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专题五 二次函数的最值问题专题五 二次函数的最值问题 1二次函数y=ax2+bx+c (a¹0)的最值 二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a>0时，函数在x=-b处取得最2ab4ac-b24ac-b2小值，无最大值；当a<0时，函数在x=-处取得最大值，无最小2a4a4a值 2二次函数最大值或最小值的求法 第一步确定a的符号，a0有最小值，a0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值 3求二次函数在某一范围内的最值 如：y=ax2+bx+c在m£x£n的最值 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x=x0； 第二步：讨论： (1)若a>0时求最小值或a<0时求最大值，需分三种情况讨论： 对称轴小于m即x0<m，即对称轴在m£x£n的左侧； 对称轴m£x0£n，即对称轴在m£x£n的内部； 对称轴大于n即x0>n，即对称轴在m£x£n的右侧。 (2) 若a>0时求最大值或a<0时求最小值，需分两种情况讨论： m+n，即对称轴在m£x£n的中点的左侧； 2m+n对称轴x0>，即对称轴在m£x£n的中点的右侧； 2对称轴x0£说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。 例1求下列函数的最大值或最小值 y=2x-3x-5； y=-x-3x+4 1 22同步练习：已知函数y=12x+2x+1 2写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值； 求抛物线与x轴、y轴的交点； 观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大； 观察图象：当x为何值时，y>0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y<0。 例2 已知函数y=x2,-2£x£a，其中a³-2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 同步练习：当1£x£2时，求函数y=-x2-x+1的最大值和最小值 例3当x³0时，求函数y=-x(2-x)的取值范围 2同步练习：已知二次函数y=2x-x-3,x为何值时y=0？ x为何值时y>0？ x为何值时y<0？ 2 例4当t£x£t+1时，求函数y=125x-x-的最小值(其中t为常数) 22同步练习：某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x,30£x£54 (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 1抛物线y=x2-(m-4)x+2m-3，当m= _ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _ 时，图象过原点 2用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 23设a>0，当-1£x£1时，函数y=-x-ax+b+1的最小值是-4，最大值是0，求a,b的值 24已知函数y=x+2ax+1在-1£x£2上的最大值为4，求a的值 25求关于x的二次函数y=x-2tx+1在-1£x£1上的最大值(t为常数) 3