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人教高二数学必修5知识点 第一章 解三角形 §111正弦定理 如图11-2，在RtDABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，abc=sinA，=sinB，又sinC=1=, cccabc则=c b c sinAsinBsinCabc从而在直角三角形ABC中， C a B =sinAsinBsinC有(图11-2) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图11-3，当DABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB=bsinA,则同理可得从而asinA=bsinB， C csinC=bsinB=， b a A c B sinC (图11-3) uruuur：过点A作jAC， C abcsinAsinBuuuruur由向量的加法可得 AB=AC+CB uururuururuuuruur则 j×AB=j×(AC+CB) A B uruururuuururuururj×AB=j×AC+j×CB j ruuurruuur0jABcos(90-A)=0+jCBcos(900-C) csinA=asinC，即ac= sinAsinCruuurbc=同理，过点C作jBC，可得 sinBsinC从而 sinC类似可推出，当DABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 asinA=bsinB=casinA=bsinB=csinC理解定理 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC； asinAsinC从而知正弦定理的基本作用为： =bsinB=c等价于asinA=bsinB，csinC=bsinB，asinA=csinC已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a=bsinA； sinB已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA=sinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 ab§1.1.2余弦定理 A rruurruurruurrrrr如图11-5，设CB=a，CA=b，AB=c，那么c=a-b，则 b c r2rrrrrrc=c×c=a-ba-brrrrrrr =a×a+b×b-2a×b C a B r2r2rr =a+b-2a×b()()从而 c2=a2+b2-2abcosC (图11-5) 同理可证 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 从余弦定理，可得到以下推论： b2+c2-a2 cosA=2bca2+c2-b2 cosB=2acb2+a2-c2 cosC=2ba理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 若DABC中，C=900，则cosC=0，这时c2=a2+b2 §113解三角形的进一步讨论 b,A，讨论三角形解的情况 例1在DABC中，已知a,bsinA可进一步求出B； aasinC则C=1800-(A+B) 从而c= A1当A为钝角或直角时，必须a>b才能有且只有一解；否则无解。 分析：先由sinB=2当A为锐角时， 如果ab，那么只有一解； 如果a<b，那么可以分下面三种情况来讨论： 若a>bsinA，则有两解； 若a=bsinA，则只有一解； 若a<bsinA，则无解。 §2.1数列的概念与简单表示法 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，第n 项，. 数列的一般形式：a1,a2,a3,L,an,L，或简记为an，其中an是数列的第n项 数列的通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：并不是所有数列都能写出其通项公式 一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式n+11+(-1)n+1p|. 可以是an=，也可以是an=|cos22数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项 5.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集N为定义域的函数an=f(n)，*当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)， 6数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列 2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 §2.1数列的概念与简单表示法 1、 通项公式法 如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2、 图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 3、 递推公式法 递推公式：如果已知数列an的第1项，且任一项an与它的前一项an-1间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 4、列表法 简记为 §2.2等差数列 1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。 公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； 对于数列an,若anan-1=d (与n无关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差。 2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d +§2.2等差数列 A=a+bÛa,b,成等差数列 2结论：在等差数列中，若m+n=p+q，则，am+an=ap+aq 即 m+n=p+q Þam+an=ap+aq (m, n, p, q N ) 但通常 由am+an=ap+aq 推不出m+n=p+q ，am+an=am+n §2.3 等差数列的前n项和 1等差数列的前n项和公式1：Sn=n(a1+an) 2n(n-1)d 22 等差数列的前n项和公式2：Sn=na1+ 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an 但an=a1+(n-1)d 代入公式1即得： Sn=na1+n(n-1)d 2此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d §2.3等差数列的前n项和 1.等差数列的前n项和公式1：Sn=n(a1+an) 2n(n-1)d 22.等差数列的前n项和公式2：Sn=na1+对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 利用an: 当an>0，d<0，前n项和有最大值可由an0，且an+10，求得n的值 当an<0，d>0，前n项和有最小值可由an0，且an+10，求得n的值 利用Sn： 由Sn= d2dn+(a1-)n利用二次函数配方法求得最值时n的值 22§2.4等比数列 1等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示，即：an=q an-11°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) an成等比数列Ûan+1+=q an2° 隐含：任一项an¹0且q¹0 “an0”是数列an成等比数列的必要非充分条件 3° q= 1时，an为常数。 2.等比数列的通项公式1: an=a1×qn-1(a1×q¹0) 由等比数列的定义，有： a2=a1q； a3=a2q=(a1q)q=a1q2； a4=a3q=(a1q2)q=a1q3； an=an-1q=a1×qn-1(a1×q¹0) 3.等比数列的通项公式2: an=am×qm-1(a1×q¹0) 4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 等比数列与指数函数的关系： 等比数列an的通项公式an=a1×qn-1(a1×q¹0),它的图象是分布在曲线y=上的一些孤立的点。 当a1>0，q >1时，等比数列an是递增数列； 当a1<0，0<q<1，等比数列an是递增数列； 当a1>0，0<q<1时，等比数列an是递减数列； 当a1<0，q >1时，等比数列an是递减数列； a1xqq当q<0时，等比数列an是摆动数列；当q=1时，等比数列an是常数列。 §2.4等比数列 1等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ab 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则Gb=ÞG2=abÞG=±ab， aG反之，若G=ab,则0） 2等比数列的性质：若m+n=p+k，则aman=apak 在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？ 由定义得：am=a1qm-1 an=a1qn-1 ap=a1q2p-1k-1 a k =a1×q2Gb2b=，即a,G,b成等比数列。a,G,b成等比数列ÛG=ab 课题: §2.5等比数列的前n项和 教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 教学重点 等比数列的前n项和公式推导 教学难点 灵活应用公式解决有关问题 教学过程 .课题导入 创设情境 提出问题课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” .讲授新课 分析问题如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。 1、 等比数列的前n项和公式： a-anqa1(1-qn) 当q¹1时，Sn= 或Sn=1 1-q1-q当q=1时，Sn=na1 当已知a1, q, n 时用公式；当已知a1, q, an时，用公式. 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列a1,a2+a3,LanL它的前n项和是 Sn=a1+a2+a3+Lan 由íìSn=a1+a2+a3+Lanîan=a1qn-12n-2n-1ìïSn=a1+a1q+a1q+La1q+a1q得í 23n-1nïîqSn=a1q+a1q+a1q+La1q+a1q(1-q)Sn=a1-a1qn a-anqa1(1-qn)当q¹1时，Sn= 或Sn=1 1-q1-q当q=1时，Sn=na1 公式的推导方法二： 有等比数列的定义，aa2a3=L=n=q a1a2an-1a+a+L+aS-a根据等比的性质，有23na=n1=q 1+a2+L+an-1Sn-an即 Sn-a1S=qÞ(1-q)Sn=a1-anq n-an围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式 公式的推导方法三： Sn=a1+a2+a3+Lana1+q(a1+a2+a3+Lan-1) a1+qSn-1a1+q(Sn-an) Þ(1-q)Sn=a1-anq 解决问题 有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。 由a1=1,q=2,n=64可得 Sa1(1-qn)n=1-q=1´(1-264)641-2=2-1。 264-1这个数很大，超过了1.84´1019。国王不能实现他的诺言。 例题讲解 课本P56-57的例1、例2 例3解略 .课堂练习 课本P58的练习1、2、3 .课时小结 等比数列求和公式：当q=1时，Sn=na1 当q¹1时，Snqn=a1-a1-qSa1(1-qn)n=1-q .课后作业 课本P61习题A组的第1、2题 课题: §2.5等比数列的前n项和 教学目标 或知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. 教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 教学难点 灵活使用公式解决问题 教学过程 .课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式： a-anqa1(1-qn)当q¹1时，Sn= 或Sn=1 1-q1-q当q=1时，Sn=na1 当已知a1, q, n 时用公式；当已知a1, q, an时，用公式 .讲授新课 1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， 2求证：S2n+S2n=Sn(S2n+S3n) 2、设a为常数，求数列a，2a，3a，na，的前n项和； a=0时，Sn=0 a0时，若a=1，则Sn=1+2+3+n=n-1n23n1n(n-1) 2若a1，Sn-aSn=a，Sn=.课堂练习 课本P61习题A组的第4、5题 .课时小结 .课后作业 课本P61习题A组的第6题 a1-(n+1)an+nan+1 2(1-a)课 题：数列复习小结 教学目的： 1系统掌握数列的有关概念和公式。 2了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系。 3能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an。 授课类型：复习课 课时安排：2课时 教学过程： 一、本章知识结构 二、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列 (2)等差、等比数列的定义 (3)等差、等比数列的通项公式 (4)等差中项、等比中项 (5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法 三、方法总结 1数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想 2等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法 3求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想 4数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等 四、知识精要： 1、数列 数列的通项公式 an=í 2、等差数列 等差数列的概念 定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 等差数列的判定方法 1 定义法：对于数列an，若an+1-an=d(常数)，则数列an是等差数列。 2等差中项：对于数列an，若2an+1=an+an+2，则数列an是等差数列。 等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为an=a1+(n-1)d。 说明该公式整理后是关于n的一次函数。 等差数列的前n项和 1Sn=n(a1+an)n(n-1)d 2. Sn=na1+22ìa1=S1(n=1) 数列的前n项和 Sn=a1+a2+a3+L+an îSn-Sn-1(n³2)说明对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。 等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：A=a+b或2A=a+b 2说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质 1等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m£n，公差为d，则有an=am+(n-m)d 2 对于等差数列an，若n+m=p+q，则an+am=ap+aq。 a1+an54444644447a,a2,a3,L,an-2,an-1,an =LL，如图所示：1144424443a2+an-1也就是：a1+an=a2+an-1=a3+an-23若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kÎN，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k*成等差数列。如下图所示： S3k5444444444446444444444447a1+a2+a3+L+ak+ak+1+L+a2k+a2k+1+L+a3k 14442444314424431442443SkS2k-SkS3k-S2k3、等比数列 等比数列的概念 定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 也就是，如果是的等比中项，那么等比数列的判定方法 1 定义法：对于数列an，若an+1=q(q¹0)，则数列an2Gb2=，即G=ab。 aGan是等比数列。 2等比中项：对于数列an，若anan+2=an+1，则数列an是等比数列。 等比数列的通项公式 如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为an=a1q等比数列的前n项和 n-1。 a-anqa1(1-qn)(q¹1) (q¹1) 1Sn=2Sn=13当q=1时，Sn=na1 1-q1-q 等比数列的性质 1等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m£n，公比为q，则有an=amqn-m 3 对于等比数列an，若n+m=u+v，则an×am=au×av a1×an54444644447a,a2,a3,L,an-2,an-1,an =LL。如图所示：1144424443a2×an-1也就是：a1×an=a2×an-1=a3×an-24若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kÎN*，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列。如下图所示： S3k5444444444446444444444447a1+a2+a3+L+ak+ak+1+L+a2k+a2k+1+L+a3k 14442444314424431442443SkS2k-SkS3k-S2k4、数列前n项和 重要公式： 1+2+3+Ln=n(n+1)； 2n(n+1)(2n+1)； 612+22+32+Ln2=113+23+Ln3=n(n+1)2 2等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd 等比数列中，Sm+n=Sn+qSm=Sm+qSn 裂项求和： nm111=-； n(n+1)nn+1 §3.1不等式与不等关系 1）用不等式表示不等关系 §3.1不等式与不等关系 1、不等式的基本性质： a>b,b>cÞa>c a>bÞa+c>b+c a>b,c>0Þac>bc a>b,c<0Þac<bc 利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： a>b,c>dÞa+c>b+d； a>b>0,c>d>0Þac>bd； a>b>0,nÎN,n>1Þan>bn;na>nb。 §3.2一元二次不等式及其解法 1）一元二次不等式的定义 象x-5x<0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 22）探究一元二次不等式x2-5x<0的解集 二次方程的根与二次函数的零点的关系 二次方程的根就是二次函数的零点。 观察图象，获得解集 3）探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：ax2+bx+c>0,(a>0)或ax2+bx+c<0,(a>0) 抛物线 y=ax+bx+c与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 ax+bx+c=0的判别式D=b-4ac三种取值情况(> 0，=0，<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 a<0可以转化为a>0 ； 分>O，=0，<0三种情况，得到一元二次不等式222ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集 一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a¹0)的解集： 设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a¹0)的两根为x1、x2且x1£x2，D=b-4ac，2不等式的解的各种情况如下表： D>0 y=ax2+bx+c D=0 y=ax2+bx+c D<0 y=ax2+bx+c 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0有两相异实根 有两相等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2=-b 2a(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集 无实根 R Æ büxx<x1或x>x2 ìxx¹-íý 2aþîxx1<x<x2 Æ §3.3.1二元一次不等式与平面区域 1建立二元一次不等式模型 把实际问题 转化uuuuur 数学问题： 2二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 二元一次不等式的解集：满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式的解集。 二元一次不等式的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系： 二元一次不等式的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式的解集表示的图形 二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 4二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标 §3.3.2简单的线性规划 1、线性规划的有关概念： 线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数： 关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 §3.3.2简单的线性规划 线性规划在实际中的应用： 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： 寻找线性约束条件，线性目标函数； 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 在可行域内求目标函数的最优解 §3.4基本不等式ab£a+b 21探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2+b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a+b。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a+b³2ab。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2222a2+b2=2ab。 2得到结论：一般的，如果a,bÎR,那么a2+b2³2ab(当且仅当a=b时取"="号) 31）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab£a+b 2特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得a+b³2ab， a+b(a>0,b>0) 2a+b 2）从不等式的性质推导基本不等式ab£ 2通常我们把上式写作：ab£用分析法证明： a+b³ab (1) 2只要证 a+b³ (2) 要证，只要证 a+b- ³0 要证 要证，只要证 显然，是成立的。当且仅当a=b时，中的等号成立。 3）理解基本不等式ab£ 2a+b的几何意义 2