导数压轴题 导数与数列不等式的证明.docx

导数压轴题 导数与数列不等式的证明导数与数列不等式的证明 例1.已知函数f(x)=alnx-ax-3(aÎR) (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)证明:1+12+13+L+1n>ln(n+1)(nÎN*) (3)证明:ln22×ln33×ln44×ln55Llnnn<1n(n³2,nÎN*) n(4)证明:ln2ln3ln4ln5lnnæ1ön+122×32×42×52Ln2<çè2÷ø×n(n³2,nÎN*) (5)证明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n+1)224×34×44×54Ln4<4n(n³2,nÎN*) ln22ln32(6)求证:lnn2(n-1)(2n+1)22+32+.+n2<2(n+1)(n³2,nÎN*) (7)求证:çæ1öæ22÷çøè1+1öæ42÷çøè1+1öè1+82÷ø.æçè1+1ö22n÷ø<e(nÎN*) 例2.已知函数f(x)=lnx-x+1 (1)求f(x)的最大值; nnn(2)证明不等式:æç1öæ2öænöeèn÷ø+çèn÷ø+L+çèn÷ø<e-1(nÎN*) 例3.已知函数f(x)=x2-ln(x+1) (1)当x>0时,求证:f(x)<x3; (2)当nÎN*时,求证:ånfæ1ö<1+1+1+151 k=1çèk÷ø2333.+n3£4-2n(n+1) 例4.设函数f(x)=x2+mln(x+1)(m¹0) (1)若m=-12,求f(x)的单调区间; (2)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数m的取值范围; (3)求证:对任意的nÎN*,不等式lnn+1n>n-1n3恒成立 例5.已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1(kÎR), (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)£0恒成立,试确定实数k的取值范围; (3)证明:ln23+ln34+L+lnnn+1<n(n-1)4(nÎN,n>1). 导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:15936380010 1 / 2 例6.已知函数f(x)=ax+b+c(a>0)的图像在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-1 x(1)用a表示出b,c; (2)若f(x)³lnx在1,+¥)上恒成立,求a的取值范围; (3)证明:1+ 例7.已知函数f(x)=2alnx-x2+1 (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间及f(x)的最大值; (2)令g(x)=f(x)+x,若g(x)在定义域上是单调函数,求a的取值范围; 111n+L+>ln(n+1)+(n³1). 23n2(n+1)3n2-n-222222+L+(3)对于任意的n³2,nÎN,试比较与的ln2ln3ln4ln5lnnn(n+1)*大小并证明你的结论 1+ln(x+1)(x>0) x(1)函数f(x)在区间(0,+¥)上是增函数还是减函数?证明你的结论 k(2)当x>0时,f(x)>恒成立,求整数k的最大值; x+1(3)试证明:(1+1´2)(1+2´3)(1+3´4)L(1+n´(n+1)>e2n-3(nÎN*). 例8.已知函数f(x)= 例9.已知函数f(x)=x-a-lnx(a>0) (1)若a=1,求f(x)的单调区间及f(x)的最小值; (2)若a>0,求f(x)的单调区间; ln22ln32lnn2(n-1)(2n+1)(3)试比较2+2+.+2与n³2,nÎN*)的大小,并证明 (23n2(n+1)例10.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x+a(aÎR), x(1)若x³1时,f(x)£g(x)恒成立,求实数a的取值范围 (2)求证: 例11.已知函数f(x)=lnx+x-ax 2ln2ln3lnn1×L<(n³2,nÎN*) 34n+1n(1)若函数f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围; (2)设an=1+ 例12.设各项为正的数列an满足a1=1,an+1=lnan+an+2,nÎN*.求证:an£2n-1. 122-L-an<ln(n+1)+2n (nÎN*),求证:3(a1+a2+.+an)-a12-a2n导数与数列不等式的证明 收集整理:张亚争 联系电话:15936380010 2 / 2