导数的四则运算法则.docx
导数的四则运算法则1.2.3导数的四则运算法则 一、教学目标： 1知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f=x+x的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=xg(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验观察归纳抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果Dx®0时，Dy与Dx的比均变化率）有极限即22Dy处的切线的斜率因此，如果y=f(x)在点x0可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为y-f(x0)=f/(x0)(x-x0) 3. 导函数(导数):如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个xÎ(a,b)，都对应着/一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x), 称这个函数f(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数y=f(x)的导数的一般方法： 求函数的改变量Dy=f(x+Dx)-f(x)求平均变化率Dyf(x+Dx)-f(x)= DxDx/取极限，得导数yf¢(x)=limDy Dx®0Dx5. 常见函数的导数公式：C'=0；(x)'=nxnn-1、探析新课 两个函数和的导数等于这两个函数导数的和，即 f(x)+g(x)¢=f¢(x)+g¢(x)证明：令y=f(x)=u(x)±v(x)， f(x)-g(x)¢=f¢(x)-g¢(x) Dy=u(x+Dx)±v(x+Dx)-u(x)±v(x)=u(x+Dx)-u(x)±v(x+Dx)-v(x)=Du±Dv， DyDuDvDyDuDvæDuDvö=±，lim =limç±=lim±lim÷Dx®0Dx®0Dx®0Dx®0DxDxDxDxDxDxèDxDxø即 u(x)±v(x)'=u'(x)±v'(x) 例1：求下列函数的导数： y=x2+2x； y=x-lnx； y=(x2+1)(x-1)； y=1-x2+x。 x2解：y¢=(x2+2x)¢=(x2)¢+(2x)¢=2x+2xln2。 y¢=(x-lnx)¢=(x)¢-(lnx)¢=1-。 2xx1232322y¢=(x+1)(x-1)=(x-x+x-1)¢=(x)¢-(x)¢+(x)¢-(1)¢=3x-2x+1。 ¢¢¢¢æ1-xæ112ö2ö(4)y¢=ç2+x÷=ç2-+x÷=x-2-x-1+x2xèxøèxø()=(x-2)¢-(x-1)¢+(x2)¢=-2x-3+x-2+2x=-例2：求曲线y=x-321+2x32xxæ31ö解：y¢=çx-÷xøè¢1上点处的切线方程。 x¢¢11æö=x3-ç÷=3x2+2。 xèxø()将x=1代入导函数得 3´1+即曲线y=x-31=4。 11上点处的切线斜率为4，从而其切线方程为 y-0=4(x-1)， x即y=4x-4。 22设函数y=f(x)在x0处的导数为f¢(x0)，g(x)=x。我们来求y=f(x)g(x)=xf(x)在x0处的导数。 2f(x0)Dy(x0+Dx)2f(x0+Dx)-x0=DxDx2(x0+Dx)2f(x0+Dx)-f(x0)+(x0+Dx)2-x0f(x0)= Dx2(x0+Dx)2-x02f(x0+Dx)-f(x0)=(x0+Dx)+f(x0)DxDx令Dx®0，由于 lim(x0+Dx)=x0 Dx®022Dx®0limf(x0+Dx)-f(x0)=f¢(x0) Dx2(x0+Dx)2-x0lim=2x0 Dx®0Dx2知y=f(x)g(x)=x2f(x)在x0处的导数值为x0f¢(x0)+2x0f(x0)。 因此y=f(x)g(x)=xf(x)的导数为x2f¢(x)+(x2)¢f(x)。 2一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f¢(x)和g¢(x)，我们有 f(x)g(x)¢=f¢(x)g(x)+f(x)g(x)¢¢éf(x)ùf¢(x)g(x)-f(x)g¢(x) êg(x)ú=g2(x)ëû特别地，当g(x)=k时，有 kf(x)¢=kf¢(x) 例3：求下列函数的导数： y=xe； y=2xxsinx； y=xlnx。 解：y¢=(x2ex)¢=(x2)¢ex+x2(ex)¢=2xex+x2ex=(2x+x2)ex； y¢=(xsinx)¢=(x)¢sinx+x(sinx)¢=sinx2x+xcosx； y¢=(xlnx)¢=(x)¢lnx-x(lnx)¢=1×lnx-x×例4：求下列函数的导数： 1=lnx+1。 xsinxx2y=； y=。 xlnx¢(sinx)¢×x-sinx×(x)¢cosx×x-sinx×1xcosx-sinxæsinxö=解：y¢=ç； ÷222xxxèxøy¢=ççæxö(x)×lnx-x×(lnx)¢÷=2÷lnx(lnx)èø2¢222x×lnx-x2×ln2x1x=x(2lnx-1) ln2x(三)、练习：课本P21练习：1、2. 课本P22练习1. 课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 f(x)+g(x)¢=f¢(x)+g¢(x)f(x)g(x)¢=f¢(x)g(x)+f(x)g(x)¢、作业： 五、教后反思： f(x)-g(x)¢=f¢(x)-g¢(x) éêf(x)ù¢f¢(x)g(x)-f(x)g¢(ëg(x)úû=x)g2(x)
