指数函数与对数函数图像交点个数问题.docx
指数函数与对数函数图像交点个数问题x探究函数y=a与y=logax图象的交点个数问题 函数y=ax与y=logax (a>0,且a¹1)互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a的取值在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探究它们图象的交点个数问题 ìy=ax探究 由í， 得 îy=logax当a>1时 xìïy=a íyïîa=x (其中x>0,y>0) +，得y+ay=ax+x. 令f(x)=ax+x,x>0. 则f(y)=f(x),即f(ax)=f(x). xxa>1, f(x)为增函数, a=x. 两边取自然对数,得lna=lnx,即xlna-lnx=0. 令g(x)=xlna-lnx,x>0. 求导,得g¢(x)=lna-当x变化时，g¢(x),g(x)的变化情况如下表： 11 令g¢(x)=0,得x= xlnax g¢(x) g(x) (0,1) lna 1 lna0 极小值 (1,+¥) lna+ 由上表可知,当x=11=1+ln(lna) 时,g(x)极小值=1-lnlnalnag(x)只有一个极值, g(x)min=1+ln(lna). () 当1+ln(lna)>0，即a>e1e时，方程g(x)=0无解，此时函数y=ax与y=logax的图象没有交点； x() 当1+ln(lna)=0，即a=e时，方程g(x)=0有一解，此时函数y=a与1ey=logax的图象有一个交点； () 当1+ln(lna)<0，即1<a<e时，由于g(x)在(0,+¥)内连续，且当x®0时，+1eg(x)®+¥；当x®+¥时，g(x)®+¥，方程g(x)=0有两解，此时函数y=ax与y=logax的图象有两个交点 当0<a<1时 由、，消去y，得xaax=x 由于a>0，且0<a<1，故0<aax<1,即0<x<1 xx对式两边取自然对数，得alna=lnx，即a=lnx lna两边取自然对数，得xlna=ln令h(x)=lnlnx lnalnx1-xlna,xÎ(0,1)求导，得h¢(x)=-lna lnaxlnx11,xÎ(0,1)则j¢(x)=lnx+1 由h¢(x)=0，得xlnx=令j(x)=xlnx-lnalna111由j¢(x)=0，得x= 当xÎ(0,)时，j¢(x)<0；当xÎ(,1)时，j¢(x)>0 eee1111当x=时，j(x)min=j=- eeelna1111³0，即a³e时，j(x)³0恒成立xlnx³ () 当-，0<a<1，elnaelna1110<x<1，-lna£0，即h¢(x)£0，当且仅当a=e，且x=时取“”号 xlnxeeh(x)在(0,1)内是减函数 又当x®0+时，h(x)®+¥；当x®1-时，h(x)®-¥，且h(x)在(0,1)内连续，方程h(x)=0恰有一解，此时函数y=a与y=logax的图象有一个交点 () 当-x1111-<0，即0<a<e时，limj(x)=limj(x)=->0，且j(x)在+-x®0x®1elnaelna11(0,1)内连续，存在mÎ(0,),nÎ(,1)，使得j(m)=j(n)=0，h¢(m)=h¢(n)=0. ee当x变化时，h¢(x),h(x)的变化情况如下表： x (0,m) (m,n) + (n,1) h¢(x) h(x) 由上表可知，h(x)在(0,m)内是减函数，在(m,n)内是增函数，在(n,1)内是减函数. 1e下面证明,h(a)<0,h>0. 1e1lnah(a)=ln-aelnalna1e1e1e=-1-alna1ee1e,0<a<1ee. 令F(a)=-1-alna,0<a£. 则当0<a<1ee时, 111-1-11-111111F¢(a)=-aelna-ae×=-ae(lna+1)>-ae(lne+1)=0. eaeeeF(a)在(0,111)(0,0<a<内是增函数, 又在上连续, 当时, F(a)eeeeee11F(a)<F(e)=0,即h(ae)<0. e11111=-ln(-lna)-lna,0<a<e. h=lne-lnaeeelnae1G(a)=-ln(-lna)-lna, e11110<a£e.易证它为减函数, 当0<a<e时,G(a)>G(e)=0,即h>0. eeeeln令111+-0<a<e, 0<ae<<1, 又当x®0时，h(x)®+¥； 当x®1时， ee1h(x)®-¥，且h(x)在(0,1)内连续，结合h(x)的单调性, h(x)在区间(0,a),(a,), e1(,1)内各有一个解. 此时函数y=ax与y=logax的图象有三个交点 e综上所述, 函数y=a与y=logax(a>0,且a¹1)图象的交点有如下情况： 当a>e时，没有交点； 当a=e时，有一个交点； 当1<a<e时，有两个交点； 1e1e1ex1e1e1£a<1时,有一个交点； ee1当0<a<e时，有三个交点 e当
