尼科尔森《微观经济理论基本原理与扩展》课后习题详解.docx

尼科尔森微观经济理论基本原理与扩展课后习题详解Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 尼科尔森微观经济理论-基本原理与扩展 第2章 最优化的数学表达 课后习题详解 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 1已知U(x,y)=4x2+3y2。 计算偏导数¶U¶x，¶U¶y。 求出上述偏导数在x=1，y=2处的值。 写出U的全微分。 计算dU=0时dy/dx的值这意味着当U保持不变时，x与y的替代关系是什么？ 验证：当x=1，y=2时，U=16。 当保持U=16时，且偏离x=1，y=2时，x和y的变化率是多少？ 更一般的，当U=16时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？ 解：对于函数U(x,y)=4x2+3y2，其关于x和y的偏导数分别为： ¶U¶U=6y =8x，¶y¶x当x=1，y=2时，中的偏微分值分别为： ¶U¶x=8， x=1¶U¶y= 12 y=2U的全微分为： dU=¶U¶Udx + dy= 8xdx+ 6ydy ¶x¶ydy-8x-4x。 =dx6y3y当dU=0时，由可知：8xdx + 6ydy = 0，从而可以解得：将x=1，y=2代入U的表达式，可得：U=4´1+3´4=16。 由可得，在x=1，y=2处，当保持U=16不变，即dU=0时，有： dy-4´1 = = - 2/3 dx3´2当U=16时，该函数变为：4x2+3y2=16，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由可知，该等高线在处的斜率为：985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 dy4x = -。 dx3yBorn to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 2假定公司的总收益取决于产量，即总收益函数为：R=70q-q2； 总成本也取决于产量：C=q2+30q+100。 为了使利润最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？ 验证：在中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。 此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。 解：公司的利润函数为： p=R-C=-2q2+40q-100 利润最大化的一阶条件为： dp = -4q + 40=0 dq从而可以解得利润最大化的产量为： q* = 10； 相应的最大化的利润为：p*= -2´102 + 40´10 - 100 = 100。 d2p*在q= 10处，利润最大化的二阶条件为：2 = -4<0，因而满足利润最大化的二dq阶条件。 在q*= 10处，边际收益为：MR =边际成本为：MC = dR= 70 - 2q*=50； dqdC = 2q*+30=50； dq因而有MR=MC=50，即“边际收益等于边际成本”准则满足。 3假设f(x,y)=xy。如果x与y的和是1，求此约束下f的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。 解：代入消元法 由x+y=1可得：y=1-x，将其代入f可得： f=xy=x-x2。 从而有：df = 1 - 2x = 0，可以解得：x =0.5。从而y=1-x = 0.5，f =0.25。 dx拉格朗日乘数法 f的最大值问题为： maxxys.t. x+y=1构造拉格朗日函数为： L=xy+l(1-x-y) 一阶条件为： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 ¶L = y - l = 0¶x¶L = x -l = 0 ¶y¶L =1- x -y =0¶l从而可以解得：x=y=0.5，因而有：f=xy=0.25。 4对偶函数为： minx+ys.txy=0.25利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。 解：设最小化问题的拉格朗日函数为： L=x+y+l(0.25-xy) 一阶条件为： ¶L=1-ly=0¶x¶L =1-lx=0¶y¶L=0.25-xy=0¶l从而有：x=y，xy=x2=0.25，从而可以解得：x=y=0.5。 5以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间的函数： f(t)=-0.5gt2+40t 其中，g是由重力所决定的常数。 小球处于最高处的时间t如何取决于参数g？ 利用你在问中的答案来描述：随着参数g的变化，小球的最大高度如何变化。 利用包络定理直接给出问中的答案。 在地球上，g=32，但是这个值在某些地区会有差异。如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？ 解：对高度函数f(t)=-0.5gt2+40t关于时间求导数可得： df = -gt + 40 = 0 dt从而可以解得使高度最大的时间为：t*=g成反比例关系。 40，从而可知小球处于最高处的时间t与参数g985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 将t*=Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 40代入高度函数中可得： gæ40ö40800f(t*)=-0.5gç÷+40´= gggèø2从而有：df(t*)dg=-800<0，即：随着g的增大，最大高度将变小。 g22¶f1 = - (t*)取决于g，因为t*取决于g。 ¶g22由包络定理可知：2æ40ö¶f-800因而有： = -0.5(t*)=-0.5ç÷=2<0。 ¶ggègø当g=32时，最大高度为：f=800/32=25； 当g=32.1时，最大高度为：f¢=800/32.1=24.92； 因而两地最大高度的差异为：Df=f¢-f=24.92-25=-0.08。 6制作一个油轮模型的一个简单的方法是，首先选择一块宽为x英尺、长为3x英尺的长方形钢板，接着在每个角处减去一个边长为t英尺的正方形，然后叠起剩余的四边做成一个无盖的托盘。 图2-1 油轮模型的制作 验证：该托盘可装油的体积为： V=t(x-2t)(3x-2t)=3tx2-8t2x+4t3 t应该如何选择，才能使给定x下的V最大？ 是否存在一个x使得所装油的体积最大？ 假设一个造船商受到限制，只能用1000000平方英尺的钢板来建造一个油轮。该约束条件可以用方程3x2-4t2=1000000来表示。如何将该受约束的最大化问题的解与和问中的解进行比较？ 解：如图2-1所示，长方形四个角处去掉一个边长为t的正方形后叠起来的托盘是一个长方体，该长方体的长为，宽为，高为t，因而其体积为： V=t(x-2t)(3x-2t)=3tx2-8t2x+4t3 由体积函数为V=t(x-2t)(3x-2t)=3tx2-8t2x+4t3，体积最大化的一阶条件为： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 ¶V=3x2-16xt+12t2=0 ¶t16x±256x2-144x216x±10.6x从而可以解得：t=，即：t1=0.225x，t2=1.11x。 =2424¶2V¶2V二阶条件为：2=-16x+24t，只有当t=0.225x时，才有2=-16x+24t<0。 ¶t¶t即只有当t=0.225x才能使给定x下的V最大。 当t=0.225x时，V»0.67x3-0.04x3+0.05x3»0.68x3。因而当x增大时，V随之增大，没有极限。因此，不存在一个x使得所装油的体积最大。 受约束的最优化问题为： maxV=3tx2-8t+4t3s.t3x2-8t2=1000000设拉格朗日函数为： L=3tx2-8t2x+4t3+l(1000000-3x2+4t2) 一阶条件为： ¶L=3x2-16tx+12t2+8lt=0¶t¶L =6tx-8t2-6lx=0¶x¶L=1000000-3x2+4t2=0¶l从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的t*、x*。显然，该受约束的最大化问题的解将有别于和中求解出来的解。 7考虑如下受约束的最优化问题： maxy=x1+5lnx2s.tk-x1-x2=0其中k是一个可以被赋予任何特定值的常数。 验证：如果k=10，则此问题可以视为仅包括一个等式约束的问题的求解。 验证：当k=4时，此问题的解要求x1=-1。 如果此问题的解x须为非负，则当k=4时，最优解是什么？ 当k=20时，此问题的解是什么？通过将此解与问中的解比较，你可以得出什么结论？ 解：设拉格朗日函数为： L=x1+5lnx2+l(k-x1-x2) 一阶条件为： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 ¶L=1-l=0¶x1¶L5=-l=0¶x2x2¶L=k-x1-x2=0¶l从而可以解得：l=1=5/x2，即x2=5。当k=10时，最优解为：x1=x2=5。 当k=4时，由中的一阶条件可以解得：x2=5，x1=-1，因此结论成立。 如果此问题的解非负时，最优解为：x1=0，x2=4，y=5ln4。因为任何正的x1的值都将使y变小。 如果k=20，则由可得最优解为：x1=15，x2=5。因为x2给y提供了一个递减的边际增量，而x1却没有，所以，所有的最优解要求一旦x2增至5，额外的增量应该全部由x1的增加来实现。 8证明：如果f(x1,x2)是一个凹函数，它同时也是一个拟凹函数。可以通过比较方程2.114和方程2.98来完成验证。你能给出这个结论的一个直观的解释吗？拟凹函数必然是凹的吗？ 2方程2.98为：f11f22-f12>0； 方程2.114为：f11f22-2f12f1f2+f22f12<0。 证明：由凹函数和拟凹函数的定义可知： 函数f(x)，对定义域S上任意两点x1，x2ÎS，qÎ0,1，如果有fé)+(1-q)f(x)2，则称函数f(x)为凹函数。 ëqx1+(1-q)x2ùû³qf(x1函数f(x)，对定义域S上任意两点x1，x2ÎS，qÎ0,1，如果有fé),(ff(1x1+(1-q)x2ùëqxû³min)2x，则称函数f(x)为拟凹函数。 可知，对于凹函数有： féëqx1+(1-q)x2ùû³qf(x1)+(1-q)f(x2)³minf(x1),f(x2) 因而可以从凹函数推出拟凹函数，反之，则不成立。 直观的，从图形上看，函数f(x)为拟凹表示线段x1、x2之间的点的函数值要高于点A，或者说曲线ACB之间的点都高于点A。显然，当函数f(x)是凹函数，曲线呈一个倒置的锅，则上述性质是满足的。从这一点看，凹函数一定是拟凹函数。但是，这不是必要的。如图2-2所示，在曲线AC段，函数是凹的；而在CB段，函数是凸的。这说明拟凹函数的概念要比凹函数更弱。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 图2-2 凹函数与拟凹函数 a b9柯布-道格拉斯函数：y= x1x2 ，其中，a和b都是小于1的正的常数。 利用方程f11f22-2f12f1f2+f22f12<0计算，从而验证该函数是一个拟凹函数。 通过验证任何y=c的上水平线都是凸的，从而任何满足y>c的集合都是凸的，来验证柯布道格拉斯函数是拟凹函数。 验证：如果a+b>1，则柯布道格拉斯函数不是凹函数。 证明：分别对柯布-道格拉斯函数求一阶、二阶导数可得： a - 1bf1=ax1 x2 > 0ab - 1f2=bx1x2 > 0a- 2bf11=a(a- 1) x1x2<0 ab-2f22=b(b- 1)x1x2< 0a-1b-1f12=f21=abx1 x2> 0从而可得：f11f22-2f12f1f2+f22f12<0，因而可知柯布-道格拉斯函数是一个拟凹函数。 ab如果y=c=x1x2，则x2=c1/bx1-a/b，因而当a、b>0时，x2是x1的凸函数。关于拟凹函数的一个重要性质是，如果函数f(x)是拟凹的，则当且仅当集合S=xf(x)³k是凸集，其中k是任意常数。集合S=xf(x)³k为函数f(x)的上等值集合。 由方程2.98可知： 22a-22b-2222a-22b-2 = ab(a-1)(b- 1)x1f11f22 -f12x2- abx1x22a- 22b-2=ab(1- b- a) x1x2当a+b>1时，该式是负的，因而此时函数不是凹函数，从而可知，并非所有的拟凹函数都是凹函数。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 10幂函数y=xd，其中，0£d£1。 证明：此函数是凹函数。注意到当d=1的特殊情况，以及仅当d<1时，该函数才是“严格”凹的。 dd+x2证明：幂函数的多元形式y=f(x1,x2)=x1也是一个凹函数。解释在这种情况下，为什么f12=f21=0使得凹形的确定变得极其简单。 一种将“规模”效应融入该函数的方法是，对问中的函数进行单调变换： ddg(x1,x2)=yg=(x1+x2) g其中，g是一个正的常数。这种变换是否仍保持函数的凹性？g是拟凹的吗？ 证明：当0£d<1时，因为y¢=dxd-1³0，y²=d(d-1)xd-2<0，所以此时函数y=xd是严格凹函数。 dd+x2对于幂函数y=f(x1,x2)=x1，有：f1=d(x1)d-1，f11=d(d-1)(x1)d-2；f2=d(x2)d-1，f22=d(1-d)(x2)d-2。 2因为f11，f22<0，且f12=f21=0，所以f11f22-f12>0满足，因而该函数是凹函数。 因为yg是拟凹函数，所以g是拟凹函数。但是，当g>1时，yg不是凹函数。所2有这些结论可以通过对y的偏微分以及方程f11f22-f12>0和f11f22-2f12f1f2+f22f12<0来验证。 以上内容为跨考网整理的经济学考研课后习题答案解析的一部分，限于篇幅原因，如果同学还想获得更多经济学课后习题资料，可以关注微信公众平台索要经济学考研资料,你想要的资料都在这儿jjxkyzs。 想了解经济学考研高分的秘密吗？请点击>>>:经济学考研解题技巧 跨考经济学考研辅导提醒您: 成功的原因千千万,失败的原因就那么几个，加入我们的经济学考研交流群，考研经验交流，规避风险，锁定名校一次进! 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解