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上海交通大学大学物理13电介质习题13 13-1如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P(沿x轴)。 xP=P0；P=P0。 Rvv解：可利用公式q'=-ÒòòP×dS=-ÒòòPcosqdS算出极化电荷。 SSyR首先考虑一个球的环形面元，有：dS=2pRsinq(Rdq)， P=P0时，由s'=Pcosq知s1'=P0cosq， OqxvdSvPq1'=òP0cosq×2pR2sinqdq=0ppR2P02ò2p0sin2qd2q=0； yRP=P0p0xxRcosqcosq=P0cos2q， 时，s2'=P0cosq=P0RRR22qq2'=òP0cosq×2pRsinqdq=-2pRP0òcosqdcosq 0pOx=Rcosqqr=Rsinq2x2pR2P0=-cos3q36p04pR2P0=。 32-713-2平行板电容器，板面积为100cm，带电量±8.9´10C，在两板间充满电介质后，其场强为1.4´10V/m，试求：介质的相对介电常数er；(2)介质表面上的极化电荷密度。 sQ8.9´10-7解：由E=，有：er=7.18 e0ere0ES8.85´10-12´1.4´106´100´10-4s'=P=e0(er-1)E=7.66´10-5Cm2 13-3面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：插入厚度为为er的电介质，其电容量变为原来的多少倍？插入厚度为为原来的多少倍？ 解：电介质外的场强为：E0=而电介质内的场强为：Er=d，相对介电常数3d的导电板，其电容量又变3d3s， e0ers， e0ers2sd所以，两板间电势差为：U=×d+×， e03e0er3eS3e0erS3erQsSC那么，C=，而C0=0，； =dUU(2er+1)dC02er+1d的导电板，可看成是两个电容的串联， 3eS3eS有：C1=C2=0=0， d/3dC1C2C33e0S3=。 C=C0ÞC02C1+C22d2插入厚度为d3d313-4在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为s0与s¢(绝对值)，试求：电介质内的场强E；相对介电常数er。 解：由：-ss0-s'E= e0ssse0s0=又由E=0，有：er=0=0×。 e0ere0Ee0s0-s's0-s'13-5在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷面密度为s，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为er) ÒòòSvv1E×dS=+se0å(q+q')，有： ervvvvq'=-P×dS解：由，考虑到P=e0(er-1)E， ÒòòS有：与ÒòòSSvvE×dS=-ÒòòvvE×dS=q'， e0(er-1)q+q'e0联立，有：-得：q'=-(er-1)qer，s'=-q'q+q'， =e0(er-1)e0er-1ers。 13-6如图所示，半径为R0的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R1和R2，相对电容率为er，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。 解：利用介质中的高斯定理ÒòòSvvD×dS=åqi。 S内导体内外的电位移为：r>R0，D=由于E=Q；r<R0，D=0。 24prDe0er，所以介质内外的电场强度为： r<R0时，E1=0；R1>r>R0时，E2=De0=Q4pe0r2； R2>r>R1时，E3=Dere0=Q4pere0r2；r>R2时，E4=De0=Q4pe0r2。 13-7一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度 大小为E0=200kV/m，试求该电容器可能承受的最高电压。 r·Rl， 2pe0errRvRllRvUr=òE×dr=òdr=ln， rr2peer2pe0err0rRl击穿场强为E0，=rE0，则Ur=rE0ln， r2pe0er解：由介质中的高斯定理，有：E=令dUrdrr=r0=0，有：E0lnRRR-E0=0，ln=1Þr0=， er0r0Umax=r0E0lnRRE0=147KV。 r0e13-8一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2的电介质，它们的相对介电常数为er1和er2，极板面积为S，求电容量。 解：D1=D2=s，E1=ss，E2=， e0er2e0er1sd1sd2而：U=E1d1+E2d2=， +e0er1e0er2e0SeeeSQ=0r1r2有：C=。 ddU1+2er2d1+er1d2er1er213-9利用电场能量密度we=量为Q。 er1er212eE计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R，带电2RQrìE=r<Rï14peR3ï0解：首先求出场强分布：E=í ïE=Qr>R22ï4pe0rîe02e0Re0Qr22W=EdV=4prdr+òòò22ò04pe0R323Q2。 =20pe0ROqò¥R(Q4pe0r22)4prdr 213-10半径为2.0cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为4.0cm和5.0cm，当内球带电量为3.0´10-8C时，求：系统储存了多少电能?用导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：先求场强分布： ìE1=0ïqïE2=4pe0r2ïE=íïE3=0ïqE=ï34pe0r2îr<R1R1<r<R2R2<r<R3r>R3R1·R2R3考虑到电场能量密度we=12eE，有：球与球壳之间的电能： 2e02e0R2qq21122W1=òòòEdV=ò4prdr=(-)=1.01´10-4J 222R14pe0r8pe0R1R2球壳外部空间的电能： W2=òòòe02EdV=2e02ò¥R3(q4pe0r)4prdr=222q28pe0R3=8.1´10-5J， 系统储存的电能：W=W1+W2=1.82´10-4J； 如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以W1'=0 而外表面所带电荷不变，那么：W'=W2=8.1´10-5J， 电能变化为：DW=-W1=-1.01´10-4J。 13-11球形电容器内外半径分别为R1和R2，充有电量Q。求电容器内电场的总能量；1Q2证明此结果与按We=算得的电容器所储电能值相等。 2CQ解：由高斯定理可知，球内空间的场强为：E=， 4pe0r212利用电场能量密度we=eE，有电容器内电场的能量： 2e02e0R2Q2(R2-R1)QQ21122； W=òòòEdV=ò4prdr=(-)=22R14pe0r28pe0R1R28pe0R1R2由UR1R2=òR2Q4pe0rR1dr=2Q4pe0(Q(R2-R1)11， -)=R1R24pe0R1R2则球形电容器的电容为：C=QUR1R2=4pe0R1R2R2-R1， 1Q2Q2(R2-R1)那么，We=。 =2C8pe0R1R213-12一平行板电容器的板面积为S，两板间距离为d，板间充满相对介电常数为er的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：维持两板上面电荷密度s0不变而把介质取出；维持两板上电压U不变而把介质取出。 11s02Sd2解：维持两板上面电荷密度s0不变，有介质时：W1=e0erESd=， 22e0er11s02Sd2取出介质后：W2=e0ESd=， 22e02Sd1s01外力所做的功等于静电场能量的增加：DW=W2-W1=(1-)； 2e0er11e0erS22U， 维持两板上电压U不变，有介质时：W1=CU=22d11e0S22U， 取出介质后：W2=CU=22d对电源充电: DW电源=Dq×U=(C-C0)U2 DW=W2-W1+DW电源=13-13 在边长为a的等边三角形的三个顶点上各有一电荷为+q的点电荷，而在三角形中心处有一电荷为-q/1e0S21e0S2U(1-er)+(C-C0)U2=U(er-1)。 2d2d3的点电荷，如图所示。求此点电荷系的电势能。 解： 三个顶点的点电荷因为是对称的，所处的电势为： V1=2q4pe0a-q/3q =4pe0a/34pe0a+q q -q/3 中心点电荷所处的电势为： V2=3´q33q= 4pe0a/34pe0aq 所以整个点电荷系的电势能为： 141q We=åqiVi=(3´qV1-V2)=0 2i=123思考题13 13-1介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？ 答：¢=Pcos。 13-2不同介质交界面处的极化电荷分布如何？ ¢=P1×en1，s2¢=P2×en2 答：s1+q +q sP=(P1-P2)×en 即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度的法向分量之差。 13-3介质边界两侧的静电场中D及E的关系如何？ 答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。 13-4真空中两点电荷qA、qB在空间产生的合场强为E=EA+EB.系统的电场能为We=òòò11e0E2dt=òòòe0E×Edt V02V021122=òòòe0EAdt+òòòe0EBdt+òòòe0EA×EBdt. V02V02V0说明等式后面三项能量的意义； A、B两电荷之间的相互作用能是指哪些项？ 将A、B两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？ 答：第一项表示点电荷A所形成的电场的能量，第二项是点电荷B所形成的电场的能量，第三项是两个点电荷的相互作用能。