 典型例题十一 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 例11 已知平面a与平面b相交于直线l，在a内作直线AC，A，B为直线l上的两点在b内作直线BD求证AC和BD是异面直线 已知：平面aI平面b=l，AÎl，BÎl，ACÌa，BDÌb，如图 求证：AC、BD是异面直线 证明：假设AC，BD不是异面直线，则它们必共面 A、B、C、D在同一平面内 即A、B、C所确定的平面a与A、B、D确定的平面b重合 这与平面aI平面b=l矛盾 AC、BD是异面直线 说明：证明两条直线为异面直线，用反证法往往比较简单 典型例题十二 例12 已知空间四边形ABCD，求证它的对角线AC和BD是异面直线 证法一：如图 假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内 A、B、C、D在同一平面内，即四边形ABCD是平面四边形， 这与已知条件矛盾，所以假设不成立 因此AC和BD是异面直线 证法二： 过BC和CD作一平面a，则对角线BD在平面a内 对角线AC与平面a交于BD外的一点C，即点C不在直线BD上， 且A点在平面a外 根据异面直线判定定理知：AC和BD是异面直线 说明：判定两条直线是异面直线的证明问题常用这两种方法，即(1)反证法，(2)用判定定理 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 典型例题十三 例13 已知空间四边形ABCD，AB¹AC，AE是DABC的BC边上的高，DF是DBCD的BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线 证法一：如图 由题设条件可知点E、F不重合，设DBCD所在平面a ìDFÌaïïAÏaíÞAE和DF是异面直线 EÎaïïEÏDFî证法二： 若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE、DF的平面为b (1)若E、F重合，则E是BC的中点，这与题设AB¹AC相矛盾 (2)若E、F不重合， BÎEF，CÎEF，EFÌb，BCÌb AÎb，DÎb， A、B、C、D四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾 综上，假设不成立 故AE和DF是异面直线 说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用 首先看一个有趣的实际问题： “三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？ 用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾只须两句话就解决了这个问题 典型例题十四 例14 已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 求证：ÐBEC=ÐB1E1C1 分析：欲证两个角相等，可通过等角定理或其推论来实现 证明：如图，连结EE1 E1，E分别为A1D1，AD中点， A1E1AE， A1E1EA为平行四边形 A1A又A1AE1E B1B，E1EB1B， 四边形E1EBB1是平行四边形 E1B1/EB同理E1C1/EC又ÐC1E1B1与ÐCEB方向相同 ÐC1E1B1=ÐCEB 说明：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：(1)利用等角定理及其推论；(2)利用证三角形相似；(3)利用证三角形全等 本例是通过第一种途径来实现请同学们再利用第三种途径给予证明 典型例题十五 例15 由四个全等的等边三角形的封面几何体称为正四面体，如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF、DE的平行线，找出异面直线CF与DE成的角 分析1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点，(1)该平面包含直线CF，(2)该平面与DE相交于点D，伸展平面ACD，在该平面中，过点D作DM/CF交AC的延长线于M，大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 连结EM可以看出：DE与DM所成的角，即为异面直线DE与CF所成的角如图 分析2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：(1)该平面包含直线CF，(2)该平面与DE相交于点E在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角，即为异面直线FC与ED所成的角如图 分析3：选取平面ADE，该平面有如下两个特点：(1)该平面包含直线DE，(2)该平面与CF相交于点F在平面ADE中，过点F作FG/DE，与AE相交于点G，连结CG，可以看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角 分析4：选取平面BCD，该平面有如下特点：(1)该平面包含直线DE，(2)该平面与CF相交于点C，伸展平面BCD，在该平面内过点C作CK/DE与BD的延长线交于点K，且DK=BD，连结FK，则CF与CK所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角如图 说明：(1)两条异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求牢固掌握两条异面直线所成的角的定义和两条异面直线互相垂直的概念，两条异面直线所成的角是刻划两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线成角来解决的，这里我们要注意：两条异面直线所成的角q的范围是0°<q£90°，当q=90°时，这两条异面直线互相垂直求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角值得注意的是：平移后大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置一般提倡像思考2，那样作角，因为此角在几何体内部，易求 (2)本例题多方位、多角度思考问题，思路开阔、运用知识灵活，对我们解决异面直线所成角问题大有裨益，要认真理解 典型例题十六 ÐA=90°，BC=例16 如图，等腰直角三角形ABC中，2，DAAC，DAAB，若DA=1，且E为DA的中点 求异面直线BE与CD所成角的余弦值 分析：根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为ÐBEF或其补角，解DEFB即可获解 解：取AC的中点F，连结EF，在DACD中，E、F分别是AD、AC的中点， EF/CD， ÐBEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角或其补角 在RtDEAB中，AB=1，AE=121212AD=12，BE=52 在RtDAEF中，AC=1，AE=，EF=22522 在RtDABF中，AB=1，AE=，BF= 1在等腰三角形EBF中，cosÐFEB=2EF=BE4=10， 1052异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010 说明：求角或求角的三角函数值的一般步骤是：找角，适合题意，求角或求角的三角函数值，往往是化归成一个三角形的内角，通过解三角形求得 典型例题十七 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 例17 在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值 分析：可在平面BCD内过E作BD平行线，可在DAEF中求得所成角的余弦值 解：如图，取CD的中点F，连结EF，AF， E为BC的中点， EF为DCBD的中位线，EF/BD， AE与EF所成的锐角或直角就是异面直线AE和BD所成的角 设正四面体的棱长为a，由正三角形的性质知， AE=AF=32a，EF=12a在DAEF中， EF332，即异面直线AE和BD所成角的余弦值为 cosÐAEF=6AE61说明：本题是利用三角形中位线达到平移的目的这种作异面直线所成角的方法称为中位线平移法 典型例题十八 例18 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求正方体对角线BD1和面对角线AC所成角的大小 解：如图 取D1D上中点N，则有：D1N=DN， 连结BD令BDIAC=O，则BO=DO， 连结NO，NA，NC 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS N，O分别为D1D，BD的中点， NO12BD1， ÐNOA(或ÐNOC)是异面直线BD1和AC所成的角 在RtDNAD及RtDNCD中， AD=CD，ND=ND， RtDNADRtDNCD， NA=NC， DANC为等腰三角形 又O为AC中点， NOAC， 异面直线BD1和AC所成角为90° 说明：(1)由于异面直线所成角最大为直角，所以，在把异面直线平移得到的两个夹角中，必须选取其中较小的角为异面直线的所成角 (2)实际上，正方体的体对角线与任意一条面对角线所成角均为直角 典型例题十九 例19 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，求AE、BF所成角的余弦值 分析1：可平移BF至EC1，可得到角AEC1，再解三角形即可但要注意到ÐAEC1为钝角 解法1：如图， 连结EC1，则EC1/BF， 由AE与EC1所成的锐角或直角，就是AE与BF所成的角， 连AC1，令正方体的棱长为a， 52有AE=EC1=a，AC1=3a 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 在DAEC1中，cosÐAEC1=2AE2-AC1222AE=1-AC12AE22=1-65=-15， ÐAEC1的补角为异面直线AE与BF所成角 AE、BF所成角的余弦值是15 分析2：连结DB、FD，可得ÐDFB即为异面直线AE和BF所成的角进而求其余弦值 解法2：连结DB、FD，可证得FD/AE(EFAD) ÐDFB(或其补角)即为异面直线AE、BF所成的角 DF=BF=52a，BD=2a 由余弦定理，有 æ5öæ5öça÷+ça÷-ç2÷ç2÷èøèø2×52a×521522(2a)25=4+5452-2=cosÐDFB=15， aAE、BF所成角的余弦值是 说明：异面直线所成角的范围是(0°,90°，当求得某角的余弦值为负值时，则此角的补角是异面直线所成角 典型例题二十 例20 在空间四边形ABCD中：AB=CD，AC=BD，E，F分别是AD，BC的中点求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线 证明：如图 连结AF、DF、BE、CE 在DABD和DACD中， AB=CD，AC=BD，AD公用 DABDDACD 又E是AD中点， BE=CE 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 在DBEC中，F是BC的中点， EFBC 同理EFAD， EF是异面直线AD、BC的公垂线 说明：证明某一条直线是两条异面直线的公垂线，须证明以下两点：(1)与两条异面直线都垂直；(2)与两条异面直线都相交 典型例题二十一 例21 如图，空间四边形ABCD中，四边AB、BC、CD、DA和对角线AC、BD都等于a，E、F分别为AB、CD的中点 (1)求证：EF是异面直线AB、CD的公垂线 (2)求异面直线AB和CD的距离 分析：要证明EF是异面直线AB与CD的公垂线，必须说明两个方面的问题，一个方面EF与AB、CD都相交，另一个方面AB、CD与EF都垂直 (1)证明：连结AF、BF，由已知DBCD和DACD均为正三角形，E、F分别为AB、CD的中点，AF=BF，EFAB 同理EFCD，又EF与AB、CD都相交， EF为异面直线AB、CD的公垂线 (2)解：空间四边形各边及对角线AC、BD的长均为a， AF=BF=32a，而AE=12a， 在RtDAEF中，EF=AF2-AE2=22a 异面直线AB和CD之间的距离为22a 说明：(1)求线段的长度一般地要把该线段放到一个三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等 (2)满足条件的该空间四边形其实质是空间正四面体，该问题实质上是求正四面体对棱之间的距离 典型例题二十二 例22 已知a、b是异面直线，直线c/直线a，那么c与b A一定是异面直线 B一定是相交直线 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS C不可能是平行直线 D不可能是相交直线 解：由已知a、b是异面直线，直线c/直线a，所以直线c有a/b与已知矛盾所以cb 应选C 直线b，否则若c/b，则说明：本题考察两直线位置关系和公理4的应用及异面直线定义 典型例题二十三 例23 两条异面直线指的是 A在空间内不相交的两条直线 B分别位于两个不同平面内的两条直线 C某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D不在同一平面内的两条直线 解：对于A,在空间内不相交的两条直线也可能是平行，应排除A 对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线可能是异面直线， 也可能是相交直线或平行直线，应排除B 对于C，某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能是异面直线， 也可能是平行直线，应排除C 应选D 说明：本题主要考查对异面直线定义的掌握，特别是对“不同在任何一个平面内的两条直线”含义的理解 典型例题二十四 例24 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是 A32 B1010 C35 D25解：在平面ABB1A1中，过N点作NP/AM，交AB于P，连结PC，如图， ÐPNC(或其补角)就是AM与CN所成的角 设AB的中点为Q，则P是BQ中点 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 可求得NP=54，CP=174，NC=52 在DPNC中，由余弦定理得 cosÐPNC=NC2+PN2-PC22NC×PN=25 应选D 说明：作出平行线PN，进而在DPNC中利用余弦定理求出直线AM与CN所成角的余弦值 典型例题二十五 例25 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=角的余弦值是 A1517A1B14，则BE1与DF1所成的 B12 C817 D32解：过A点在平面ABB1A1内作AF/DF1，再过E1在平面ABB1A1内作E1E/FA， 则ÐBE1E(或其补角)即是BE1与DF1所成的角 由已知B1E1=D1F1=A1B14， 174ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以可求得BE1=a(a为正方体的棱长)， 又DF1=AF=E1E，而DF1=BE1， 17412E1E=a，显然EB=a 在DBE1E中，由余弦定理，得 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS cosÐBE1E=BE1+E1E-EB2BE1×E1E222æ17öæ1ö2ça÷-ça÷ç4÷è2ø15èø =17æ17ö2ça÷ç4÷èø22应选A 说明：(1)解答本题的关键是作平行线AF、E1E进而在DBE1E中解出ÐBE1E的余弦值；(2)考查历届高考试题，求异面直线所成角的题常以正方体和正四面体为载体，在正方体和正四面体中命题 典型例题二十六 BC的中点，例26 在棱长都相等的四面体A-BCD中，连结AF、E、F分别是棱AD、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值 解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG， 又E是AD的中点，故EG/AF，所以ÐGEC是异面直线AF、CE所成角 AF是正三角形ABC的高， AF=32AB，EG=34AB 在RtDFCG中，FG=12FD=12×232AB=342AB，CF=12AB，则 CG=FG2+FC2=æ3ö7æ1öçAB÷+çAB÷=AB ç4÷24èøèø3AB，EG=23在DEGC中，CE=342AB，CG=74AB， 用余弦定理可得cosÐGEC= 23异面直线AF、CE所成角的余弦值是 说明：求两条异面直线所成角或求所成角的函数值，关键是作出异面直线所成的角 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 作两条异面直线所成角的方法一般是：将其中一条平移到某个位置使其也另一条相交也或者将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，使得这个角在某一个平面的三角形内，进而求出但要注意：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时应选择恰当的位置 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS