全等三角形中辅助线的添加.docx

全等三角形中辅助线的添加全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述 作线段：连接； 作平行线：过点作； 作垂线：过点作，垂足为； 作中线：取中点，连接； 延长并截取线段：延长使等于； 截取等长线段：在上截取，使等于； 作角平分线：作平分；作角等于已知角； 作一个角等于已知角：作角等于。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法： 倍长中线法：若遇到三角形的中线或类中线，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。 截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。 一线三等角问题：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 角含半角、等腰三角形的旋转重合法：用旋转构造三角形全等。 构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型： ABABC中AD是BC边中线 ADCBDCE方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 1 AFBDCE 方式2：间接倍长，作CFAD于F，作BEAD的延长线于E，连接BE AMBDCN方式3： 延长MD到N，使DN=MD，连接CD 由ABEBCD导出 由ABEBCD导出 由ABEBCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD 角分线，分两边，对称全等要记全 角分线+垂线，等腰三角形必呈现 2 旋转： 方法：延长其中一个补角的线段 结论：MN=BM+DN 翻折： CDCMN=2AB AM、AN分别平分BMN和DNM 0思路:分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线. 手拉手模型 ABE和ACF均为等边三角形 结论：ABFAEC；B0E=BAE=60°；OA平分EOF 拓展： 3 条件：ABC和CDE均为等边三角形 结论：、AD=BE 、ACB=AOB 、PCQ为等边三角形 、PQAE 、AP=BQ 、CO平分AOE 、OA=OB+OC 、OE=OC+OD ，需构造等边三角形证明） ABD和ACE均为等腰直角三角形 结论：、BE=CD BECD ABEF和ACHD均为正方形 结论：、BDCF 、BD=CF 变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASBC交FD于T， 求证：T为FD的中点. SDABC=SDADF.方法一： 方法二： 4 方法三： 变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：ANBC 180o-360o当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：1=2=n. FEIHGJHPGF1PIAD2KAEBCBCD5 四、典型例题： 考点一：倍长中线法： 核心母题 已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_. A BDC练习： 1、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. A E FB2、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. DCABDEC 3、如图，CE、CB分别是ABC与ADC的中线，且ACB=ABC，求证：CD=2CE。 考点二：截长补短法： 核心母题 如图，ADBC，EA，EB分别平分DAB，CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC 6 练习： 1、在ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 2、如图，在DABC中，ÐABC=60°，AD，CE分别为ÐBAC,ÐACB的平分线，求证：AC=AE+CD B E O D C A 3、如图，在ABC中，AB=AC，D是ABC外一点，且ABD=60°，ACD=60° 求证：BD+DC=AB 4、已知：如图在ABC中，AB=AC，D为ABC外一点，ABD=60°，ADB=90°1BDC，求证：AB=BDDC。 2 考点三：一线三等角问题 核心母题 已知：如图，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，ADE=45°，AD=DE，求证：BD=EC. 7 练习： 1、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EFED求证：AE平分BAD 2、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由 3、如图所示，AEAB，BCCD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？ 考点四：角平分线、中垂线法 核心母题 1、在DABC中，AB>AC，AD是ÐBAC的平分线P是AD上任意一点 求证：AB-AC>PB-PC APBDC8 2、已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE 3、如图，ABC的边BC的中垂线DF交BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DEAB于E，且ABAC，求证：BE-AC=AE 考点五：角含半角、等腰三角形的旋转重合法 核心母题 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45°，求证：EF=BE+DF. 练习 1、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°求证：AD平分CDE. 9 2、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°，求五边形ABCDE的面积 3、如图，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1求BPC的度数 考点六：构造特殊三角形 核心母题 如图，在ABC中，AD交边BC于点D，BAD=15°，ADC=4BAD，DC=2BD 求B的度数； 求证：CAD=B 10