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因式分解方法大全因式分解 a2+4ab+4b2的分解 因式分解Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。 定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法为相反变形。 同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。 注意三原则 左上因式分解 1分解要彻底 2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正） 归纳方法：北师大版八下课本上有的 1提公因式法。 2公式法。 3分组分解法。 4凑数法。x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 5组合分解法。 6十字相乘法。 7双十字相乘法。 8配方法。 9拆项法。 10换元法。 11长除法。 12加减项法。 13求根法。 14图象法。 15主元法。 16待定系数法。 17特殊值法。 18因式定理法。 提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式 公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 反过来为a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 反过来为a2+2ab+b2=(a+b)2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 两根式：ax2+bx+c=a(x-(-b+(b2-4ac)/2a)(x-(-b-(b2-4ac)/2a) 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3 公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2。 分解因式技巧 1分解因式技巧掌握： 等式左边必须是多项式 分解因式的结果必须是以乘积的形式表示 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； 分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 2提公因式法基本步骤： 找出公因式 提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母 第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2 x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。 3 x2-x-y2-y 相关公式 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。 十字相乘法 这种方法有两种情况。 x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例：x2-2x-8 =(x-4)(x+2) kx2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d) 图示如下： ac bd 例如：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3 因为 72 1-3 -3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19， 所以=(7x+2)(x-3) 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：x2+3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5) 应用因式定理 对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a 例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3) 注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数 2对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y+2-12=y2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x2+x+5)(x2+x-2) =(x2+x+5)(x+2)(x-1) 也可以参看右图。 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0， 则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1 所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。 例如在分解x3 +2x2-5x-6时，可以令y=x3; +2x2 -5x-6. 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 特殊值法 将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则 x3 +9x2+23x+15=8+36+46+15=105， 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。 待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d) 相关公式 =x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4 则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4) 也可以参看右图。 双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下： ax2+bxy+cy2+dx+ey+f x、y为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解：图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 x 3y 6 原式=(x+2y+2)(x+3y+6) 双十字相乘法其步骤为： 先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y) 先依一个字母的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6) 再按另一个字母的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出错。 利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解 例：对于二次多项式 aX2+bX+c(a0) aX2+bX+c=aX2+(b/a)X+(c/a)X. 当=b2-4ac0时， =a(X2-X1-X2+X1X2) =a(X-X1)(X-X2). 多项式因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。” 几道例题 1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33： x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 3ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：-c2+a2+2ab-2bc=0， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0 a、b、c是ABC的三条边， a+2b+c>0 ac=0， 即a=c，ABC为等腰三角形。 4把-12x2n×yn+18x(n+2)y(n+1)-6xn×y(n-1)分解因式。 解：-12x2n×yn+18x(n+2)y(n+1)-6xn×y(n-1) =-6xn×y(n-1)(2xn×y-3x2y2+1) 四个注意 因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例 可供参考 例1 把a2b2+2ab+4分解因式。 解：a2b2+2ab+4= 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如9x2+4y2=22=的错误 例2把12x2nyn+18xn+2yn+16xnyn1分解因式。解：12x2nyn+18xn+2yn+16xnyn1=6xnyn1 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y25x2y29y2=y2=y2的错误。 考试时应注意： 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！ 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。 应用 1 应用于多项式除法。 2 应用于高次方程的求根。 3 应用于分式的通分与约分 顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展： 1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2P-1)。即| .例如： 23|(211-1);；11=4×2+3 47|(223-1);；23=4×5+3 167|(283-1);,.83=4×20+3 。 2,，p=2n×32+1,，则|(2P-1)， 例如：223|(237-1);；37=2×2×3×3+1 439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1 3463|(2577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1 ，。 3，p=2n×3m×5s-1,则| .例如；233|(229-1)；29=2×3×5-1 ;1433|(2179-1)；179=2×2×3×3×5-1 1913|；239=2×2×2×2×3×5-1 ，。 因式分解公式 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2;-b2; 完全平方公式 2;=a2;+2ab+b2; 2=a2-2ab+b2; 立方和立方公式 两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。 即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 证明如下： 3-3(a2)b+3ab2=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b) =(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)