双曲线渐近线方程的概述.docx

双曲线渐近线方程的概述双曲线的渐近线概述对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的几何性质中特有性质，它刻画了双曲线的大致走向.因此加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握. 一、深刻理解双曲线的渐近线概念 1对关键词“渐近”的理解：它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限的靠近，但永远都不会相交.也可以这样理解：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的.还可以这样理解：当双曲线的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0. 2渐近线的作法：过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们是围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线. 3、明确双曲线渐近线的作用：利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出它的两个顶点和渐近线，就能画出它的近似图形. 二掌握双曲线的渐近线方程的求法 根据双曲线的标准方程求渐近线：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了x2y2此双曲线的渐近线方程.也就是说，若双曲线方程为221(a0，b0)，则渐近线方程abx2y2xyy2x2的求法是令220，即两条渐近线方程为±0；若双曲线方程为221(a0，babababy2x2yx0)，则渐近线方程的求法是令220，即两条渐近线方程为±0 abab三、掌握双曲线渐近线常见结论 1两条渐近线的倾斜角及斜率关系：两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数. 2两条渐近线的对称关系：两条渐近线关于x轴、y轴对称. 3等轴双曲线的的渐近线方程：y±x. 4共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同. 5渐近线的参照性：如果平面上的一条直线与双曲线的任一条渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点. 四、典例分析 1、根据几何性质求双曲线的渐近线 x2y2例1已知F1、F2为双曲线221(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，ab它与双曲线的一个交点为P，且PF1F230°，则双曲线的渐近线方程为( ) (A)y±x 分析：由条件知PF1F2为一个直角三角形，又|F1F2|2c，PF1F230°，因此只需再确定由a、b、c表示的另一边，由条件易知，点|PF2|易确定，由三角函数建立等式，问题基本上就可能解决了. b2解：设双曲线的焦点F1(c，0)、F2(c，0)，则将xc代入双曲线方程得点P(c，)， a2x 2(B)y±3x (C)y±3x 3(D)y±23b2b22又PF1F230°，cot30°2c，3b2ac，c， a2ab代入c2a2b2，得3b44a2b24a40，即(3b22a2)(b22a2)0，2， a双曲线的渐近线方程为y±2x，故选D. 点评：根据双曲线的几何性质求渐近线：主要是根据条件确定b、c或a、c的比例关系，再结合a、b、c之间的平方关系a2b2c2，确定a、b之间的比例关系，进而得到双曲线的渐近线方程，但要注意双曲线的焦点位置. 2根据渐近线求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线方程求它的曲线方程的简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方xyx2y2程为±0，则所求双曲线的方程可设为22m，这里m为不等于0的待定常数，其ababx2y2值可由题目中的已知条件通过建立方程确定.此方法可适当推广：求与双曲线221(aabx2y20，b0)有共同渐近线的双曲线方程同样可设为22m(m为不等于0的待定常数). ab4例2已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在坐标轴上，且经过点A(3，23)，3求双曲线方程. 4x2y2xy分析：先将渐近线方程是y=±x化为±0，则可设所求双曲线方程为(3439160)，然后再将点A(3，23)代入建立方程求得参数，进而求得双曲线方程. x2y2xy解：双曲线的渐近线方程化为±0，因此设所求双曲线方程为(0)， 34916(3)2(23)21点A(3，23)在双曲线上，得， 91644x2y2因此，所求双曲线方程为1. 94说明：本例有两种常规解法：一是按焦点在x轴上，或焦点在y轴上的两种情况分别求解；二是先判断点A在渐近线上方还是下方，来确定双曲线类型，然后求解.这两种方法都较繁.上面提供的解法是根据已知双曲线的渐近线方程，巧设双曲线系方程，避免了研究双曲线方程类型，简化了解题过程.