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人教初中数学第五章相交线与平行线知识点第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.1.1 相交线 邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 对顶角 图形 2 1 1与2 4 3 3与4 顶点 有公共顶点 边的关系 1的两边与2的两边互为反向延长线 大小关系 对顶角相等 即1=2 邻补角 有公共顶点 3与4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 3+4=180° 注意点： 对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； 如果与是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么与不一定是对顶角； 如果与互为邻补角，则一定有+=180°；反之如果+=180°，则与不一定是邻补角； 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角 错解：如图，对顶角为：AOC与BOD ； AOF与BOD ； COF与DOE ； AOC与BOE 错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致和错误如果对对顶角的概念没有真正理解和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 正解：AOC与BOD ；BOE与AOF；COF与DOE； COE与DOF 5.1.2 垂线 1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作： C ABCD，垂足为O 如图所示：O B A D 2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. l 如图，直线a,b被直线l所截 2 1 3 4 a 1、1与5在截线l的同侧，同在被截直线a,b的上方， 叫做同位角 6 5 7 8 b 2、5与3在截线l的两旁，在被截直线a,b之间，叫做内错角 3、5与4在截线l的同侧，在被截直线a,b之间，叫做同旁内角. 例： A 3 2 1 B D 4 E 如图，判断下列各对角的位置关系： 1与2；1与7；1与BAD；2与6；5与8. 解：我们将各对角从图形中抽出来，得到下列各图. 如图所示，不难看出1与2是同旁内角；1与7是同位角；1与BAD是同旁内角；2与6是内错角；5与8对顶角. A A A D 2 A D 2 6 C 1 1 A 1 7 B B F B F C F B 5 8 C E B 注意：图中2与9，它们是同位角吗？ 不是，2与9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成. 5 6 7 C 8 9 F 5.2 平行线及其判定 5.2.1 平行线 1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作ab. 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行. 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： 有且只有一个公共点，两直线相交； 无公共点，则两直线平行； 两个或两个以上公共点，则两直线重合 3、平行公理平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 a 如左图所示，ba，ca b bc 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都c 平行. 例：同一平面内，不相交的两条线是平行线. 错解：对 错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确若是射线或线段有可能不相交.说法是错误的 正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线 5.2.2 平行线的判定 判定方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 E 几何符号语言： A 3 B 32 4 ABCD 1 12 C ABCD 2 D 42180° F ABCD 例：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正： 不相交的两条直线必定平行线. 在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交. 过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解：错误.平行线是在“同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏. 正确 错误.正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的. 例：如图，由条件2B，1D，3F180°，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？ A D 1 B 2 3 E C F 解：由2B可判定ABDE，根据是同位角相等，两直线平行； 由1D可判定ACDF，根据是内错角相等，两直线平行； 由3F180°可判定ACDF，根据同旁内角互补，两直线平行. 5.3 平行线的性质 5.3.1 平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. E A 3 B 几何符号语言： 1 4 ABCD 12 C 2 D ABCD 32 F ABCD 42180°例：已知1B，求证：2C A 证明：1B DEBC 2 2C D 1 E 例：如图，ABDF，DEBC，165° 求2、3的度数 B C A D E 3 2 F B 1 C 解：DEBC 2165° ABDF 32180° 3180°2180°65°115° 例：如图，直线AB，CD分别和直线MN相交于点E，F，EG平分BEN，FH平分DFN若ABCD，你能说明EG和FH也平行吗? 错解：EG平分BEN，BEG =12BEN 同理，FH平分DFN，DFH =又ABCD，BEN =DFN； 从而BEG =DFHEGFH 1DFN 2错解分析：在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线而BEG和DFH不是直线EG，FH被某条直线所截得的同位角，由BEG=DFH不能判定EGFH 正解：EG平分BEN，BEG =GEN =同理，FH平分DFN，DFH =HFN =1BEN， 21DFN， 2又ABCD，BEN =DFN，从而GEN =HFN 而GEN，HFN是直线EG，FH被直线MN所截得的同位角，EGFH 例：如图，ABC中，已知1+2=180°，3=B，试判断DE与BC的位置关系，并说明理由 错解：1+2=180°，EFAB 3+BDE =180° 3=B，B+BDE =180° DEBC 错解分析：由12=180°，不能得到EFAB 虽然1和2是由直线EF和AB被直线DC所截得的角， 但由于它们不是同旁内角，尽管12=180°，也不能得到EFAB 正解：1=4，12=180°，2+4=180° EFDB(同旁内角互补，两直线平行) 3+BDE=180°(两直线平行，同旁内角互补) 3=B，B+BDE=180° DEBC( 同旁内角互补，两直线平行) 5.3.2 命题、定理、证明 1、命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题. 2、命题的组成 每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 3、如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题. 如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 4、经过推理证实而得到的真命题叫做定理. 5、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 5.4平移 1、平移变换 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同. 新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征： 经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化. 经过平移后，对应点所连的线段平行且相等. 例：如图，ABC经过平移之后成为DEF，那么： 点A的对应点是点；点B的对应点是点. A D E C F B 点的对应点是点F；线段AB的对应线段是线段； 线段BC的对应线段是线段；A的对应角是. 的对应角是F. 解：D；E；C；DE；EF；D；ACB.
