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年级数学经典讲解 第07讲 根式及其运算八年级数学经典讲解 第七讲 根式及其运算 二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析 二次根式的性质： 二次根式的运算法则： 设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅 当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式 例1 化简： 法是配方去掉根号，所以 因为x-20，1-x0，所以 原式=2-x+x-1=1 a-b-a+b-a+b=b-a 说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简 例2 化简： 分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁我们可以先将分母因式分解后，再化简 解法1 配方法 配方法是要设法找到两个正数x，y(xy)，使x+y=a，xy=b，则 解法2 待定系数法 例4 化简： (2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简 分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成 解 设 两边平方得 ××得 (xyz)2=5×7×35=352 因为x，y，z均非负，所以xyz0，所以 xyz=35 ÷，有z=7同理有x=5，y=1所求x，y，z显然满足，所以 解 设原式=x，则 解法1 利用(ab)3a3b33ab(ab)来解 将方程左端因式分解有 (x-4)(x24x10)0 因为 x24x10(x2)260， 所以x-40，x4所以原式4 解法2 说明 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法 例8 化简： 解(1) 本小题也可用换元法来化简 解 用换元法 解 直接代入较繁，观察x，y的特征有 所以 3x2-5xy3y23x26xy3y2-11xy 3(xy)2-11xy 3×102-11×1289 例11 求 分析 本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算 解 设根号内的式子为A，注意到1(2-1)，及平方差公式(ab)(a-b)a2-b2，所以 A(2-1)(21)(221)(241)(22561)1 (22-1)(221)(241)(281)(22561)1 (24-1)(241)(281)(2161)(22561)1 (2256-1)(22561)1 22×256-1122×256， 的值 分析与解 先计算几层，看一看有无规律可循 解 用构造方程的方法来解设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有 两边平方得 两边再平方得 x4-4x242x，所以x4-4x2-x20 观察发现，当x-1，2时，方程成立因此，方程左端必有因式(x1)(x-2)，将方程左端因式分解，有 (x1)(x-2)(x2x-1)0 解 因为 练习七 1化简： 2计算： 3计算：