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卢同善实变函数青岛海洋大学出社第二章习题答案第二章习题答案 1. 若xm®x且ym®y，则r(xm,ym)®r(x,y). 特别的, 若xm®x， 则r(xm,y)®r(x,y). 证明：这实际上是表明r(x,y)是Rn´Rn上的连续函数. 利用三角不等式, 得到 r(xm,ym)-r(x,y)£r(xm,ym)-r(x,ym)+r(x,ym)-r(x,y)£r(x,xm)+r(y,ym)®0,(m®¥). 2. 证明：若x1ÎO(x0,d)，则$d1<d，使得O(x1,d1)ÌO(x0,d). 证明：实际上取0<d1<d-r(x0,x1)即可，因为此时对任意的xÎO(x1,d1)，有 r(x,x0)£r(x,x1)+r(x1,x0)£d1+r(x1,x0)<d，即xÎO(x0,d). 3. 证明以下三条等价：(1).x0ÎE; (2). x0的任意邻域中都有E中的点；(3). 存在E中的点列xn收敛到x0. 进而，若x0ÏE，则存在d>0，使得O(x0,d)IE=Æ. 证明：注意到E=EUE'. .若成立，则x0ÎE或x0ÎE'. 若前者成立，显然成立；若后者x0ÎE'成立，由极限点的定义也有成立. 总之，由推出. )IE¹Æ，在其中任选一点记为xn. 这样 (ii). 若成立，则对任意的n，有O(x0,1n就得到点列xnÌE，使得r(xn,x0)<1n，即成立. (iii). 设成立. 若存在某个n使得xn=x0，当然有x0=xnÎEÌE；若对任意的n，都有x0¹xn，则根据极限点的性质知x0ÎE'ÌE. 总之，成立. 5. 证明：AÈB=AÈB. 证明：因为(AUB)'=A'UB'，所以有 AÈB=(AÈB)U(AÈB)'=(AÈB)U(A'ÈB')=(AÈA')U(BÈB')=AÈB. 6. 在R1中，设E=QÇ0,1，求E',E. 解： E'=E=0,1 7. 在R2中，设E=(x,y):x2+y2<1，求E',E. 解： E'=E=(x,y):x2+y2£1 ,ìsin1x8. 在R中，设E是函数y=íî0,2x¹0,x=0,的图形上的点的全体所成之集，求E'. 解： E'=EU(0,a):-1£a£1. 因对任意的-1£a£1，有E上的点列 11ìü,yý®(0,a). í2np+arcsinaþî2np+arcsina9. 证明：当E是不可数集时，E'也必是不可数集. 证明：注意到E=(EIE')U(EE'). 而EE'是E中孤立点的全体，它是一个孤立集，故是至多可数集. 若E'不是不可数集，则E'是至多可数集，其子集EIE也必为至多可数集，就得到E=(EIE')U(EE')也是至多可数集，与题设矛盾. 所以E'必是不可数集. 10. 设EÌR1,u=infE,m=supE, 证明uÎE,mÎE. 证明：由确界的定义知有E中的点列xn收敛到u，再由第3题即得结果. 11. 证明以下三个命题等价: (1) E是疏朗集. (2) E不含任何邻域. (3) (E)c是稠密集. 证明： (1)®(2)：反证法 假设存在O(x,r)ÌE, 按闭包的等价定义, O(x,r)中任意点的任意邻域中都含有E中的点, 与疏朗集的定义矛盾. (2)®(3)：由假设, 对"x, "d>0, 有O(x,d)ËE, 从而O(x,d)IE一点的任一邻域中都有(E)中的点，也即(E)是稠密集. (3)®(1)：反证法 若E不是疏朗集，则存在O(x,d)，使得O(x,d)中没有子邻域与E不相交. 这实际上意味着对任意的O(y,r)ÌO(x,d)都有O(y,r)ÇE¹Æ, 由r的任意小性知道yÎE, 再由y的任意性知道O(y,r)ÌE, 由此知道Ecc'()c¹Æ，即任()不是稠密的. c由这个命题知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q. 12. 设EÌRn，证明：E是疏朗集的充要条件是任一闭区间中均有子闭区间与E不相交. 证明：因为任一闭区间中必含开区间，而任一开区间中也必含闭区间. 13. 证明：疏朗集的余集必是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集. 证明：由第11题知若E是疏朗集，则(E)是稠密集. 而由于EÌE，故E从而由(E)c是稠密集得到Ec是稠密的. 反例：Q和Qc都是稠密集. 14. 构造反例说明：非稠密集未必是疏朗集，非疏朗集未必是稠密集. 反例：0,1 15. 证明：R1中的非空闭区间不能表示成可数个疏朗集的并. 证明：反证法. 若否，设a,b=c()cÌE，cU¥n=1En，其中En都是疏朗集. 利用12题，因E1疏朗，故a,b中有非空子闭区间a1,b1Ìa,b，使b1-a1<1且a1,b1IE1=Æ；同样，因E2疏朗，存在a2,b2Ìa1,b1，使b2-a2<到一列闭区间套an,bn，使得bn-an<1n12并且a2,b2IE2=Æ；一直下去，得IEn=Æ. an+1,bn+1Ìan,bn，,bn，且an由数学分析中的闭区间套定理，存在唯一的xÎa,b含于所有的闭区间an,bn，并且成立xÏEn("n)，这与xÎa,b=U¥n=1En矛盾. 16. 孤立集EÌRn必是至多可数集. 证明：令Ek=EIO(0,k)，则Ek是有界集列，且E=U¥k=1Ek，故只需要证明每个Ek是至多可数集即可. 注意到Ek也是孤立集并且有界，方便起见，不妨仍记Ek为E. 这样，问题转为证明：有界的孤立集E是至多可数集. 任取xÎE，由孤立性，存在d(x)>0使得 )E= O(x,d(x)I x. 得到满足式开球族O(x,d(x):xÎE=K. 明显的，E和开球族K对等. 对K中的球按半径分类. 令Kn是K中半径大于1n的球的全体. 则K=U¥n=1Kn，若能证明每个Kn都是有限集，就得到K是至多可数集，从而E是至多可数集. 下证明：Kn都是有限集. 注意到Kn中每个球的半径大于的球中式），这表明各个球心之间的距离大于1n1n，且每个球的球心不在其他. 另一方面，这些球心是一致有界的. 再结合有界的无限集必有收敛的子列这一命题，知Kn中只能有有限个球. 17. 设EÌRn，证明E是Rn中包含E的最小闭集. 证明：当然，E是包含E的闭集. 任取闭集F，且EÌF. 来证EÌF. 任取x0ÎE，则存在E中的点列xn收敛到x0(第3题中闭包的性质). 而EÌF，所以点列xn含于F中且收敛到x0，这表明x0ÎF. 又F是闭集，所以F=F，即有x0ÎF. 再由x0ÎE的任意性知EÌF，即E是包含E的最小闭集. 18. 设f(x)是Rn上的实值连续函数. 证明：对任意的实数a，集合 x:f(x)>a是开集, 集合x:f(x)³a是闭集. 证明：任取x:f(x)>a中的点x0，则f(x0)>a. 由连续函数的性质知：$d>0，使得当x-x0<d时，恒有f(x)>a，即O(x0,d)Ìx:f(x)>a，也就证明了x0是x:f(x)>a的内点. 由x0的任意性知x:f(x)>a是开集. 证明E=x:f(x)³a是闭集. 法一. 类似于，知x:f(x)<a是开集. 由于开集的余集是闭集，所以 x:f(x)³a=x:f(x)<a是闭集. c' 法二. 直接证. 任取x0ÎE，则存在点列xnÌE，使得limn®¥xn=x0. 再由函数的连续性知limn®¥f(xn)=f(x0). 又f(xn)³a("n)，结合连续函数的性质，必'有f(x0)³a，即x0ÎE. 由x0ÎE的任意性得到E'ÌE，也即E是闭集. 19. 证明：R1中可数个稠密的开集之交是稠密集. 证明：反证法. 设E=I¥n=1En，其中En是一列稠密的开集. 若E不是稠密集，则存在某个邻域O(x0,d)与E不相交，这时必有闭区间 I=x0-d2,x0+dÌE. 2c而 E=c(I¥n=1En)c=U¥n=1cEn， 这里Enc是一列疏朗集(因为稠密开集的余集是疏朗的). EncII也是一列疏朗集，再由，两式得到 I=IIE=IIUc¥n=1En=cU(IIE)， cn=1n¥这表明非空闭区间I可以表示成一列疏朗集EncII的并，与第15题矛盾. 补：稠密开集E的余集Ec是疏朗的. 证明：反证法. 若Ec不是疏朗集，由疏朗集的等价条件知存在邻域cO(x0,d)ÌE. 又E是开集，所以E是闭集，故E=E. 结合起来有O(x0,d)ÌE，cccc这表明O(x0,d)IE=Æ，与E是稠密集矛盾. 20. 设f(x)是R1上的实函数. 令 w(x)=limd®0ésupy-x<df(y)-infy-x<df(y)ù. ëû证明 ：对任意的e>0，集合x:w(x)³e是闭集. f(x)的不连续点的全体成一Fs集. 证明：注意到w(x)=limd®0supy',y''ÎO(x,d)(f(y)-f(y)，它是f(x)在x处的振幅. ''' . 等价于证明E=x:w(x)<e是开集. 任取x0ÎE，因为w(x0)<e，由极限的性质，存在d>0，使得 supy',y''ÎO(x0,d)(f(y)-'f(y)<e. ''任取xÎO(x0,d)，则存在d1>0，使得O(x,d1)ÌO(x0,d). 显然有 supy',y''ÎO(x,d1)(f(y)-'f(y)£supy',y''ÎO(x''0,d)(f(y)-'f(y)<e. ''这表明w(x)<e，xÎE. 故O(x0,d)ÌE，说明E中的点全是内点，E是开集. . 注意到连续点的振幅是零，不连续点的振幅大于零. 设不连续点的全体是K. 令Kn=íxÎR:w(x)³îì11üý. 则Kn是闭集列，且K=nþU¥n=1Kn，即K是Fs集. 21. 证明：0,1中无理数的全体不是Fs集. 证明：反证法. 若0,1Q是Fs集，则0,1Q=U¥n=1En，其中En是0,1中的闭集列. 因为每个En都是闭集且都不含有理数，所以它必是疏朗集. 而0,1中有理数的全体QI0,1是可数集，设QI0,1=r1,r2,L,rn,K=Ur. 单点集列rn当然是疏朗集列. 结合起来，有 n=1n¥0,1=(0,1Q)U(0,1IQ)=(U¥n=1EnU)(U¥n=1rn)， 等式的右边都是疏朗集，故上式表明闭区间0,1可表示成一列疏朗集的并，与第15题矛盾. 22. 证明：定义在0,1上具有性质：“在有理点处连续，在无理点处不连续”的函数不存在. 证明：结合第20题和第21题直接得结论. 23. 设EÌRn，证明E的任意开覆盖必有至多可数的子覆盖. 证明：设Ea:aÎL是E的任一开覆盖. 任取E中的点x，必有某aÎL，使得xÎEa.存在有理开区间Ix，使得 xÎIxÌEa. 就得到E的有理开区间族覆盖Ix:xÎE，其中Ix对某个Ea满足式. 因为有理开区间的全体是可数集，所以Ix:xÎE作为集合来看是至多可数集，记为In. 则EÌUn对In，取满足式的相应Ea记为En，这时EnIn，是至多可数个且覆盖E. 24. 用Borel有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass定理. 证明：反证法. 设E是有界的无限集. 若E没有极限点，则它是有界闭集，还是孤立集. 由孤立性，对任意的xÎE，存在d(x)>0使得 O(x,d(x)IE=x 这样，得到满足式的开球族O(x,d(x):xÎE且覆盖E. 因E是有界闭集，由Borel有限覆盖定理，存在有限的子覆盖，记为O(xi):i=1,L,k. 即有EÌUki=1O(xi)，又E是无限集，所以至少存在一个O(xi)含有E中的多个点，这与式矛盾. 25. 设EÌRn是Gd集，且E含于开集I之中，则E可表为一列含于I的递减开集之交. 证明：设E=I¥n=1En，其中En是开集列. 取Fn=Ink=1Ek，则Fn是递减的开集列，且E=I¥n=1Fn. 又I是开集，故FnII是含于I中的¥n=1递减开集列. 结合EÌI，得E=EII=(IFnII=)I(Fn=1¥nII).FnII为所求. 26. 设fn(x)为Rn上的连续函数列. 证明：点集E=x:limfn(x)>0为一Fs集. 证明：注意到对任意的a，x:fn(x)³a=fn³a都是闭集. 而 E=x:limfn(x)>0=UUk=1¥¥N=1I¥n=N1ùé. f³ênkúëû又I¥n=N1ùé是闭集，结合上式表明E为一Fs集. f³ênkúëû27. 设G为Cantor开集，求G'. 解：由Cantor集是疏朗的，可得G'=0,1 28. 证明：R1中既开又闭的集合只能是R1或Æ. 证明：设A是非空的既开又闭集. 它必有构成区间，不妨设(a,b)是A的一个构成区间.若a有限, 则aÏA; 另一方面，由A是闭集得aÎa,b=(a,b)'ÌA'ÌA, 得到矛盾. 所以a=-¥，同理得b=+¥. 因此A=R1，所以R1中既开又闭的集或是空集或是R1. 实际上：Rn中既开又闭的集或是空集或是Rn. 证明: 反证法. 设AÌRn是既开又闭的非空又非Rn的集合. 则必存在xÎR，但xÏA. 一方面因为A是非空闭集, 所以存在yÎA, 使得r(x,A)=r(x,y)>0. 另一方n面, 因为A又是开集, 所以y是内点，而取得非零距离的点绝不能是内点，就导出了矛盾, 所以Rn中既开又闭的集或是空集或是Rn. 29. R1中开集全体所成之集的势为c. 证明：因为开集的余集是闭集、闭集的余集是开集, 且不同集合的余集是不同的, 所以开集全体的势和闭集全体的势是一样的. 设开集的全体是F. 由于全体开区间F1=(a,b):a<b(a(b)可取负(正)无穷)的势是c, 所以F的势不小于c. 任取开集AÎF, 由开集的构造知道A=U(ai,bi)(是至多可列个并). 作对应j(A)=a1,b1;a2,b2;L;L, 则该对应是从F到R¥一个单射, 就有F的势不大于R¥的势c. 综上所述，直线上开集的全体的势是c. 实际上：Rn中开集全体所成之集的势为c. 证明：设Rn中开集的全体是F，易知F的势不小于c. 由Rn中开集的构造，每个开集In(A):nÎN的并，且开集不同时表示不完全相同. 有理方区间的全体K是可数集，所以K的子集的全体所成之集2K的势是2a=c. 让开集A和它的表示In(A):nÎN对应，则该对应是从F到2K的单射，这表明F的势不超过c. 30. 证明：Rn中的每个开集或闭集均为Fs集和Gd集. 证明：设E是闭集，它当然是Fs集. 令En=x:r(x,E)<1n，则En是包含E的开集列. 实际上，有 E=I¥n=1En. 1n 显然，左是右的子集. 任取右边的元x，则xÎEn("n)，即r(x,E)<("n)，这表明r(x,E)=0，因此xÎE=E，说明右边是左边的子集. 因此式表明闭集E是Gd集. 由对偶性得到开集既是Fs集也是Gd集. 31. 非空集合FÌRn具有性质："xÎR,$yÎF使r(x,y)=r(x,F)，证明F是闭集. '证明：任取xÎF，则存在xnÌF，使x-xn®0，故 0£r(x,F)£x-xn®0. n*因此r(x,F)=0. 由题设，存在yÎF使得r(x,y)=r(x,F)=0，故x=yÎF. 由xÎF的任意性得FÌF，即F是闭集. '*'由于点到闭集的距离可达, 该性质是F成为闭集的充要条件. 32. 设集合EÌRn,d>0，点集U为U=x:r(x,E)<d. 证明EÌU且U是开集. 证明：EÌU是显然的. 法一. 由第34题，f(x)=r(x,E)是Rn上的连续函数，而U=x:f(x)<d，再由第18题知U是开集. 法二. 直接证U中的点全是内点. 任取xÎU，则r(x,E)=r<d当yÎRn满足r(x,y)<d时，根据集合距离的不等式得 . 取正数d<d-r. r(y,E)£r(x,E)+r(x,y)<r+d<d， 即表明O(x,d)ÌU，故x是U的内点. 由xÎU的任意性知U是开集. 33. 设E,FÌRn是不相交的闭集，证明：存在互不相交的开集U,V，使得EÌU,FÌV. 证明：法一. 由第35题，存在Rn上的连续函数f(x)使得E=x:f(x)=0且F=x:f(x)=1. 则U=x:f(x)<14,V=x:f(x)>12都是开集且不相交，同时还满足EÌU,FÌV. 法二. 因为E,F是互不相交的闭集，所以Ec,Fc是开集，且EÌFc,FÌEc. 任取xÎEÌF, 因F是开集，故存在邻域O(x)=O(x,d(x)，使得 cc xÎO(x)ÌO(x)ÌFc，即 O(x)IF=Æ. 这样就得到E开覆盖O(x):xÎE，且满足. 又集合E的任一开覆盖一定有至多可数的子覆盖，所以E可以用可数个开球O(x)来覆盖，记为Onn=1. 即有 EÌ¥¥U¥n=1On且OnIF=Æ,("n). 同理，存在可数个开球Bnn=1使得 FÌU¥n=1Bn且BnIE=Æ,("n) nk=1令 Un=OnU¥¥nk=1Bk=OnUnk=1Bk, Vn=BnUOk=BnUnk=1Ok. 则Unn=1,Vnn=1均是开集列，且UnIVm=Æ,("n,m). 还由式知Unn=1,Vnn=1还分别是E,F的开覆盖. ¥¥取U=U¥n=1Un,V=U¥n=1Vn，则它们即为所求. 34. 设EÌRn,E¹Æ，证明r(x,E)作为x的函数在Rn上是一致连续的. 证明：命题直接由不等式r(x,E)-r(y,E)£x-y得到. 35. 设E,F为Rn中互不相交的非空闭集，证明存在Rn上的连续函数f(x)使得： (1). 0£f(x)£1,"xÎRn; (2). E=x:f(x)=0且F=x:f(x)=1. 证明： 实际上f(x)=r(x,E)r(x,E)+r(x,F)满足要求. 36. 设EÌRn,x0ÎRn. 令E+x0=x+x0:xÎE，即E+x0是集合E的平移，证明：若E是开集，则E+x0也是开集. 证明：因为开球平移后还是开球.