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二次函数知识点总结大全 OK 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 二次函数知识点小结 一、二次函数： b，c是常数，a¹0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调： 一般地，形如y=ax2+bx+c：y=ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a的 符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 向上 (0，0) y轴 x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0. x>0时，y随x的增大而减小；x<0 a<0 向下 (0，0) y轴 时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0. 2、基本形式y=ax2+c的性质：“上加下减”。 a的开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 符号 x>0时，y a>0 向上 (0，c) y轴 随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c. a<0 向下 (0，c) y轴 x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y 随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c. 3、基本形式y=a(x-h)2的性质：“左加右减”。 a的 符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 向上 (h，0) x=h x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0 a<0 向下 (h，0) x=h x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0 快乐学习，快乐考试！ 江北金宝江畔花园A3栋402 咨询电话：0752-2826036 1 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 4、基本形式y=a(x-h)+k的性质： a的2符号 a>0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 x=h x=h 性质 x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随 x的增大而减小；x=h时，y有最小值k x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随 x的增大而增大；x=h时，y有最大值k (h，k) (h，k) a<0 三、二次函数图象的平移 1、平移步骤： 方法一： 2将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k，确定其顶点坐标(h，k)； 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如下： 2、平移规律： 八个字“上加下减、左加右减”；即在原有函数的基础上“h值正右移，h值负左移；k值正上移，k值负下移”； 方法二： y=ax2+bx+c沿y轴平移平移m个单位）；则y=ax2+bx+c变成： y=ax2+bx+c+m y=ax2+bx+c沿x轴平移平移m个单位）；则y=ax2+bx+c变成：y=a(x+m)2+b(x+m)+c 2四、二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)+k的比较： 从解析式上看，y=ax2+bx+c与y=a(x-h)+k是两种不同的表达形式；y=ax2+bx+c通过配方bö4ac-b2b4ac-b2æ可以得到y=a(x-h)+k；即y=açx+÷+，其中h=-，。 k=2a4a2a4aèø222 快乐学习，快乐考试！ 江北金宝江畔花园A3栋402 咨询电话：0752-2826036 2 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法： 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口 方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图； 一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0，以及(0，c)、c)关于对称轴对称的点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0). ：画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 æb4ac-b2öbb 1、当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为ç-，当x<-时，÷；4aø2a2aè2abb4ac-b2； y随x的增大而减小；当x>-时，y随x的增大而增大；当x=-时，y有最小值2a2a4aæb4ac-b2öbb 2、当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为ç-，时，÷；当x<-2a4a2a2aèø4ac-b2bb y随x的增大而增大；当x>-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y有最大值2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 1、一般式： y=ax2+bx+c； 2、顶点式： y=a(x-h)2+k； 3、两根式： y=a(x-x1)(x-x2)； ：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以 写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac³0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示；二次函数解析式的这三种形式可以互化。 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系： 1、二次项系数a： 二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a¹0 当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小；反之a的值越小，开口越大； 当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小；反之a的值越大，开口越大； 所以，a决定了抛物线开口的大小和方向；a的正负决定开口方向；a的大小决定开口的大小。 2、一次项系数b： 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 快乐学习，快乐考试！ 江北金宝江畔花园A3栋402 咨询电话：0752-2826036 3 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System bb即抛物线的对称轴在y轴左侧；当b=0时，-=0，<0，2a2ab即抛物线的对称轴就是y轴；当b<0时，->0，即抛物线对称轴在y轴的右侧 2abb在a<0的前提下，当b>0时，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当b=0时，->0，-=0，2a2ab即抛物线的对称轴就是y轴；当b<0时，-<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧；所以，在a确定2a (1) 在a>0的前提下，当b>0时，-的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置； ab的符号的判定： bb对称轴x=-在y轴左边则ab>0；对称轴x=-在y轴的右侧则ab<0；即“左同右异”。 2a2a 3、常数项c： 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负；所以，c决定了抛物线与y轴交点的位置 b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。 总上所述，只要a，九、二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法；用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便； 一般来说，有如下几种情况： 1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式：y=ax2+bx+c 22、已知抛物线顶点或对称轴或最大值，一般选用顶点式；y=a(x-h)+k 3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；y=a(x-x1)(x-x2) 24、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式：y=a(x-h)+k 十、二次函数图象的对称： 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达； 1、关于x轴对称： y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c； y=a(x-h)+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)-k； 22 2、关于y轴对称： y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c； y=a(x-h)+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)+k； 快乐学习，快乐考试！ 江北金宝江畔花园A3栋402 咨询电话：0752-2826036 4 22 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 3、关于原点对称： y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c； 22 y=a(x-h)+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)-k； 4、关于顶点对称： b2 y=ax+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax-bx+c-； 2a22y=a(x-h)+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k 22 5、关于点(m，n)对称： n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)+2n-k y=a(x-h)+k关于点(m，22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变； 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 十一、二次函数与一元二次方程： 1、二次函数与一元二次方程的关系： 一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况；图象与x轴的交点个数： 0)，B(x2，0)(x1¹x2)，其中的x1，x2是一元 当D=b2-4ac>0时，图象与x轴交于两点A(x1，b2-4ac二次方程ax+bx+c=0(a¹0)的两根；这两点间的距离AB=x2-x1=； a2当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D<0时，图象与x轴没有交点. 、当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0； 、当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0。 2、抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3、二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的 符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知 与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标； 快乐学习，快乐考试！ 江北金宝江畔花园A3栋402 咨询电话：0752-2826036 5 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c(a¹0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a>0时为例，说明二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： D>0 抛物线与x轴二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实根 有两个交点 正、可零、可负 D=0 抛物线与x轴二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实数根 只有一个交点 非负 D<0抛物线与x轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根. 无交点 为正 图像参考： 十二、函数的应用： ì刹车距离二次函数应用ïí何时获得最大利润。 ïî最大面积是多少 快乐学习，快乐考试！ 江北金宝江畔花园A3栋402 咨询电话：0752-2826036 6