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二次函数知识点汇总二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： b，c是常数，a¹0）的函数，叫做二次函数。1二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c a的符号 开口方向 顶点坐标 c) (0，对称轴 y轴 性质 x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随a>0 向上 x的增大而减小；x=0时，y有最小值c x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随a<0 向下 c) (0，y轴 x的增大而增大；x=0时，y有最大值c 第- 1 -页 共31页 3. y=a(x-h)的性质： a的符号 开口方向 2顶点坐标 0) (h，对称轴 性质 x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随a>0 向上 X=h x的增大而减小；x=h时，y有最小值0 x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随a<0 向下 0) (h，X=h x的增大而增大；x=h时，y有最大值0 4. y=a(x-h)+k的性质： a的符号 开口方向 2顶点坐标 对称轴 性质 x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随a>0 向上 (h，k) X=h x的增大而减小；x=h时，y有最小值k x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随a<0 向下 (h，k) X=h x的增大而增大；x=h时，y有最大值k 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 2k)； 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k，确定其顶点坐标(h，k)处，具体平移方法如下： 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，向上(k>0)平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)平移|k|个单位向右(h>0)平移 |k|个单位向上(k>0)平移|k|个单位向上(k>0)平移|k|个单位向右(h>0)平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 第- 2 -页 共31页 方法二： y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上平移m个单位，y=ax2+bx+c变成 y=ax2+bx+c+m y=ax2+bx+c沿轴平移：向左平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c 四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看，y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到bö4ac-b2b4ac-b2æ前者，即y=açx+÷+，其中h=-， k=2a4a2a4aèø22五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0，c)、以及(0，c)关于对称轴对称的点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0). 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 æb4ac-b2öb 1. 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为ç-，÷ 2a4a2aèø当x<-bbb时，y随x的增大而减小；当x>-时，y随x的增大而增大；当x=-时，y有2a2a2a4ac-b2最小值 4aæb4ac-b2öbb 2. 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为ç-，时，y÷当x<-2a4a2a2aèø4ac-b2bb随x的增大而增大；当x>-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y有最大值 2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y=ax2+bx+c； 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k； 3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2). 第- 3 -页 共31页 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac³0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a¹0 当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在a>0的前提下， b当b>0时，-<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab当b=0时，-=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab当b<0时，->0，即抛物线对称轴在y轴的右侧 2a 在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即 b当b>0时，->0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab当b=0时，-=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab当b<0时，-<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴x=-是“左同右异” 总结： 3. 常数项c b在y轴左边则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，概括的说就2a 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 总之，只要a，第- 4 -页 共31页 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 y=a2x+bx+关于cx轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c； y=a(x-h)+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)-k； 22 2. 关于y轴对称 y=a2x+bx+关于cy轴对称后，得到的解析式是y=ax2-bx+c； y=a(x-h)+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)+k； 22 3. 关于原点对称 y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c； y=a(x-)h+关于原点对称后，得到的解析式是ky=-a(x+h)-k； 4. 关于顶点对称 b2 y=ax+bx+关于顶点对称后，得到的解析式是cy=-ax-bx+c-； 2a2222y=a(x-h)+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k 22 5. 关于点(m，n)对称 n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)+2n-k y=a(x-h)+k关于点(m，22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 第- 5 -页 共31页 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系： 一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当D=b2-4ac>0时，图象与x轴交于两点A(x1，其中的x1，x2是一元二0)，B(x2，0)(x1¹x2)，b2-4ac次方程ax+bx+c=0(a¹0)的两根这两点间的距离AB=x2-x1=. a2 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D<0时，图象与x轴没有交点. 1' 当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0； 2'当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0 2. 抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c(a¹0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： D>0 抛物线与x轴有D=0D<0二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根 两个交点 可零、可负 抛物线与x轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根 有一个交点 负 抛物线与x轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根. 交点 正 第- 6 -页 共31页 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2+m2-m-2的图像经过原点， 则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的图像大致是 y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x=5，求这条抛物线的解析式。 34 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是 2确定抛物线的解析式；用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M(b,)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个 ca (1) (2) 弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键 例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：a<b<0；2a+c>O；4a+c<O；2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( ) 第- 7 -页 共31页 A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例4、如图，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2 写出y与x的关系式； 当x=2，3.5时，y分别是多少？ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例5、已知抛物线y=125x+x- 22用配方法求它的顶点坐标和对称轴 若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长 本题是对二次函数的“基本方法”的考查，第问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x1<x2)，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角MCO>ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由 (1)解：如图抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1·x2=3<0，又x1<x2， x2>O，x1<O，30A=OB，x2=-3x1 22 x1·x2=-3x1=-3x1=1. x1<0，x1=-1x2=3 点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 2 二次函数的解析式为y-2x-4x-6 (2)存在点M使MC0<ACO (2)解：点A关于y轴的对称点A(1，O)， 直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24) 符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5 当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，MCO>ACO 例7、 “已知函数y=12x+bx+c的图象经过点A， 2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 第- 8 -页 共31页 点评： 对于第小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解答 根据y=12x+bx+c的图象经过点A，图象的对称轴是x=3，得2ì12ï2c+bc+c=-2,ï íb-=3,ï1ï2×2î解得íìb=-3,c=2.î12x-3x+2.图象如图所示。 2所以所求二次函数解析式为y=在解析式中令y=0，得12x-3x+2=0，解得x1=3+5,x2=3-5. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x与产品的日销售量y之间的关系如下表： x 15 20 30 y 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数 第- 9 -页 共31页 求出日销售量y与销售价x的函数关系式； 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 设此一次函数表达式为y=kx+b则íì15k+b=25, 解得k=-1，b=40，即一次函数î2k+b=20表达式为y=-x+40 设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=-x2+50x-400=-2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：设未知数在“当某某为何值时，什么最大”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A15 m B1625 m C166 m D167 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 第- 10 -页 共31页 知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a¹b时，和是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限Ûx>0,y>0 点P(x,y)在第二象限Ûx<0,y>0 点P(x,y)在第三象限Ûx<0,y<0 点P(x,y)在第四象限Ûx>0,y<0 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上Ûy=0，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上Ûx=0，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上Ûx，y同时为零，即点P坐标为 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上Ûx与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ûx与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 第- 11 -页 共31页 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p关于x轴对称Û横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p关于y轴对称Û纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p关于原点对称Û横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点P(x,y)到x轴的距离等于y 点P(x,y)到y轴的距离等于x 点P(x,y)到原点的距离等于 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 x2+y2在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 第- 12 -页 共31页 知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果y=kx+b，那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx。这时，y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数y=kx+b的图像是经过点的直线；正比例函数y=kx的图像是经过原点的直线。 k的符b的符号 号 函数图像 y 0 x y 0 x y 0 x 第- 13 -页 共31页 图像特征 b>0 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。 k>0 b<0 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。 K<0 b>0 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小 y 图像经过二、三、四象限，y随xb<0 的增大而减小。 0 x 注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数y=kx有下列性质： 当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地，一次函数y=kx+b有下列性质： 当k>0时，y随x的增大而增大 当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法 知识点五、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数y=叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1kx第- 14 -页 共31页 的形式。自变量x的取值范围是x¹0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x¹0，函数y¹0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 k反比例y=(k¹0) 函数 xk的符k>0 k<0 号 y y 图像 O x O x x的取值范围是x¹0， y的取值范围是y¹0； 当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 x的取值范围是x¹0， y的取值范围是y¹0； 当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 性质 4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=k中，只有一个待定系数，因此只需x要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 k(k¹0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩xk形PMON的面积S=PM·PN=y·x=xy。 Qy=,xy=k,S=k。 x如下图，过反比例函数y=知识点六、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 第- 15 -页 共31页 一般地，如果特y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)，特别注意那么y叫做x 的二次函数。 a不为零 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于x=-b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征： 有开口方向；有对称轴；有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点： 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点七、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根 三顶点 一般 一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0) 两根 当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 第- 16 -页 共31页 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 三顶点 顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a¹0) 知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值，即当x=-b时，2ay最值4ac-b2=。 4ab是否在自变量取值范围x1£x£x22a如果自变量的取值范围是x1£x£x2，那么，首先要看-b4ac-b2y最值=内，若在此范围内，则当x=-时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1£x£x22a4a2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax2+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax12+bx1+c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，2y最大=ax12+bx1+c，当x=x2时，y最小=ax2+bx2+c。 第- 17 -页 共31页 知识点九、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 a>0 y 0 x 抛物线开口向上，并向上无限延伸； 对称轴是x=-二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0) a<0 y 0 x 抛物线开口向下，并向下无限延伸； 图像 bbbb，顶点坐标是对称轴是x=-，顶点坐标是； 4a在对称轴的左侧，即当x<-性质 4ac-b2）； 4abb时，y随在对称轴的左侧，即当x<-时，y2a2a随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>-x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>-b时，y随x的增大而增大，简记左2ab时，y随x的增大而减小，2a减右增； 抛物线有最低点，当x=-小值，y最小值简记左增右减； bb时，y有最抛物线有最高点，当x=-时，y有2a2a最大值，y最大值4ac-b2= 4a4ac-b2= 4a2、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)中，a、b、c的含义： a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下 第- 18 -页 共31页 b与对称轴有关：对称轴为x=-b 2a c表示抛物线与y轴的交点坐标：3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的D=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当D>0时，图像与x轴有两个交点； 当D=0时，图像与x轴有一个交点； 当D<0时，图像与x轴没有交点。 知识点十 中考二次函数压轴题常考公式 1、两点间距离公式 y 如图：点A坐标为点B坐标为 则AB间的距离，即线段AB的长度为(x1-x2)2+(y1-y2)2 A 0 x B 2，二次函数图象的平移 k)； 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k，确定其顶点坐标(h，2k)处，具体平移方法如下： 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，第- 19 -页 共31页 y=ax2向上(k>0)平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)平移|k|个单位向右(h>0)平移 |k|个单位向上(k>0)平移|k|个单位向右(h>0)平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 函数平移图像大致位置规律 特别记忆-同左上加 异右下减 (必须理解记忆) 说明 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 3、直线斜率：y2-y1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程： k=tana=x2-x14、两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: y-y1=kx+b=(taan)x+b=y2-y1x(x-x1) 此公式有多种变形 牢记 x2-x1 点斜 y-y1=kx(x-x1) 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0) 截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy+=1 ab牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距 第- 20 -页 共31页 5、设两条直线分别为，l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 若l1/l2，则有l1/l2Ûk1=k2且b1¹b2。 若llÛk×k=-1 12126、点P到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d= kx0-y0+bk+(-1)22=kx0-y0+bk+127、抛物线y=ax2+bx+c中， a b c,的作用 a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样. b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-bb，故：b=0时，对称轴为y轴；>0时，对称轴在y轴左侧；2aab<0时，对称轴在y轴右侧. 口诀 - 同左 异右 a c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置. 当x=0时，y=c，抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点