初三几何证明经典大题.docx

初三几何证明经典大题初三几何证明经典大题 1.点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作DABE和DBCF，连接AF，CE取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN BN是(1)若DABE和DFBC是等腰直角三角形，且ÐABE=ÐFBC=900(如图1)，则DM三角形 BN(2)在DABE和DBCF中，若BA=BE,BC=BF,且ÐABE=ÐFBC=a，(如图2)，则DM是 三角形，且ÐMBN= . (3)若将(2)中的DABE绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明. F FFE MEME AMN NN CBAB CAB等腰直角 等腰 Ca 结论仍然成立 证明： 在DABF和DEBC中， ìBA=BEï íÐABF=ÐEBC ïBF=BCîABFEBC. AF=CE. AFB=ECB M,N分别是AF、CE的中点, FM=CN. MFBNCB. BM=BN. MBF=NBC EMANFBCMBN=MBF+FBN=FBN+NBC=FBC= 2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x. (1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想； (2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与xAPDQCB之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围； (3)当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由. PQ=PB 过P点作MNBC分别交AB、DC于点M、N 在正方形ABCD中，AC为对角线 AM=PM 又AB=MN MB=PN BPQ=900 BPMNPQ=900 又MBPBPM =900 MBP= NPQ RtMBPRtNPQ, PB=PQ S四边形PBCQ=SPBCSPCQ AP=x AM=2x 2BMAPNQCD CQ=CD2NQ =12x 又SPBC=11122BC·BM=·1·(1x)= -x 22242112CQ·PN=(12x)·(1x) 222SPCQ =1132 =x2x 22412S四边形PBCQ=x22x1 . (0x) 22(3)PCQ可能成为等腰三角形. 当点P与点A重合时，点Q与点D重合， PQ=QC ，此时，x=0. 当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时， 有：QN=AM=PM=2x，CP=2x, 2ADCN=22CP=1x 22MBPNC22 CQ=QNCN =x 22Q =2x1 当 3.(1)如图1，四边形ABCD中，AB=CB，ÐABC=60°，ÐADC=120°，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，四边形ABCD中，AB=BC，ÐABC=60°，若点P为四边形ABCD内一点，且ÐAPD=120°，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论 图 图2 解：如图，延长CD至E，使DE=DA 可证明DEAD是等边三角形 联结AC，可证明DBADDCAE 故AD+CD=DE+CD=CE=BD 图1 图2 2x=2x1时 ，x=1 如图，在四边形ABCD外侧作正三角形AB¢D， 可证明DAB¢CDADB，得B¢C=DB 四边形AB¢DP符合中条件， B¢P=AP+PD 联结B¢C， ）若满足题中条件的点P在B¢C上， 则B¢C=PB¢+PC B¢C=AP+PD+PC BD=PA+PD+PC ）若满足题中条件的点P不在B¢C上， B¢C<PB¢+PC， B¢C<AP+PD+PC BD<PA+PD+PC综上，BD£PA+PD+PC 4. (1)如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=1BAD.求证:EFBEFD; 2ADBECF (2) 如图2在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=1BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. 21BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成2(3) 如图25-3在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG. ABGABC=D90°, ABAD， ABGADF. AGAF, 12 11+32+3=EAF= BAD 2GAE=EAF 又AEAE， AEGAEF. EGEF EG=BE+BG EF= BEFD (2) (1)中的结论EF= BEFD仍然成立. 结论EF=BEFD不成立，应当是EF=BEFD 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG B+ADC180°,ADF+ADC180°， BADF ABAD， ABGADF. BAGDAF,AGAF BAG+EADDAF+EAD 1=EAF = BAD 2GAE=EAF AEAE， AEGAEF. EGEF EG=BEBG EF=BEFD 5. 以DABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtDABD和等腰RtDACE，ÐBAD=ÐCAE=90°,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置及数量关系 (1)如图 当DABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ； (2)将图中的等腰RtDABD绕点A沿逆时针方向旋转q°(0<q<90)后，如图所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 解：AMDE，AM=1DE 2 结论仍然成立。 证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连结BF QDABA, EAAF， ÐBAF=90°+ÐDAF=ÐEAD 在DFAB与DEAD中： ìFA=AEïíÐBAF=ÐEAD ïBA=DAîDFABDEAD(SAS) . BF=DE, ÐF=ÐAEN. ÐFPD+ÐF=ÐAPE+ÐAEN=90o. FBDE . 又CA=AF, CM=MB，AM / FB 且AM=1FB 2AMDE, AM=1DE 26.在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿ABC向终点C运动，连接DM交AC于点N. 如图 1，当点M在AB边上时，连接BN. 求证： A ABNDN； 若ABC = 60°，AM = 4，ABN =，求点M到AD的距离； 如图 2，若ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x. 试问：x为何值时，ADN为等腰三角形. 7.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点，作AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C 若m = n时，如图，求证：EF = AE； 若mn时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 若m = tn时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =AE成立？并求出点E的坐标 y y F C A y F C F A C A O E B x O E B x O E B x 由题意得m = n时，AOBC是正方形 如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE EGO = 45°，从而 AGE = 135° 由BF是外角平分线，得 EBF = 135°， AGE =EBF AEF = 90°， FEB +AEO = 90° 在RtAEO中， EAO +AEO = 90°， EAO =FEB， AGEEBF，EF = AE 假设存在点E，使EF = AE设E作FHx轴于H，如图由知EAO =FEH，于是RtAOERtEHF FH = OE，EH = OA 点F的纵坐标为a，即 FH = a 由BF是外角平分线，知FBH = 45°， BH = FH = a 又由C有OB = m， BE = OBOE = ma， EH = ma + a = m 又EH = OA = n， m = n，这与已知mn相矛盾 因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立 如图，设E，FH = h，则EH = OHOE = h + ma 由 AEF = 90°，EAO =FEH，得 AOEEHF， EF =AE等价于 FH =OE，即h =a， y F A C A G O E B C F x y 来源学科网ZXXKAOOEna=， 且，即EHFHh+m-aham-a2a(m-a)=整理得 nh = ah + ama， h= n-an-a2O E B H x 把h =a 代入得 a(m-a)=(t+1)a， n-a即 ma = 而 m = tn，因此 tna = 化简得 ta = n，解得a=n tnnm，故E在OB边上 tnn当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E tt t1， 8.如图1，已知ABC=90°，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点，连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F. 如图2，当BP=BA时，EBF= °，猜想QFC= °； 如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；已知线段AB=23，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式 A E A E C Q Q B F P B C P F 图2 图1 ÐEBF= 30°. ÐQFC= 60° ÐQFC=60° 不妨设BP3AB, 如图1所示 BAP=BAE+EAP=60°+EAP EAQ=QAP+EAP=60°+EAP BAP=EAQ. 在ABP和AEQ中 AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQ ABPAEQ AEQ=ABP=90° BEF=180°-ÐAEQ-ÐAEB=180°-90°-60°=30° ÐQFC=ÐEBF+ÐBEF=30°+30°=60° (事实上当BP3AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分） (3)在图1中，过点F作FGBE于点G ABE是等边三角形 BE=AB=23，由得ÐEBF=30° BEBG=3 BF=2 EF=2 2cos30° ABPAEQ QE=BP=x QF=QEEF 在RtBGF中，BG= 过点Q作QHBC，垂足为H 在RtQHF中，y=QH=sin60°gQF=3(x+2) 2y=即y关于x的函数关系式是：3x+32. 9. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，已知ADAB3，BC4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒 (1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)； (2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？ (3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (4)探究：t为何值时，PMC为等腰三角形？ 解：在直角梯形ABCD中， QNAD，ABC90°，四边形ABNQ是矩形。 QD=t，AD=3，BN=AQ=3-t，NC=BC-BN=4-= t+1。 AB3，BC4，ABC90°，AC=5。 QNAD，ABC90°，MNAB，即CMCN=， ACBCCMt+15t+5=，MC=. 544当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。 当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。 (3)MNAB， MNCABC，要使射线QN将ABC的面积平分，则MNC与ABC的面积比为1：2，即相似比为1：2，CN1t+11=，即，BC4225292，CN+MC=，22t=22-1.CN=22，MC=ABC的周长的一半=3+4+592=6，不存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的22面积和周长同时平分。 分3种情况： 如图，当PM=MC时，PMC为等腰三角形。 则PN=NC，即3-t-t=t+1， t=22，即t=时，PMC为等腰三角形。 33如图，当CM=PC时，PMC为等腰三角形。 5t+5=4-t， 411t=时，PMC为等腰三角形。 9即如图，当PM=PC时，PMC为等腰三角形。 PC=4t，NC=t+1， PN=2t-3, 又MNAB3=， NCBC43(t+1)MN=， 4由勾股定理可得3(t+1)222+=， 4即当t= 103时，PMC为等腰三角形。 5710如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，如图，然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM得到图，请解答下列问题： (1)若ABAC，请探究下列数量关系： 在图中，BD与CE的数量关系是_； 在图中，猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想； 11BD，ENCE，22(2)若ABk·AC(k1)，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明 答案：BD=CE； AM=AN，MAN=BAC 理由如下： 在图中，DE/BC，AB=AC AD=AE. ìAB=AC,ï在ABD与ACE中íÐBAD=ÐCAE,ABDACE.BD=CE，ACE=ABD.在DAM与ïAD=AEîEAN中， DM=11BD，EN=CE，BD=CE，DM=EN，AEN=ACE+CAE，ADM=ABD+BAD，22AEN=ADM. 又AE=AD，ADMAEN.AM=AN，DAM=EAN.MAN=DAE=BAC.AM=AN，MAN=BAC. AM=kAN，MAN=BAC.