函数单调性的常用判断方法及应用.docx

函数单调性的常用判断方法及应用 函数单调性的常用判断方法及应用 湖北麻城：阮 晓 锋 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常利用它求函数的值域，进而求题中字母或参数的取值范围。那么，有哪些常用的判断函数单调性方法呢？ 判断函数单调性的常用方法有： 利yizhi用增函数的定义进行判断； 利用导数进行判断(本文暂不举例)； 利用图象进行判断； 利用简单初等函数的单调性结论直接进行判断； 利用一些重要结论进行判断： 若f(x)在区间D上是增函数，则它在D的任意子区间上也是增(减)函数； f(x)+C与f(x)具有相同的单调性； 当C>0时，Cf(x)与f(x)具有相同的单调性； 若f(x)与g(x)的单调性相同，则f(x)+g(x)也有相同的单调性；若f(x)与g(x) 的单调性相反，则f(x)-g(x)与f(x)的单调性相同,与g(x)的单调性相反。 由两个函数组成的复合函数的单调性的判断规律为“同增异减”； 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性完全相同，而偶函数则在关于原点对称 的区间上的单调性正好相反。 例1 若函数f(x)=ax2+x在上单调递增，则a的取值范围为_; 2ìïx+1,x³0,2 已知函数f(x)=í,则不等式f(1-x)>f(2x)的取值范围为_。 ïî 1 , x<0解：填0，+），理由如下 当a=0时显然符合题设要求； 当a<0时，由二次函数单调性知它在- 当a>0时，由二次函数单调性知它在- 则得Í- 得-12a12a12a12a，+上单调递减，不可能符合题意； ，+）上单调递增 ，+） 0且a>0解之得a>0 综上知：a的取值范围为0，+）。 先画出f(x)的图象，由图象知f(x)在0，+）上单调递增，且当x£0时f(x)=0er 22ìï1-x>0ìï1-x>2x或í 从而得í解之得<-1x0或0<x<2-1j即-1<x<2-1 ïïî2x£0î2x>0 故本题应填 例2：已知函数f(x)=xx-a 若a=-2，试证：f(x)在(-,-2)内单调递增； 若a>0且f(x)在(1,+)内单调递减，求a的取值范围。 解：若a=-2,则f(x)=xx+2 任取x1，x2(-,-2)，且使得x1<x2,则有x1+2<x2+2<0且x1-x2<0 f(x1)-f(x2)=xx11+2-xx22+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2)<0即 f(x1)<f(x2) 故f(x)在(-,-2)内单调递增。 若a>0,则由f(x)=xx-a=1+ax-a知f(x)在。 4aa t=ax-2x=，则y=f(X)=logt ax-1a2）-1a2在x上单调递增 4 依题意得y=logt为增函数且t>0对x恒成立 ìa>1ï4ía´-22 ïaî4a2³0，解之得a>1 故a的取值范围为(1,+). 练习题： =í是上的减函数，那么a的取值范围 x,x³1ïîloga 是 A, B. C.1/7,1/3） D. 题2：若y=log(2-ax)在上单调递减，则a的取值范围为_; a 若函数f(x)=2ax+2x+2在(-2,+)上单调递增，则实数a的取值范围为_. 题3：设f(x)=x-2ax+2,当x(-1,+)时f(x)a恒成立，求实数a的取值范围。 题4：设函数的定义域为R，当x>0时f(x)>0，且对任意的x,yR有f(x+y)=f(x)f(y)，试 解不等式f(x)1f(x+1). 题5：已知函数f(x)=x2+2x+ax，x1,+) 当a=1/2时，求函数f的最小值； 若对任意x1,+),f>0恒成立，试求实数a的取值范围。 附答案提示： 题1：选C 题2：(1,2);(1，+) 题3：2ìï2-a,a³-1,=í可得a-3,1 ï2a+3,a<1,îf(x)min题4：f(o)=1,f(X)>0恒成立且f(x)在R上单调递增，可求得解集为在1，+）上的最小值为f= a的取值范围为 7212