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同济大学第六高等数学课后答案全集 高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1-1 1. 设A=(-¥, -5)È(5, +¥), B=-10, 3), 写出AÈB, AÇB, AB及A(AB)的表达式. 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AÇB)C=AC ÈBC . 3. 设映射f : X ®Y, AÌX, BÌX . 证明 (1)f(AÈB)=f(A)Èf(B); (2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 4. 设映射f : X®Y, 若存在一个映射g: Y®X, 使gof=IX, fog=IY, 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xÎX, 有IX x=x; 对于每一个yÎY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 5. 设映射f : X®Y, AÌX . 证明: (1)f -1(f(A)ÉA; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)y=3x+2; (2)y=12; 1-x (3)y=1-1-x2; x (4)y=1; 4-x2 (5)y=sinx; (6) y=tan(x+1); (7) y=arcsin(x-3); (8)y=3-x+arctan1; x (9) y=ln(x+1); (10)1y=ex. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=x2; (3)f(x)=3x4-x3,g(x)=x3x-1. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . ì|sinx| |x|<pï3, 求j(p), j(p), j(-p), j(-2), 并作出函数y=j(x)的 8. 设j(x)=íp464ï0 |x|³3î图形. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)y=x, (-¥, 1); 1-x (2)y=x+ln x, (0, +¥). 10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; 21-x (3)y=; 1+x2 (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; x-xa+a (6)y=. 2 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x-2); (2)y=cos 4x; (3)y=1+sin px; (4)y=xcos x; (5)y=sin2x. 14. 求下列函数的反函数: (1)y=3x+1错误！未指定书签。错误！未指定书签。; (2)y=1-x错误！未指定书签。; 1+x (3)y=ax+b(ad-bc¹0); cx+d (4) y=2sin3x; (5) y=1+ln(x+2); x2 (6)y=x. 2+1 15. 设函数f(x)在数集X上有定义, 试证: 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值: (1) y=u2, u=sin x, x1=p, x2=p; 63 (2) y=sin u, u=2x, x1=p,x2=p; 84 (3)y=u, u=1+x2, x1=1, x2= 2; (4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1; (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=-1. 17. 设f(x)的定义域D=0, 1, 求下列各函数的定义域: (1) f(x2); (2) f(sinx); (3) f(x+a)(a>0); (4) f(x+a)+f(x-a)(a>0). ì1 |x|<1ï 18. 设f(x)=í0 |x|=1, g(x)=ex 错误！未指定书签。, 求fg(x)和gf(x), 并作ïî-1 |x|>1出这两个函数的图形. 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40°(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 习题1-2 1. 观察一般项xn如下的数列xn的变化趋势, 写出它们的极限: (1)xn=1n; 2 (2)xn=(-1)n1; n (3)xn=2+1; n2 (4)xn=n-1; n+1 (5) xn=n(-1)n. cosnp2. 问limx=? 求出N, 使当n>N时, x与其极 2. 设数列xn的一般项xn=nnn®¥n限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N. 3. 根据数列极限的定义证明: (1)lim1=0; n®¥n2 (2)lim3n+1=3; n®¥2n+12 . 22 (3)limn+a=1; n®¥n (4)lim0.4999 ×4 × × 9=1. 123n®¥n个 4. limun=a, 证明lim|un|=|a|. 并举例说明: 如果数列|xn|有极限, 但数列n®¥n®¥xn未必有极限. 5. 设数列xn有界, 又limyn=0, 证明: limxnyn=0. n®¥n®¥ 6. 对于数列xn, 若x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 证明: xn®a(n®¥). 习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1)lim(3x-1)=8; x®3 (2)lim(5x+2)=12; x®22x-4=-4; (3)limx®-2x+231-4x=2. (4)lim12x+1x®-2 2. 根据函数极限的定义证明: 31; (1)lim1+x=x®¥2x32 . (2)limsinx=0. x®+¥x 3. 当x®2时, y=x2®4. 问d等于多少, 使当|x-2|<d时, |y-4|<0.001？ 2x 4. 当x®¥时, y=2-1®1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y-1|<0.01? x+3 5. 证明函数f(x)=|x|当x®0时极限为零. |x| 6. 求f(x)=x, j(x)=当x®0时的左右极限, 并说明它们在x®0时的极xx限是否存在. 7. 证明: 若x®+¥及x®-¥时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则x®¥limf(x)=A. 8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x®x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 9. 试给出x®¥时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 习题1-4 1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 2. 根据定义证明: 2x (1)y=-9当x®3时为无穷小; x+3 (2)y=xsin1当x®0时为无穷小. x 3. 根据定义证明: 函数y=1+2x为当x®0时的无穷大. 问x应满足什么条件, x能使|y|>104？ 4. 求下列极限并说明理由: (1)lim2x+1; x®¥x21-x (2)lim. x®01-x . 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: x®x0 f(x)®A "e>0, $d>0, 使 当0<|x-x0|<d时, 有恒|f(x)-A|<e. f(x)®¥ f(x)®+¥ f(x)®-¥ x®x0+ x®x0- x®¥ "e>0, $X>0, 使当|x|>X时, 有恒|f(x)|>M. x®+¥ x®-¥ 6. 函数y=xcos x在(-¥, +¥)内是否有界？这个函数是否为当x®+¥ 时的无穷大？为什么？ 7. 证明: 函数y=1sin1在区间(0, 1上无界, 但这函数不是当x®0+时的无穷xx大. 习题1-5 1. 计算下列极限: 2x (1)lim+5; x®2x-3 . 2x (2)lim2-3; x®3x+12x (3)lim-22x+1; x®1x-1 . 32x2+x; (4)lim4x-x®03x2+2x(x+h)2-x2 (5)lim; h®0h . (6)lim(2-1+1); x®¥xx2 . 2x (7)lim2-1; x®¥2x-x-12xx; (8)lim4+2x®¥x-3x-12x (9)lim2-6x+8; x®4x-5x+4 . (10)lim(1+1)(2-1); 2x®¥xx . (11)lim(1+1+1+ × × × +1); n®¥242n . 1+2+3+ × × × +(n-1) (12)lim; n®¥n2 . (n+1)(n+2)(n+3) (13)lim; 3n®¥5n (14)lim(1-33); x®11-x1-x 2. 计算下列极限: 32x+2x (1)lim; x®2(x-2)22 (2)limx; x®¥2x+1 (3)lim(2x3-x+1). x®¥ 3. 计算下列极限: (1)limx2sin1; x®0x (2)limarctanx. x®¥x 4. 证明本节定理3中的(2). 习题 1-7 1. 当x®0时, 2x-x2 与x2-x3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 2. 当x®1时, 无穷小1-x和(1)1-x3, (2)1(1-x2)是否同阶？是否等价？ 2 3. 证明: 当x®0时, 有: (1) arctan xx; 2x (2)secx-1. 2 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)limtan3x; x®02xsin(xn) (2)lim(n, m为正整数); x®0(sinx)msinx; (3)limtanx-x®0sin3x (4)lim sinx-tanx. x®0(31+x2-1)(1+sinx-1) 5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) a a (自反性); (2) 若a b, 则ba(对称性); (3)若a b, bg, 则ag(传递性). 习题1-8 1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: ìx2 0£x£1 (1)f(x)=í 2-x 1<x£2îìx -1£x£1 (2)f(x)=í. 1 |x|>1î 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: 2x (1)y=2-1, x=1, x=2; x-3x+2 (2)y=x, x=k, x=kp+p (k=0, ±1, ±2, × × ×); tanx2 (3)y=cos21, x=0; xìx-1 x£1 (4)y=í, x =1. 3 -x x>1î 3. 讨论函数f(x)=lim1-x2nx的连续性, 若有间断点, 判别其类型. n®¥1+x 4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)¹0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xÎU(x0)时, f(x)¹0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子: (1)x=0, ±1, ±2, ±1, × × ×, ±n, ±1, × × ×是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间2n断点; (2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续; 2n (3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续. 习题1-9 32x+3x-x-3的连续区间, 并求极限limf(x), limf(x)及 1. 求函数f(x)=x®-3x®0x2+x-6limf(x). x®2 2. 设函数f(x)与g(x)在点x0连续, 证明函数 j(x)=maxf(x), g(x), y(x)=minf(x), g(x) 在点x0也连续. 3. 求下列极限: (1)limx2-2x+5; x®0 (2)lim(sin2x)3; x®p4 (3)limln(2cos2x); x®p6 (4)limx+1-1; x®0x (5)lim5x-4-x; x®1x-1 (6)limsinx-sina; x®ax-a (7)lim(x2+x-x2-x). x®+¥ 4. 求下列极限: (1)limx®¥1ex; (2)limlnsinx; x®0x (3)lim(1+1)2; x®¥x (4)lim(1+3tan2x)cotx; x®02xx-13+x (5)lim2; x®¥6+x (6)lim1+tanx-1+sinx. x®0x1+sin2x-x ì ex x<0 5. 设函数f(x)=í 应当如何选择数a, 使得f(x)成为在(-¥, +¥)内 a+x x³0î的连续函数？ 习题1-10 1. 证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x=asinx+b, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 并且它不超过a+b. 3. 设函数f(x)对于闭区间a, b上的任意两点x、y, 恒有|f(x)-f(y)|£L|x-y|, 其中L为正常数, 且f(a)×f(b)<0. 证明: 至少有一点xÎ(a, b), 使得f(x)=0. 4. 若f(x)在a, b上连续, a<x1<x2< × × × <xn<b, 则在x1, xn上至少有一点x , 使 f(x1)+f(x2)+ × × × +f(xn) f(x)=. n 5. 证明: 若f(x)在(-¥, +¥)内连续, 且limf(x)存在, 则f(x)必在(-¥, +¥)内有x®¥界. 6. 在什么条件下, (a, b)内的连续函数f(x)为一致连续？ 总习题一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列xn有界是数列xn收敛的_条件. 数列xn收敛是数列xn有界的_的条件. (2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的_条件. limf(x)x®x0x®x0存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的_条件. (3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)=¥的_条件. x®x0x®x0limf(x)=¥是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的_条件. x®x0 (4)f(x)当x®x0时的右极限f(x0+)及左极限f(x0-)都存在且相等是limf(x)存在的_条件. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f(x)=2x+3x-2, 则当x®0时, 有( ). (A)f(x)与x是等价无穷小; (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小; (C)f(x)是比x高阶的无穷小; (D)f(x)是比x低阶的无穷小. 3. 设f(x)的定义域是0, 1, 求下列函数的定义域: (1) f(ex); (2) f(ln x); (3) f(arctan x); (4) f(cos x). 4. 设 0 x £ 0ì0 x£0 f(x)=ì, g(x)=íx x >í-x2 x>0, 0îî求ff(x), gg(x), fg(x), gf(x). 5. 利用y=sin x的图形作出下列函数的图形: (1)y=|sin x|; (2)y=sin|x|; (3)y=2sinx. 2 6. 把半径为R的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为a的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为a的函数. 2x 7. 根据函数极限的定义证明lim-x-6=5. x®3x-3 8. 求下列极限: 21; (1)limx-x+x®1(x-1)2 (2)limx(x2+1-x); x®+¥ (3)lim(2x+3)x+1; x®¥2x+1sinx; (4)limtanx-x®0x3xxx1a+b+c (5)limx(a>0, b>0, c>0); x®03 (6)lim(sinx)tanx. x®p21ìïxsin x>0 9. 设f(x)=í, 要使f(x)在(-¥, +¥)内连续, 应怎样选择数a? x2ïîa+x x£01ìïex-1 x>0 10. 设f(x)=í, 求f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形. ïîln(1+x) -1<x£01+1+ × × × +1 11. 证明lim=1. 222n®¥n+1n+2n+n() 12. 证明方程sin x+x+1=0在开区间(-p, p)内至少有一个根. 22证明 设f(x)=sin x+x+1, 则函数f(x)在- p,p上连续. 22 13. 如果存在直线L: y=kx+b, 使得当x®¥(或x®+¥, x®-¥)时, 曲线y=f(x)上的动点M(x, y)到直线L的距离d(M, L)®0, 则称L为曲线y=f(x)的渐近线. 当直线L的斜率k¹0时, 称L为斜渐近线. (1)证明: 直线L: y=kx+b为曲线y=f(x)的渐近线的充分必要条件是 k= x ® ¥ (x®+¥,x®-¥)limf(x), b=lim x®¥xf(x)-kx. (x®+¥,x®-¥) (2)求曲线 习题2-1 1y=(2x-1)ex的斜渐近线. 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔0, t内转过的角度为q, 从而转角q是t的函数: q=q(t). 如果旋转是匀速的, 那么称w=q为该物体旋转的角速度, 如果旋转t是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？ . 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t), 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？ 3. 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f¢(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f¢(x)的实际意义. 4. 设f(x)=10x2, 试按定义, 求f ¢(-1). 5. 证明(cos x)¢=-sin x. 6. 下列各题中均假定f ¢(x0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A表示什么: (1)lim . (2)lim . (3)lim 7. 求下列函数的导数: (1)y=x4; (2)y=3x2; (3)y=x1. 6; h®0Dx®0f(x0-Dx)-f(x0)=A; Dxx®0f(x)=A, 其中f(0)=0, 且f ¢(0)存在; xf(x0+h)-f(x0-h)=A. h (4)y=1; x (5)y=1; x2 (6)y=x35x; 232xx; (7)y=x5 . 8. 已知物体的运动规律为s=t3(m). 求这物体在t=2秒(s)时的速度. 9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 10. 求曲线y=sin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: x=2p, x=p. 3 11. 求曲线y=cos x上点(p, 1)处的切线方程和法线方程式. 32 12. 求曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程. 13. 在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 14. 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性: (1)y=|sin x|; ìïx2sin1 x¹0 (2)y=í . xïî0 x=0ì x2 x£1 15. 设函数f(x)=í为了使函数f(x)在x=1处连续且可导, a, b应取什ax+b x>1î么值？ ì x2 x³0 16. 已知f(x)=í求f+¢(0)及f-¢(0), 又f ¢(0)是否存在？ -x x<0î sinx x<0 17. 已知f(x)=ìí x x³0, 求f ¢(x) . î 18. 证明: 双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2 . 习题 2-2 1. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)¢=-csc2x ; (csc x)¢=-csc xcot x . . 2. 求下列函数的导数: 7-2+12; (1)y=4+x5x4x (2) y=5x3-2x+3ex ; (3) y=2tan x+sec x-1; (4) y=sin x×cos x ; (5) y=x2ln x ; (6) y=3excos x ; (7)y=lnx; x (8)y=e2+ln3; xx (9) y=x2ln x cos x ; (10)s=1+sint; 1+cost . 3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y=sin x-cos x , 求y¢x=p6和y¢x=p4. dr (2)r=qsinq+1cosq,求dq2q=p. 423x (3)f(x)=+, 求f ¢(0)和f ¢(2) . 5-x5 4. 以初速v0竖直上抛的物体, 其上升高度s与时间t的关系是s=v0t-1gt2. 2求: (1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y=2sin x+x2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程. 6. 求下列函数的导数: (1) y=(2x+5)4 (2) y=cos(4-3x); (3)y=e-3x; (4) y=ln(1+x2); (5) y=sin2x ; (6)y=a2-x2; (7) y=tan(x2); (8) y=arctan(ex); 2 (9) y=(arcsin x)2; (10) y=lncos x. 7. 求下列函数的导数: (1) y=arcsin(1-2x); (2)y=1; 1-x2-x2cos3x; (3)y=e (4)y=arccos1; x (5)y=1-lnx; 1+lnx (6)y=sin2x; x (7)y=arcsinx; (8)y=ln(x+a2+x2); (9) y=ln(sec x+tan x); (10) y=ln(csc x-cot x). 8. 求下列函数的导数: (1)y=(arcsinx)2; 2 (2)y=lntanx; 2 (3)y=1+ln2x; (4)y=earctanx; (5)y=sinnxcos nx ; (6)y=arctanx+1; x-1 (7)y=arcsinx; arccosx (8) y=lnln(ln x) ; (9)y1+x-1-x; 1+x+1-x (10)y=arcsin1-x. 1+x 9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f2(x)+g2(x)¹0, 试求函数y=f2(x)+g2(x)的导数. 10. 设f(x)可导, 求下列函数y的导数 (1) y=f(x2); (2) y=f(sin2x)+f(cos2x). 11. 求下列函数的导数: (1) y=ch(sh x ); (2) y=sh x×ech x; (3) y=th(ln x); (4) y=sh3x +ch2x ; (5) y=th(1-x2); (6) y=arch(x2+1); (7) y=arch(e2x); (8) y=arctan(th x); dy: dx1; 2ch2x (10)y=ch2(x-1) x+1 (9)y=lnchx+ 12. 求下列函数的导数: (1) y=e-x(x2-2x+3); (2) y=sin2x×sin(x2); (3)y=(arctanx)2; 2 (4)y=lnnx; xt-te-e (5)y=t-t; e+e (6)y=lncos1; x (7)-sin21xy=e; (8)y=x+x; (9) y=xarcsinx+4-x2; 2 (10)y=arcsin2t2. 1+t习题 2-3 1. 求函数的二阶导数: (1) y=2x2+ln x; (2) y=e2x-1; (3) y=xcos x; (4) y=e-t sin t; (5)y=a2-x2; (6) y=ln(1-x2) (7) y=tan x; (8)y=31; x+1 (9) y=(1+x2)arctan x ; (10)y=e; x (11)y=xex; (12)y=ln(x+1+x2). . 2. 设f(x)=(x+10)6, f ¢¢¢(2)=? d2y 3. 若f ¢¢(x)存在, 求下列函数y的二阶导数2: dx (1) y=f(x2); 2x (2) y=lnf(x) . 4. 试从dx=1导出: dyy¢2y¢¢ (1)dx; =-23dy(y¢)33(y¢¢)2-y¢y¢¢¢dx (2)3=. dy(y¢)5 5. 已知物体的运动规律为s=Asinwt(A、w是常数), 求物体运动的加速度, 并验证: 2s+w2s=0. d2dt. 6. 验证函数y=C1elx+C2e-lx(l,C1, C2是常数)满足关系式: y¢¢-l2y=0 . 7. 验证函数y=exsin x满足关系式: y¢¢-2y¢+2y=0 . 8. 求下列函数的n阶导数的一般表达式: (1) y=xn+a1xn-1+a2xn-2+ × × × +an-1x+an (a1, a2, × × ×, an都是常数); (2) y=sin2x ; (3) y=xln x ; (4) y=xex . 9. 求下列函数所指定的阶的导数: (1) y=excos x, 求y(4) ; (2) y=xsh x, 求y(100) ; (3) y=x2sin 2x, 求y(50) . 习题 2-3 1. 求函数的二阶导数: (1) y=2x2+ln x; (2) y=e2x-1; (3) y=xcos x; (4) y=e-t sin t; (5)y=a2-x2; (6) y=ln(1-x2) (7) y=tan x; (8)y=31; x+1 (9) y=(1+x2)arctan x ; xe (10)y=; x (11)y=xe; x2 (12)y=ln(x+1+x2). . 2. 设f(x)=(x+10)6, f ¢¢¢(2)=? d2y 3. 若f ¢¢(x)存在, 求下列函数y的二阶导数2: dx (1) y=f(x2); (2) y=lnf(x) . 4. 试从dx=1导出: dyy¢2y¢¢d (1)x; =-dy2(y¢)333(y¢¢)2-y¢y¢¢¢dx (2)3=. dy(y¢)5 5. 已知物体的运动规律为s=Asinwt(A、w是常数), 求物体运动的加速度, 并验证: 2ds+w2s=0. 2dt. . 6. 验证函数y=C1elx+C2e-lx(l,C1, C2是常数)满足关系式: y¢¢-l2y=0 . 7. 验证函数y=exsin x满足关系式: y¢¢-2y¢+2y=0 . 8. 求下列函数的n阶导数的一般表达式: (1) y=xn+a1xn-1+a2xn-2+ × × × +an-1x+an (a1, a2, × × ×, an都是常数); (2) y=sin2x ; (3) y=xln x ; (4) y=xex . 9. 求下列函数所指定的阶的导数: (1) y=excos x, 求y(4) ; (2) y=xsh x, 求y(100) ; (3) y=x2sin 2x, 求y(50) . 习题2-4 1. 求由下列方程所确定的隐函数y的导数 (1) y2-2x y+9=0; (2) x3+y3-3axy=0; (3) xy