数列专题复习.docx
数列专题复习数列概念 1数列的概念 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项，在第二个位置的叫第2项，序号为n 的项叫第n项记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3，an，简记作 an。 通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 说明：an表示数列，an表示数列中的第n项，an= f(n)表示数列的通项公式； ì-1,n=2k-1(kÎZ)； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= (-1)=í +1,n=2kîn 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414， 数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N+的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),，f(n)，通常用an来代替f(n)，其图象是一群孤立点。 数列分类： 按数列项数是有限还是无限分： 有穷数列和无穷数列； 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列、常数列和摆动数列。 递推公式定义： 如果已知数列an的第1项，且任一项an与它的前一项an-1间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 例如：a1=1,an-an-1=n. a1=1,a2=2,an+2=an+1+an. Sn与an的关系： (1)已知an求Sn. Sn=a1+a2+L+an (2)已知Sn求an. 即aníìS1îSn-Sn-1(n=1)(n³2)。 特别要注意的是，若a1 适合由anSnSn1可得到的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。 规律：如果Sn=an+bn，则an不用分段，是等差数列 如果Sn=Aq-A, 则an不用分段，是等比数列 n2等差数列 1等差数列定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an-an-1=d(n³2)或an+1-an=d(n³1)。 要防止仅由前若干项，如a3a2a2a1d就说an是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。 a1=2,an-an-1=n，an是等数列吗？ 2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d；可整理成annd，当d0时，an 是关于n 的 一次函数关系式，它的图象是一条直线上，那么n 为正整数的点的集合。也可写成an=am+(n-m)d 3等差数列的单调性：由an-an-1=d得d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0 为递减数列。 4等差中项的概念： 定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A= a，A，b成等差数列ÛA=a+b 2a+b。 25等差数列的前n和的求和公式： 方法：倒序相加法 Sn=n(a1+an)n(n-1)dd=na1+d=n2+(a1-)n是关于n的二次函数且常数2222项为0. 推导过程： 如果a1=2,an-an-1=n，求数列an的通项公式 6等差数列的性质： 在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； 在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：a1，a3，a5，a7，； a3，a8，a13，a18，； an-am (m¹n)；n-m*在等差数列an中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq； 在等差数列an中，对任意m，nÎN+，an=am+(n-m)d，d= 特别地，当m=n时，2am=ap+aq an为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和， 即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=L=ai+1+an-i=L。S2n+1=(2n+1)×an+1 下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,Lk,mÎN差数列。 若数列an和bn均为等差数列，则an±bn,kan+b也为等差数列。 (*)组成公差为md的等m个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m个等差数列的公差之和。 (9)若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kÎN，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k*成等差数列。如下图所示： S3k5444444444446444444444447a1+a2+a3+L+ak+ak+1+L+a2k+a2k+1+L+a3k 14442444314424431442443SkS2k-SkS3k-S2k设数列an是等差数列，且公差为d， 若项数为偶数，设共有2n项，则S偶-S奇S奇a=n；=nd S偶an+1S奇n=。 S偶n-1若项数为奇数，设共有2n-1项，则S奇-S偶=an=a中； (11)a1>0，d<0时，Sn有最大值；a1<0，d>0时，Sn有最小值； Sn最值的求法：若已知Sn，可用二次函数最值的求法； ìan³0ìan£0 若已知an，则Sn最值时n的值可如下确定í或í。 a£0a³0în+1în+1aSan,bn的前n项和分别为Sn,Tn，则有n=2n-1 bnT2n-1 等比数列 1等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q¹0)，即：an+1：an=q(q¹0) 2等比数列通项公式为：an=a1×q数列； 等比数列的通项公式知：若an为等比数列，则(a1×q¹0)。 说明：由等比数列的通项公式可以知道：当公比d=1时该数列既是等比数列也是等差n-1am=qm-n。 an3等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。a,G,b成等比数列ÛG=ab 4等比数列an的通项公式： 2an=a1×qn-1(a1×q¹0),它的图象是分布在曲线y=证明：不完全归纳法： a1xq上的一些孤立的点。 q累乘法：an=5等比数列的判定方法 (1)定义法:若anan-1a××L2×a1 an-1an-2a1an+1=q(nÎN*)Û数列an为等比数列 an2*(2)等比中项法:若an+1=an×an+2¹0,(nÎN)Û数列an为等比数列 为等比数列 (3)通项法:若an=cq(c,q均是不为0的常数，nÎN)Û数列ann*(4)前n项和法:若Sn=Aqn-A(A,q为常数,且q¹0,q¹1)Û数列an为等比数列。 6等比数列的单调性： 等比数列当a1当a1当qan中，an=a1qn-1，an-an-1=a1×qn-1-a1×qn-2=a1qn-2(q-1) >0,q>1或a1<0,0<q<1时，an是递增数列； >0,0<q<1或a1<0,q>1时，an是递减数列； =1时，an是一个常数列；当q<0时，an是一个摆动数列. ìna1ï7等比数列前n项和公式Sn=ía1(1-qn)ï1-qî(q=1)(q¹1)8等比数列的性质： 等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，公对于等比数列an，若n+m=u+v，则an×am=au×av，也就是：a1×an54444644447a,a2,a3,L,an-2,an-1,an。特别地：若=a2×an-1=a3×an-2=LL，如图所示：1144424443a2×an-12比为q，则有an=amqn-m； a1×anm=n，则有am=au×av 若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kÎN*，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列。 如下图所示： S3k5444444444446444444444447a1+a2+a3+L+ak+ak+1+L+a2k+a2k+1+L+a3k 14442444314424431442443SkS2k-SkS3k-S2k 若an是等差数列，则是2an等比数列， 若是an等差数列，则log2n是等比数列， 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列是非0的常数列 a
