数学人教高二选修21导数及其应用.docx

数学人教高二选修21导数及其应用更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 导数及其应用复习讲义 一、知识复习： 1. 导数的定义： 设x0是函数y=f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量Dx，则函数值y也引起相应的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)；比值Dyf(x0+Dx)-f(x0)称为函数y=f(x)在点x0到x0+Dx之间的平均变化率；=DxDx如果极限limf(x0+Dx)-f(x0)Dy存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y=f(x)=limDx®0DxDx®0Dxf(x0+Dx)-f(x0)Dx在x0处的导数。 f(x)在点x0处的导数记作y¢x=x0=f¢(x0)=limDx®02 导数的几何意义： 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x)处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x)(x-x0). 3基本常见函数的导数: C¢=0; x()¢=nxnn-1; (sinx)¢=cosx; (cosx)¢=-sinx; (e)¢=e; (a)¢=alna; (lnx)¢=xxxx11; (logax)¢=logae. xx二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： éf(x)±g(x)ù¢=f¢(x)±g¢(x) ëû法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：éf(x)×g(x)ù¢=f¢(x)g(x)+f(x)g¢(x) ëû常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cf(x)=Cf(x).(C为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平''éf(x)ù¢f¢(x)g(x)-f(x)g¢(x)方：êg(x)¹0)。 (ú=2éëg(x)ûëg(x)ùû2.复合函数的导数 j¢(x). 形如y=fj(x)的函数称为复合函数。法则： f¢j(x)=f¢(m)g更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 1 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 三、导数的应用 1.函数的单调性与导数 设函数y=f(x)在某个区间(a,b)可导， '如果f(x)>0，则f(x)在此区间上为增函数； '如果f(x)<0，则f(x)在此区间上为减函数。 '如果在某区间内恒有f(x)=0，则f(x)为常函数。 2函数的极点与极值：当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f'(x)0，右侧f'(x)0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧f'(x)0，右侧f'(x)0，那么f(x0)是极小值. 3函数的最值： 一般地，在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值。函数f(x)在区间a,b上的最值只可能在区间端点及极值点处取得。 '求函数f(x)在区间a,b上最值的一般步骤：求函数f(x)的导数，令导数f(x)=0解出方程的跟'在区间a,b列出x,f(x),f(x)的表格，求出极值及f(a)、f(b)的值;比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值 4相关结论总结： 可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 5.定积分 概念 设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0<x1<<xi1<xi<xnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i作和式Inåf(i1ni)x，bb把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：limn®¥òaf(x)dx，即òf(x)dxaåf(i=1ni)x。 这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式 m基本的积分公式：0dxC；xdxòò11xxxm+1C；òdxlnxC；òedxexm+1更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 2 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 axC；òadxC；òcosxdxsinxC；òsinxdxcosxC lnax定积分的性质 òòbab； kf(x)dx=kòf(x)dxabòabf(x)±g(x)dx=òf(x)dx±òg(x)dx； aabbaf(x)dx=òf(x)dx+òf(x)dx定积分求曲边梯形面积 由三条直线xa，xb，x轴及一条曲线yf(f(x)0)围成的曲边梯的面积S=òf(x)dx。 ab如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)，及直线xa，xb围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC四 题型1：导数的概念 例1已知s=òbaf1(x)dx-òf2(x)dx。 ab12gt，计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段内平均速度；求t=32秒是瞬时速度 解析：3,3.1,Dt=3.1-3=0.1,Dt指时间改变量； Ds=s(3.1)-s(3)= v=11g3.12-g32=0.3059.Ds指时间改变量 22Ds0.3059=3.059。 Dt1其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。 从可见某段时间内的平均速度DsDtDs随变化而变化，Dt越小，越接近于一个定值，由极限定DtDt义可知，这个值就是Dt®0时，Ds的极限， DtV=limDx®0DslimDt=Dx®011(3+Dt)2-g322g2s(3+Dt)-s(3)=lim Dx®0DtDt1glim求y=x(x+求y=(x+1)(211+)的导数； xx31x-1)的导数； 求y=x-sinxxcos的导数； 22x2求y=的导数； sinx求y3x2-xx+5x-9x3的导数 解析：Qy=x+1+12'2y=3x-. ,x2x3先化简,y=1x×31x-x+1x-1=-x+x12-121-1-1æ1öy=-x2-x2=ç1+÷. 222xèxø'先使用三角公式进行化简. xx1y=x-sincos=x-sinx 222111æöy=çx-sinx÷=x'-(sinx)'=1-cosx. 222èø''(x2)'sinx-x2*(sinx)'2xsinx-x2cosxy=； sin2xsin2xQy3xx9x3232-121213-3191x(1+2)-1。 x(x）*x2*x2y*222x点评：求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 4 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 例4写出由下列函数复合而成的函数： y=cosu,u=1+X y=lnu, u=lnx 解析：y=cos(1+X)； y=ln(lnx)。 '''点评：通过对y=函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( ) A. (-¥,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,+¥) 答案 D ¢解析 f¢(x)=(x-3)¢ex+(x-3)ex=(x-2)ex,令f¢(x)>0,解得x>2,故选D () 已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是 ( ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 答案 A 解析 由f(x)=2f(2-x)-x+8x-8得几何f(2-x)=2f(x)-(2-x)+8(2-x)-8， 即2f(x)-f(2-x)=x+4x-4，f(x)=xf(x)=2x，切线方程y-1=2(x-1)，即22/222x-y-1=0选A 点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。 例6若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数， 则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是 y y y y ( ) o a b x o a o b x a o b x a b x 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 5 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 A B C D 解析 因为函数y=f(x)的导函数y=f¢(x)在区间a,b上是增函数，即在区间a,b上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A. 注意C中y¢=k为常数噢. 1和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 。 x1解析：曲线y=和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它x3们与x轴所围成的三角形的面积是。 4曲线y=点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。 题型4：借助导数处理单调性、极值和最值 例7对于R上可导的任意函数f，若满足f¢³0，则必有 Aff<2f B. ff£2f Cff³2f D. ff>2f 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f¢(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 A1个 B2个 C3个 D 4个 已知函数f(x)=13ax+bx2+x+3,其中a¹0 3当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值? 已知a>0,且f(x)在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 2解: (1)由已知得f'(x)=ax+2bx+1,令f'(x)=0,得ax+2bx+1=0, 2f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解, 所以=4b-4a>0,即b>a, 此时方程ax+2bx+1=0的根为 222-2b-4b2-4a-b-b2-a-2b+4b2-4a-b+b2-a,x2=, x1=2aa2aa所以f'(x)=a(x-x1)(x-x2) 当a>0时, x f(x) f (x) ( ,x1) 增函数 x 1 0 极大值 (x1,x2) 减函数 x2 0 极小值 (x2,+) 增函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 6 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 当a<0时, x f(x) f (x) ( ,x2) 减函数 x 2 0 极小值 (x2,x1) 增函数 x1 0 极大值 (x1,+) 减函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b>a时, f(x)取得极值. (2)要使f(x)在区间(0,1上单调递增,需使f'(x)=ax2+2bx+1³0在(0,1上恒成立. 2ax1ax1-,xÎ(0,1恒成立, 所以b³(-)max 22x22x12a(x-)ax1a1a-设g(x)=-,g'(x)=-+2=, 222x22x2x即b³-令g'(x)=0得x=11或x=-(舍去), aa当a>1时,0<1ax11<1,当xÎ(0,)时g'(x)>0,g(x)=-单调增函数; a22xa当xÎ(ax11,1时g'(x)<0,g(x)=-单调减函数, 22xa所以当x=11)=-a. 时,g(x)取得最大,最大值为g(aa所以b³-a 当0<a£1时,ax11³1,此时g'(x)³0在区间(0,1恒成立,所以g(x)=-在区间(0,1上单调递增,22xaa+1a+1,所以b³- 22a+1综上,当a>1时, b³-a; 当0<a£1时, b³- 2当x=1时g(x)最大,最大值为g(1)=-:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 例8若曲线f(x)=ax+Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 2更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 7 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 解析 解析 由题意该函数的定义域x>0，由f率为0，问题转化为x>0范围内导函数f¢¢(x)=2ax+1。因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜x1存在零点 x1解法1 再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点。当a=0不符合题意，当a>0时，如x(x)=2ax+图1，数形结合可得显然没有交点，当a<0如图2，此时正好有一个交点，故有a<0应填(-¥,0) 或是a|a<0。 解法2 上述也可等价于方程2ax+ 11=0在(0,+¥)内有解，显然可得a=-2Î(-¥,0) x2xìx+1,(-1£x<0)ï函数f(x)=íp的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 cosx,(0£x£)ïî2A.31 B. 1 C. 2 D. 22yy=x+11p2-1Ox根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积： p11S=´1´1+ò2cosxdx=+sinx2 0220p=1p3+sin-sin0=，故选A. 222y=cosx点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力 题型5：导数综合题 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 8 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 例91、已知二次函数f(x)=x+x，若不等式f(-x)+f(x)£2x的解集为C. 求集合C； 若方程f(ax)-ax+1=5(a>0,a¹1)在C上有解，求实数a的取值范围； 记f(x)在C上的值域为A，若g(x)=x3-3tx+,xÎ0,1的值域为B，且AÍB，求实数t的取值范围 解f(x)+f(-x)=2x2 2当x³0时，2x£2x Þ 0£x£1 2当x<0时，2x£-2x Þ -1£x<0 2t2所以集合C=-1,1 f(ax)-ax+1-5=0 Þ (ax)2-(a-1)ax-5=0，令ax=u 则方程为h(u)=u2-(a-1)u-5=0 h(0)=-5 当a>1时，uÎ,a，h(u)=0 在,a上有解， 1a1a11ì1ïh=2-1+-5£0则íaÞa³5 aa2ïîh(a)=a-(a-1)a-5³011当0<a<1时，uÎa,，g(u)=0 在a,上有解， aaìh(a)£01ï则í1 Þ 0<a£ h³02ïîa1所以，当0<a£或a³5时，方程在C上有解，且有唯一解。 21A=-,2 4t当t£0时，函数g(x)=x3-3tx+在xÎ0,1单调递增，所以函数g(x)的值域 211ììtt£-£-ït52，即t£-2 4，解得ïB=,1-t， AÍB ， í2í25522ï2£1-tït£-52îî当t>0时，任取x1,x2Î0,1，x1<x2 2g(x1)-g(x2)=x1-3tx1-x2+3tx2=(x1-x2)(x1+x1x2+x2-3t) 0 332122若t³1，0£x1<1，0<x2£1，x1<x2，x1+x1x2+x2<3£3t g(x1)-g(x2)>0，函数g(x)在区间0,1单调递减，B=1-5tt, 22更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 9 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 ìï1-íïî20 51t£-24：又t³1，所以t³4。 t³22若0<t<1， 若g(x1)-g(x2)<0,则须x12+x1x2+x22>3t，x1<x2，3x12>3t，x1>t. 于是当x1,x2Ît,1时，x12+x1x2+x22>3t,g(x1)-g(x2)<0； 当x1,x2Î0,t时，x12+x1x2+x22<3t,g(x1)-g(x2)>0. 因此函数g(x)在t,1单调递增；在0,t单调递减. g(x)在x=t达到最小值 2ììg(0)³2或g(1)³2t³4或t£-ïï要使AÍB，则í， 1Þí5g(t)£-32ïï4îî8(t)-2(t)-1³0因为0<t<1，所以使得AÍB的t无解。 综上所述：t的取值范围是：(-¥,-U4,+¥) 点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。 例103、已知函数f(x)=2513(k+1)21x-x,g(x)=-kx且f(x)在区间(2,+¥)上为增函数. 323 求k的取值范围； 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围. 解：由题意f¢(x)=x-(k+1)x 因为f(x)在区间(2,+¥)上为增函数 2所以f¢(x)=x-(k+1)x³0在(2,+¥)上恒成立， 2即k+1£x恒成立,又x>2 所以k+1£2,故k£1 22当k=1时，f¢(x)=x-2x=(x-1)-1在xÎ(2,+¥)恒大于0， 故f(x)在(2,+¥)上单增，符合题意. 所以k的取值范围为k1. x3(k+1)21-x+kx- 设h(x)=f(x)-g(x)=323h¢(x)=x2-(k+1)x+k=(x-k)(x-1) 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 10 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 令h¢(x)=0得x=k或x=1 由知k1， 当k=1时，h¢(x)=(x-1)2³0,h(x)在R上递增，显然不合题意 当k<1时，h(x),h¢(x)随x的变化情况如下表： x (-¥,k) + k 0 极大 (k,1) 1 0 极小 (1,+¥) + h¢(x) h(x) 11分 由于 k3k21-+- 623 k-1 2 k-1>0,欲使f(x)与g(x)图象有三个不同的交点， 2即方程f(x)=g(x) 也即h(x)=0有三个不同的实根 k3k21+->0即(k-1)(k2-2k-2)<0, 故需-623所以íìk<12,解得k<1-3 îk-2k-2>0综上，所求k的范围为k<1-3. 点评：该题是数列知识和导数结合到一块。 题型6：导数实际应用题 例11请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。 222解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为3+(x-1)=8+2x-x。 于是底面正六边形的面积为： 232+(x-1)2=6g333g(8+2x-x2)2=(8+2x-x2)。 42更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 11 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 帐篷的体积为： 3V(x)=333é1ù(8+2x-x2)ê(x-1)+1ú=(16+12x-x3) 2ë3û23(12-3x2)； 2求导数，得V¢(x)=令V¢(x)=0解得x= 2(不合题意，舍去),x=2。 当1<x<2时，V¢(x)>0,V(x)为增函数；当2<x<4时，V¢(x)<0,V(x)为减函数 所以当x=2时,V(x)最大。 答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大 点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。 例12已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,下图是其运动轨迹的一部分，若tÎê,4ú时，2é1ëùûs(t)<3d2恒成立，求d的取值范围. 解：s¢(t)=3t2+2bt+c 由图象可知，s(t)在t=1和t=3处取得极值 则s¢(1)=0,s¢(3)=0 即íì3+2b+c=0ìb=-6 Þí27+6b+c=0c=9îîs¢(t)=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3)é1ö当tÎê,1÷时,s¢(t)>0ë2ø当tÎ(1,3)时,s¢(t)<0 当tÎ(3,4)时,s¢(t)>0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d又s(4)=4+dé1ù故tÎê,4ú时,s(t)的最大值为4+d.ë2ûé1ù已知s(t)<3d2在ê,4ú上恒成立ë2ûs(t)max<3d2即4+d<3d4解得d>或d<-13更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 2备课宝出品 12 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力 题型7：定积分 例13计算下列定积分的值 ò3-1(4x-x)dx；ò(x-1)dx；ò2(x+sinx)dx；ò2pcos2xdx； 0122p5p-2解析： 因为(x-1)¢=(x-1)，所以 1665ò21(x-1)5dx=112(x-1)6|1=； 66例14一物体按规律xbt作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由x0运动到xa时，阻力所作的功。 2抛物线y=axbx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax 3dx=(bt3)¢=3bt2。 dt22224媒质阻力Fzu=kv=k(3bt)=9kbt，其中k为比例常数，k>0。 解析：物体的速度V=a当x=0时，t=0；当x=a时，t=t1=3， b更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 1备课宝出品 13 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 又ds=vdt，故阻力所作的功为： Wzu=òFzuds=òkv2×vdt=kòv3dt=kò(3bt2)3dt=000t1t1t1273727372kbt1=kab 77依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以S=ò(ax2+bx)dx=0-ba13b(1) 6a22又直线xy=4与抛物线y=axbx相切，即它们有唯一的公共点， ìx+y=4由方程组í 2îy=ax+bx得ax(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)16a=0 于是a=-221(b+1)2,代入式得： 16128b3128b2(3-b)； S(b)=,(b>0)，S¢(b)=3(b+1)56(b+1)4令S'(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S'(b)0；当b3时，S'(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且Smax=点评：应用好定积分处理平面区域内的面积 9。 2更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 14