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完全平方公式教案 学习周报 专业辅导学生学习 完全平方公式在代数、几何中的两点运用 完全平方公式是中学阶段运用较为广泛的一个公式.除了在一般计算过程中直接运用完全平方公式外，在一些代数、几何问题中，还会利用其进行解题，这也是各年中考中的一个必考知识点.另外，在公式的一些使用过程中，还结合了整体思考的数学思想，同时还对学生的逆向思维提出一定要求.主要体现在以下两个方面. 一、 利用完全平方公式结合整体转化思想求代数式的值. 有一类 例1 已知a2+b2=1,a-b=分析：要求(a+b)4，直接求12，求(a+b)4的值. a,的值有一定的困难，因而可利用整体思想，设法求出(a+b)2，结合题目条件a2+b2=1，只需求出ab值. 解：把a-b=a-2ab+b2212=两边同时平方，得 1434又因为a2+b2=1，所以2ab=a+2ab+b4222=1+491634 即(a+b)=74所以(a+b)=. 22例3 已知x-3x+1=0，求x+1x2；x+1x41x4. 分析：观察所求代数式的特征，x+21x2可由x+1x平方后整理得到.因而解题的关2键在于利用题目条件x-3x+1=0求出代数式x+的值.此处，再次利用了整体思考的数学思想. 解：把x-3x+1=0两边同时除以x，得 x-3+1x=0，即x+1x=3. 2把x+21x=3两边同时平方，得 1x+1x2x+2×x×=9，即 x+21x2=7 学习周报 专业辅导学生学习 再把x2+421x2=7两边同时平方，得 1x2x+2×x×+1x21x4=49，即x+441x144=47. =47. 所以x2+x+=7；x二、利用完全平方式判断三角形形状 例4 已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，请你判断这个三角形是什么三角形. 分析：判断形状的三角形一般都是特殊三角形，而进行判断的关键是分析角或边的关系.本题所给的条件和边有关，因而可把目标定为证明边相等，即证明等腰或等边三角形.结合条件的形式，联想到完全平方式的非负性，从而可利用完全平方公式进行证明. 解：由a2+b2+c2-ab-ac-bc=0两边同时乘以2，整理可得 (a2-2ab+b22)+(a2-2ac+c22)+(b2-2bc+c2)=0 所以(a-b)+(a-c)+(b-c)=0 2因为(a-b)0，(a-c)0，(b-c)0 222所以(a-b)=0，(a-c)=0，(b-c)=0 222所以a=b,a=c,b=c 即 a=b=c. 所以这个三角形是等边三角形. 例5 已知a,b,c是DABC的三边长，且a+2b+c-2b(a+c)=0，判断DABC222的形状. 分析：与例4相类似，也是利用完全平方公式将条件进行变形，从而得出三角形三边的关系. 解：由a+2b+c-2b(a+c)=0变形，得 222(a2-2ab+b22)+(b2-2bc+c2)=0 2所以(a-b)+(b-c)=0 因为(a-b)0，(b-c)0 22 学习周报 专业辅导学生学习 所以(a-b)=0，(b-c)=0 22所以a=b,b=c 即 a=b=c 所以DABC是等边三角形.