大地测量坐系统及其转换.docx

大地测量坐系统及其转换大地测量坐标系统 及其转换 雷伟伟 河南理工大学测绘学院 wwlei - 1 - 基本坐标系 1、大地坐标系 坐标表示形式：(L,B,H) 大地经度L：地面一点P地的大地子午面NPS与起始大地子午面所构成的二面角； 大地纬度B：P地点对椭球面的法线P地KP与赤道面所夹的锐角； 大地高H：P地点沿法线到椭球面的距离。 起始大地子午面NLPWOP地大地高HLKPBE赤道面S2、空间直角坐标系 坐标表示形式：(X,Y,Z) 以椭球中心O为坐标原点，起始子午面NGS与赤道面的交线为X轴，椭球的短轴为Z轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，构成右手直角坐标系O-XYZ。 - 2 - ZPNZPGWOYPXPEYXS3、子午平面坐标系 坐标表示形式：(L,x,y) 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以椭圆的中心为原点，建立x、y平面直角坐标系。则点P的位置用(L,x,y)表示。 yPyPLoxPx- 3 - 4、归化纬度坐标系 坐标表示形式：(L,u,H) 设椭球面上的点P的大地经度为L。在此子午面，以椭球中心O 为圆心，以椭球长半径a为半径，做一个辅助圆。过P点做一纵轴的平行线，交横轴于P1点，交辅助圆于P2点，连结P2、O点，则ÐP2OP1称为P点的归化纬度，用u来表示。P点的位置用(L,u)表示。 当P点不在椭球面上时，则应将P沿法线投影到椭球面上，得到点P0，PP0即为P点的大地高，P0点的归化纬度，就是P点的归化纬度。P点的位置用(L,u,H)表示。 yP2PoKPuBP1x点P在椭球面上时的uyP2P0PoKPuBP1x点P不在椭球面上时的u - 4 - 5、球心纬度坐标系 坐标表示形式：(L,f,r) 设P点的大地经度为L，连结OP，则ÐPOx=f，称为球心纬度，OP=r，称为P点的向径。P点的位置用(L,f,r)表示。 yPLrofx6、大地极坐标系 坐标表示形式：(S,A) 以椭球面上某点P0为极点，以P0的子午线为极轴，从P0出发，作一族A常数的大地线和S常数的大地圆。它们构成相互正交的坐标系曲线，即椭球面上的大地极坐标系，简称地极坐标系。在大地极坐标系中，点的位置用(S,A)来表示。 A=常数P0S=常数 - 5 - 7、站心赤道直角坐标系 坐标表示形式：(P1-X,Y,Z) 以地面测站P1为原点，建立P1-XYZ坐标系，它的三个坐标轴与空间大地直角坐标系O-XYZ的三个坐标轴平行。两个坐标系之间是一种简单的平移关系。 ZP1ZYXPOLKPBYX8、站心赤道极坐标系 坐标表示形式：(P1D：距离； L：经方向角； -D,L,F) F：纬方向角； ZP2DP1FLYX - 6 - 9、站心地平直角坐标系 坐标表示形式：(P1-x,y,z) 站心地平直角坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系。 通常有三种不同的定义形式： 1、站心左手地平直角坐标系 以测站P1为坐标原点，以P1点的法线方向为z轴，以子午线方向为x轴，y轴与x、z轴垂直构成左手系。 2、站心右手地平直角坐标系 3、站心右手地平直角坐标系 x(北)z(天顶)y(北)yxyz(天顶)x(北)P1法线P1法线P1法线z(天底)站心左手地平直角坐标系站心右手地平直角坐标系站心右手地平直角坐标系10、站心地平极坐标系 坐标表示形式：(P-D,A,Z) 在站心地平直角坐标系(P-X,Y,Z)中，任意点P2的位置可以用距离D、大地方位角A、大地天顶距Z来表示。则P1-DAZ就构成了站心地平极坐标系。 P2Z(天顶)X(北)DAZY(东)P1 - 7 - 坐标系基本转换 一、坐标系转换的基本形式： 平移变换 ZoldZnewOrroldrrnewPYoldrrOXoldYnewXnewrrrrnew=rold+rrrnewæXnewç=YnewççZènewö÷÷÷ørroldæXoldç=YoldççZèoldö÷÷÷øæTXrçr=TYççTèZö÷÷ ÷øæXnewçYçnewçZènewöæXold÷ç=Y÷çold÷çZøèoldöæTX÷ç+T÷çY÷çTøèZö÷÷ ÷ø- 8 - 缩放变换 Znew(Zold)SoldSnewOYnew(Yold)Xnew(Xold)尺度比例因子m=Snew-SoldSoldæXnewöæXoldç÷çYnew=(1+m)Yoldç÷ççZ÷çZènewøèold- 9 - ö÷÷÷ ø旋转变换 二维坐标系 xSaBAEFPxTaoDaCySayTxT=oB=oE+EB=oE+PF=oCsina+PCcosa=ySsina+xScosayT=oD=EF=EC-CF=oCcosa-PCsina=yScosa-xSsinaìxT=xScosa+ySsinaíîyT=-xSsina+yScosaæxöæcosaç÷=çèyøTè-sinasinaöæxö÷ç÷cosaøèyøS当旋转方向相反时 ìxT=xScos(-a)+ySsin(-a)íîyT=-xSsin(-a)+yScos(-a)æxöæcos(-a)ç÷=çèyøTè-sin(-a)sin(-a)öæxö÷ç÷cos(-a)øèyøS- 10 - 三维坐标系 ZnewZoldwZwXXoldYnewwYYoldXnew旋转矩阵：对右手系逆时针旋转，对左手系顺时针旋转，否则需要改变旋转角度的符号。 æ1çR1(wX)=0çç0è0coswX-sinwX010ö÷sinwX÷coswX÷ø-sinwYö÷0÷coswY÷øsinwZcoswZ00ö÷0÷1÷ø0æcoswYçR2(wY)=0ççsinwYèæcoswZçR3(wZ)=-sinwZçç0èæXnewçYnewççZènewö÷=R3(wZ)R2(wY)R1(wX÷÷ø- 11 - æXoldç)YoldççZèoldö÷÷÷ ø当wX、wY、wZ均为小角度时，将cosw、sinw分别展开成泰勒级数，仅保留其一阶项，则有：cosw»1sinw»w，舍弃二阶小量，则有： æ1çR3(wZ)R2(wY)R1(wX)=-wZççwèYwZ1-wX-wYö÷wX÷1÷ø当wX、wY、wZ不是小角度时，三个旋转矩阵的次序不能交换。当wX、wY、wZ均为小角度时，不论三个旋转矩阵的次序如何交换，都能够得到上面的结果。 反向矩阵： 为了使用上的方便，有一些坐标系统定义为左手空间直角坐标系。为此，在右手空间直角坐标系和左手空间直角坐标系的变换中，需要改变坐标轴的指向，这个可以通过反向矩阵来完成。 æ-1çP1=0çç0è0100ö÷0÷1÷øæ1çP2=0çç0è0-100ö÷0÷1÷øæ1çP3=0çç0è0100ö÷0÷ -1÷ø利用P1、P2、P3三个反向矩阵，可以分别改变X、Y、Z轴的指向。 旋转矩阵R1R2R3和反向矩阵P1P2P3均为正交矩阵 有下列性质： R1(wX)=R1(wX)=R1(-wX)R2(wY)=R2(wY)=R2(-wY)R3(wZ)=R3(wZ)=R3(-wZ)-1T-1T-1TR1(wX)R2(wY)R3(wZ)TTT-1=R3(wZ)R2(wY)R1(wX)-1-1-1=R3(wZ)R2(wY)R1(wX)=R3(-wZ)R2(-wY)R1(-wX)P1-1=P1P2=P2-1P3-1=P3- 12 - 基本坐标系间的转换 1、子午平面坐标系与大地坐标系之间的关系： yLbPxyBQ90+Booaxn由图可得xa22dydx=tan(90+B)=-cotBo+yb22=1dydx=-ba222xy故而有xa22y=x(1-e+x2)tanB2即有(1-e)2tanB2b2=1可得acosBacosBì=ïx=22W1-esinBïí2a1-e()sinBaï2y=1-esinB()ï22W1-esinBîPn=N则由图可得x=NcosBy=N(1-e)sinBy=PQsinB22如果令N=aW又由图可得故而PQ=N(1-e)- 13 - Qn=Ne22、空间直角坐标系与子午平面坐标系的关系： ZyPZyOxxYLXXYx由图易知： ìX=xcosLïíY=xsinLïZ=yî3、空间直角坐标系与大地坐标系之间的关系： 点位描述参见上述两个图 当P点位于椭球面上的时候，易得： ìX=xcosL=NcosBcosLïíY=xsinL=NcosBsinL ïZ=y=N(1-e2)sinBî当P点不在椭球面上时，设其大地高为H，图示如下 ZPHrr0BLP0OYX- 14 - 由上图可知考虑矢量有ö÷÷÷ør=r0+HnæcosBcosLöç÷ncosBsinLç÷çsinB÷èøö÷÷÷÷øæNcosBcosLçr0NcosBsinLççN(1-e2)sinBèæXçr=YççZè故而有öæ(N+H)cosBcosL÷ç=N+H)cosBsinL÷ç(÷çéN(1-e2)+HùsinBøçûèë4、子午平面坐标系与归化纬度坐标系的关系： yP2PaoKPuBP1ax点P在椭球面上时的u由上图可以看出： x=acosu x带入椭圆方程22a+yb22=1 得到y=bsinuìx=acosuí故而：îy=bsinu归化纬度坐标系也是作为一种过渡坐标系而出现的 - 15 - 5、子午平面坐标系与球心纬度坐标系之间的关系： yLxPryofx22ìx=rcosfxy易知：í，带入椭圆方程2+2=1，则有：r=abîy=rsinfa1-e2221-ecosf2ìa1-ecosfïx=221-ecosfïïí2故而： a1-esinfïïy=221-ecosfïî6、大地纬度B、归化纬度u、球心纬度f之间的关系： 6.1、B与u的关系 ìsinB=VsinuíîcosB=Wcosutanu=1-etanB26.2、u与f的关系 tanf=1-etanu 26.3、B与f的关系 tanf=(1-e)tanB易知，一般情况下，有：2B>u>f- 16 - 7、站心地平直角坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系： 7.1、左手系坐标系： Zxz90o-Bx'90o-BZyP180o-LLYy'XYLBXZxZz90o-B90o-BZBP90o-BOBYLQX- 17 - 整体旋转示意图局部旋转示意图一 ZZx90-Boz90-BoPZB90-BoBOQ局部旋转示意图二 首先，将y轴反向，得y'；绕y'轴旋转(90o-B)，将z轴绕至Z轴处，x轴绕至x'轴处；然后，再绕Z轴旋转(180o-L)，即可将P-xyz化为P-XYZ。 æXçYççZèö÷oo=RZ(180-L)Ry'(90-B)Py÷÷øæxöç÷yç÷ 带入数值化简后得到下式： çz÷èøæXöæ-sinBcosLç÷çY=-sinBsinLç÷ççZ÷çcosBèøè-sinLcosL0cosBcosLöæxöæxö÷ç÷ç÷cosBsinLy=Ay÷ç÷ç÷ ÷çz÷çz÷sinBøèøèø因为A为正交矩阵，故而由P-XYZ化为P-xyz，则为： æxöæXç÷-1çy=AYç÷ççz÷çZèøèöæXöæ-sinBcosL÷÷çTç=AY=-sinL÷ç÷ç÷çZ÷çcosBcosLøèøè-sinBsinLcosLcosBsinLcosBöæX÷ç0Y÷ççZsinB÷øèö÷÷ ÷ø因站心赤道直角坐标系与空间直角坐标系之间仅存在一个简单的平移关系，故而，由站心地平之间坐标系至空间直角坐标系的转换关系为： - 18 - æXççYçZèöæTXöæXö÷ç÷ç÷=T÷çY÷+çY÷÷çT÷çZ÷øèZøèøæTXç=TYççTèZöæ-sinBcosL÷ç+-sinBsinL÷ç÷çcosBøè-sinLcosL0cosBcosLöæxö÷ç÷cosBsinLy÷ç÷÷çz÷sinBøèøæ(N+H)cosBcosLöæ-sinBcosL=çç(N+H)cosBsinL÷+ç-sinBsinç÷çLèN(1-e2)+HsinB÷øçècosB 7.2、右手系坐标系： - 19 - -sinLcosL0cosBcosLöæxöcosBsinL÷ç÷÷ysinB÷çøç÷èz÷ø8、站心赤道极坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系： ZP2DP1FLYXæXçYç由图易知：çZèöæDcosFcosLö÷ç÷=DcosFsinL÷ç÷ ÷ç÷DsinFøèø9、站心地平极坐标系与站心地平直角坐标系之间的关系： P2Z(天顶)X(北)DAZY(东)P1æXçYççZèöæDsinZcosAö÷ç÷=DsinZsinA÷ç÷ ÷ç÷DcosZøèø- 20 - 几种坐标系间的转换 1、空间直角坐标系和大地坐标系之间的转换 由前面的讨论可知： 2ìZ+NesinBïB=arctan22X+YïïYïíL=arctanXï22ïX+Y-NïH=cosBïîéXêYêêëZéùùê(N+H)cosBcosLúúê=(N+H)cosBsinLúúêú2úûêéN(1-e)+HùsinBúûëëû 2、不同二维平面直角坐标系之间的转换 不同二维平面直角坐标系之间的变换方式主要有：仿射变换、相似变换、多项式变换 某点在原始坐标系中的坐标记为(xSyS)； yT)。 某点在转换后坐标系中的坐标记为(xTxSxToPySoyT- 21 - 2.1、仿射变换 ìxT=a1+a2xS+a3ySíîyT=b1+b2xS+b3ySæa1öæa2æxöç÷=ç÷+çèyøTèb1øèb2a3öæxö÷ç÷b3øèyøSa1a2a3b1b2b3为转换系数2.2、相似变换 当两个平面直角坐标系原点不同、坐标轴指向不同、尺度定义不同时，存在四个转换参数：两个平移参数DxDy、一个旋转参数a、一个尺度参数m； 两种转换过程： Ø 先旋转、再平移、最后统一尺度； Ø 先平移、再旋转、最后统一尺度； 转换过程不同，四个转换参数也不相同，但是它们最终的转换结果都是一致的。 2.2.1、先旋转、再平移、最后统一尺度 æxTöæ1+mxç÷=çèyTøè0öéæDxöæcosa÷êç÷+ç1+myøëèDyøè-sina0sinaöæxSöù÷ú÷çcosaøèySøûöæxSö÷ç÷÷y1+mcosa(y)øèSøæ(1+mx)Dxöæ(1+mx)cosa=ç÷+çç(1+m)Dy÷ç-(1+m)sinayyèøè若令ì(1+mx)Dxï(1+my)Dyïïï(1+mx)cosaí1+mx)sina(ïï-(1+m)sinayïï(1+m)cosayî(1+mx)sina则有=a=b=c=d=e=fæxTöæaöæcç÷=ç÷+çèyTøèbøèedöæxSö÷÷çyføèSø当两个坐标轴尺度因子相同时，上式简化为：æxTöæaöæcç÷=ç÷+çèyTøèbøè-ddöæxSö÷÷çcøèySø - 22 - 2.2.2、先平移、再旋转、最后统一尺度 æxTöæ1+mxç÷=çèyTøè0öæcosa÷ç1+myøè-sina0sinaöéæDxöæxSöù÷ú÷êç÷+çcosaøëèDyøèySøûæ(1+mx)cosaDx+(1+mx)sinaDyö=ç÷ç-(1+m)sinaDx+(1+m)cosaDy÷yyèøæ(1+mx)cosa+çç-(1+m)sinayè同理，可以将上式简化为 öæxSö÷ç÷y(1+my)cosa÷øèSø(1+mx)sinaæxTöæaöæcç÷=ç÷+çèyTøèbøèeæxTöæaöæcç÷=ç÷+çèyTøèbøè-dØ 简要综合分析： 仿射变换döæxSö÷÷çføèySø döæxSö÷÷çcøèySø a3öæxö÷ç÷b3øèyøSdöæxSö÷÷çføèySødöæxSö÷÷çcøèySø当两个坐标轴尺度因子相同时，上式可简化为 æa1öæa2æxöç÷=ç÷+çèyøTèb1øèb2æxTöæaöæcç÷=ç÷+çèyTøèbøèeæxTöæaöæcç÷=ç÷+çèyTøèbøè-d相似变换尺度不等相似变换尺度相等 对比以上三式我们可以发现：当平面直角坐标系横轴和纵轴上的尺度因子不相等时，相似变换完全等价于仿射变换； 当二者尺度因子相等时，相似变换就是仿射变换在a2=b3=c时的一个特例。 a3=-b2=d2.3、多项式变换 仿射变换和相似变换实质上都是线性变换，当原有平面坐标系的局部性系统误差或局部形变较为明显时，采用仿射变换或相似变换不可避免的会带有模型误差，降低转换结果的精度，此时，我们可以采用多项式逼近法 。 - 23 - 多项式逼近法核心在于选取多项式逼近待求的新旧坐标系统间的变换函数。由多项式逼近任意连续函数时，从理论上讲，只要选择适当的多项式阶数和系数，就可以逼近到任意的程度，并且保证点与点之间一一对应的可逆连续变换的特性。 多项式逼近法的数学模型如下： ìxiTïïíïyiTïî=xiS+a0+a1(xiS-x0S)+a2(yiS-y0S)+a3(xiS-x0S)+a4(yiS-y0S)+a5(xiS-x0S)(yiS-y0S)=yiS+b0+b1(xiS-x0S)+b2(yiS-y0S)+b3(xiS-x0S)+b4(yiS-y0S)+b5(xiS-x0S)(yiS-y0S)22223、不同三维空间直角坐标系之间的转换 定义空间之间坐标的三个要素：原点、尺度、坐标轴指向。故当两个不同空间直角坐标系变换时，则共有七个变换参数。 一般有下面三种转换模型： 3.1、Bursa-Wolf模型： ZoldPrroldZnewwZYoldrrnewOoldwYrrwXOnewYnewXoldXnewrrrrnew=r+(1+m)R3(wZ)R2(wY)R1(wX)rold- 24 - æXnewöæTXöç÷ç÷Y=T+(1+m)R3(wZ)R2(wY)R1(wXçnew÷çY÷çZ÷çT÷ènewøèZø当：wX、wY、wZ均为小角度时： æXoldç)YoldççZèoldö÷÷ ÷øæXnewçYçnewçZènewöæTXöæ1÷ç÷ç=T+(1+m)-wZ÷çY÷ç÷çT÷çwøèZøèYwZ1-wX-wYöæXold÷çwXY÷çoldçZ1÷øèoldö÷÷ ÷ø3.2、Molodensky-Badekas模型 ZTZoldwZwYPYTrrTP-oldZnewrroldOoldXoldOnewXTXnewTrrrrnewYoldwXYnewrrrrrnew=r+rold+(1+m)R3(wZ)R2(wY)R1(wX)rTP-old- 25 - 设R=R3(wZ)R2(wY)R1(wX)æ0çQ=-wZççwèY故而wZ0-wX-wYö÷wX÷ 0÷øR=I+Qr舍去mQrTP-old，则得到： rrrrrrrnew=r+rold+rTP-old+QrTP-old+mrTP-old即： æXçYççZèöæTXöæXTöæXP-XT÷ç÷ç÷ç=TY+YT+YP-YT÷ç÷ç÷ç÷çT÷çZ÷çZ-ZTønewèZøèTøoldèPæ0ç+-wZççwèYö÷÷÷øoldöæXP-XT÷ç+mYP-YT÷ç÷çZ-ZTøoldèPö÷÷÷øoldwZ0-wX-wYöæXP-XT÷çwXY-YT÷çPçZ-Z0÷TøèP也即为： æXçYççZèöæTXöæXPö÷ç÷ç÷=TY+YP÷ç÷ç÷÷çT÷çZ÷ønewèZøèPøoldæ0ç+-wZççwèYwZ0-wX-wYöæXP-XT÷çwXY-YT÷çPçZ-Z0÷TøèPöæXP-XT÷ç+mYP-YT÷ç÷çZ-ZTøoldèPö÷÷÷øold- 26 - 3.3、Veis模型 ZTdAZoldZnewTdxrrTP-oldYTrroldOoldrrnewBPYolddhXTrrOnewLYnewXoldXnew转换过程中涉及到了站心坐标系和参心坐标系之间的转换。 rrrr-1rnew=r+rold+(1+m)Rold-TR3(dA)R2(dx)R1(dh)Rold-TrTP-old 其中：Rold-T=R2(90-B)R3(L) o4、不同大地坐标系之间的转换 4.1：由空间直角坐标系和大地坐标系之间的转换关系可得： éXêYêêëZsùùé(N+H)cosBcoLúúê=ê(N+H)cosBsinLúú êú2úéN(1-e)+HùûêúûsinBëëû- 27 - 4.2：将上式取全微分可得： édXùédLùêúêúdY=JdB+ êúêúêêúëdZúûëdHûé¶Xê¶Lê¶YDaéùJ=êAêú 其中：ê¶LDaëûê¶Zêë¶La¶X¶B¶Y¶B¶Z¶B,e2¶Xù¶Hú¶Yúú¶Hú, ¶Zú¶Húû2利用公式：N=aW=1-esin22B,M=a(1-e)W32=2a-a可得: é¶Xê¶Lê¶YJ=êê¶Lê¶Zêêë¶Lé¶Xê¶aê¶YA=êê¶aê¶Zêê¶aë¶X¶B¶Y¶B¶Z¶B¶Xù¶Húúé-(N+H)cosBsinL¶Yúê=(N+H)cosBcosL¶Húêúêë0¶Zú¶HúûM-(M+H)sinBcosL-(M+H)sinBsinL(M+H)cosBcosBcosLùúcosBsinLúúsinBû¶XùéNcosBcosLúê¶aaúê¶YúêN=cosBsinL¶aúêaúê¶ZNúê(1-e2)sinBúê¶aûëaùú1-aúM2úcosBsinLsinBú1-aúM222-sinB(1+cosB-esinB)úú1-aûcosBcosLsinB24.3：利用矩阵求逆，求得大地坐标与直角坐标和椭球长半轴和扁率直角的关系： édLêdBêêëdH其中ùú-1=JúúûédXêdYêêëdZùéDaùú-1-JAêúúDaëûúûcosL(N+H)cosB-sinBsinLM+HcosBsinLJ-1sinLéê-(N+H)cosBêêsinBcosL=ê-M+HêêcosBcosLêëù úúcosBúM+HúúsinBúúû04.4：由布尔沙七参数转换模型可得： 如果两坐标系间的旋转角都是小角度，则sin- 28 - w»w,cosw»1,则有： é1êR(w)=ê-wzêwyë转换公式可表示： wz1-wx-wyùúwxú 1ûéX2ùéDX0ùé1êúêúêY2=DY0+ê-wzêúêúêêëZ2úûêëDZ0úûëwy写成微分形式： wz1-wx-wyùéX1ùéX1ùúêúêúwxúY1+(1+m)Y1êúêúêúê1úëZ1úûûëZ1ûédXêdYêêëdZùéDX0ùé1úêúê=DY0+ê-wzúêúêúûêëDZ0úûëwywz1-wx-wyùéX1ùéX1ùúêúêúwxúY1+mY1êúêú êúê1úëZ1úûûëZ1û3.5：将上述公式代入到三中的公式,并考虑到e2是微小量,简化可得: sinLé-ê(N+H)cosBr"édLùêêúêsinBcosLdB=ê-r"êúM+HêêúdHëûêcosBcosLêëéêtanBcosLêê-sinLê2ê-NesinBcosBsinLêr"ëcosL(N+H)cosB-sinBsinLM+Hr"r"cosBsinLùúúéDX0ùcosBúêúr"úDY0+êúM+HúêDZú0ûësinBúúû0é0ùùêúNúê2+-esinBcosBr"úmúê(M+H)úúúûê22êúëN(1-esinB+HûtanBsinLcosLNesinBcosBcosL2r"ùú-1éeXúê0úeYêúêëeZú0úûéùê0ú0êú22NM(2-esinB)êúéDaù2+esinBcosBr"sinBcosBr"êê(M+H)aúDaú(M+H)(1-a)ëûêúMêNú22222-(1-esinB)(1-esinB)sinBêú1-aëaû- 29 - sinLé-ê(N+H)cosBr"édLùédL2ùédL1ùêsinBcosLúêúêêúêdB=dB2-dB1=ê-r"úêúêúêM+HêêúêúêúdHëûëdH2ûëdH1ûcosBcosLêêëéêtanBcosLêê-sinLê2ê-NesinBcosBsinLêr"ëtanBsinLcosLNesinBcosBcosL2cosL(N+H)cosB-sinBsinLM+HcosBsinLr"r"ùúúéDX0ùcosBúêúr"úDY0+êúM+HúêDZúsinBúë0ûúû0r"ùú-1éeXúê0úeYêúêëeZú0úûùú+úúûéù0êúN2ê-esinBcosBr"úm+ê(M+H)úêú22N(1-esinB)+Hëûéê0êêN2esinBcosBr"êê(M+H)aêN22-(1-esinB)êaêëùú0ú22M(2-esinB)sinBcosBr"úédaùúê2ú22(1-e)(M+H)úëdeû222úM(1-esinB)sinBú22(1-e)úûN11-esinBN=可以得到：=，再：N=M2WaW1-e 又根据： 可以将最后对椭球的微分改正改化为简单形式：éê0êêN2esinBcosBr"êê(M+H)aêN22-(1-esinB)êaêëéê0ê2êesinBcosBr"ê(M+H)Wêê-Wêëùú0ú22M(2-esinB)sinBcosBr"úédaùúê2ú22(1-e)(M+H)úëdeû222úM(1-esinB)sinBú22(1-e)úûa22ùú0ú22N(2-esinB)sinBcosBr"úédaù2úêde2ú2W(M+H)ûúëNú2sinBú2û - 30 -