三角函数与向量习题精讲.docx
三角函数与向量习题精讲习题精选精讲 三角函数与向量 ruvp1已知向量m=，且与向量n=的夹角为，其中A, B, C是DABC的内角求角的大小； 3求sinA+sinC的取值范围 p, 31-cosBBBp2p=3,tan=3又0<b<p=,即B=p,A+C=, 22333sinBurrp第一问：另解： m=(sin , 且与向量n=(1,0)所成角为, B,-1coBs3解：m= , 且与向量n=所成角为 sinB2-2coBs=12，cosB1=，又0<b<p22p3-A)=， Bp2p=，即B=p,A+C=2333：由可得sinA+sinC=sinA+sin(13pppp2psinA+cosA=sin(A+)0<A<<A+<2233333sin(A+pæ3ùæ3ù)Îç,1ú,sinA+sinCÎç,1ú ç3ç22úúèûèû当且仅当A=C=2已知p6时,sinA+sinC=1 p3pA、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosa,sina)，aÎ(,)， 222sin2a+sin2a若AC×BC=-1，求AC=BC，求角a的值；1+tana的值 若解：QAC=(cosa-3,sina),BC=(cosa,sina-3) ，AC=(cosa-3)2+sin2a=10-6cosa又aBC=10-6sina 由AC=BC得sina=cosap3p5Î(,)a=p224由AC×BC=-1，得(cosa-3)cosa+sina(sina-3)=-1 2sin2a+2sinacosa= =sina1+cosa252sin2a+sin2asina+cosa=2sina×cosa=- 又391+tana552sin2a+sin2a2sina×cosa=-所以，=-。 991+tana3设函数f(x)=m×n,其中向量m=(2cosx,1),n=(cosx,3sin2x),xÎR. f(x)的最小正周期与单调递减区间；在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f(x)=2,b=1， 求1 习题精选精讲 ABC的面积为3b+c2,求sinB+sinC的值。 解：f(x)=m×n=2cos2x+3sin2x=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+p6)+1. 函数f(x)的最小正周期T=2p2=p. 令p3p2+2kp£2x+p6£2+2kp,kÎZ,解得p2p6+kp£x£3+kp. 函数f(x)的单调递减区间是p2p6+kp,3+kp,kÎZ. 由f(A)=2,得2sin(2A+p6)+1=2， 即sin2(A+p16)=2,在DABC中,5pQ0<A<p,p<2A+p2A+p6,解得A=p66<p6+2p.6=3. 又QS1133 DABC=2bcsinA=2´1´c´2=2,解得c=2,a=3. 在DABC中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=3, 由b3sinB=csinC=asinA=3,得b=2sinB,c=2sinC, b+csinB+sinC=2. 24已知向量m= (cosq,sinq) 和n=(2-sinq,cosq)，q，2 求|m+n|的最大值；(2)当|m+n|=825时，求cosçæqpöè2+8÷ø的值 u解：(1) mr+rn=(cosq-sinq+2,cosq+sinq) umr+rn=(cosq-sinq+2)2+(cosq+sinq)2=4+22(cosq-sinq)=4+4cosæçpöèq+4÷ø21+cosæçpöèq+4÷ø ，2，5p4£q+p4£9p4，cos(q+p4)1 |m+n|max=22 u(2) 由已知mr+rn=825,得cosæçèq+pö4÷ø=725 又cosæçèq+pöqp4÷ø=2cos2(2+8)-1 cos2(q+p)=16 ，25pqp9p8£2+8£8，cosæçqè2+pö8÷ø=-428255 5已知ABC的面积S满足3£S£3, 且AB×BC=6, AB与BC的夹角为q 2 =习题精选精讲 (I) 求q的取值范围;(II)求函数f(q)=sin2q+2sinq×cosq+3cos2q的最小值 解:(1)由题意知,AB×BC=|AB|×|BC|×cosq=6, 11|AB|×|BC|×sin(p-q)=|AB|×|BC|×sinq, 223S1£tanq£1 由÷, 得=tanq, 即3tanq=S.由3£S£3,得3£3tanq£3, 即362S=又q为AB与BC的夹角, qÎ0, p, qÎ(2)f(q)pp, 64=sin2q+2sinq×cosq+3cos2q=1+sin2q+2cos2q ppp7p3pp=2+sin2q+cos2q=2+2sin(2q+),qÎ, , 2q+Î, 4644124pp3p2q+, 即q=时, f(q)的最小值为3 =444uuuruuurruuuruuu6已知ABC的面积为3，且满足0ABgAC6，设AB和AC的夹角为q求q的取值范围；求函数设ABC中角则由 æöf(q)=2sin2ç+q÷-3cos2q的最大值与最小值 è4øA，B，C的对边分别为a，b，c， 1éùbcsinq=3，0bccosq6，可得0cotq1，qÎê，ú 2ë42ûéæöæöùf(q)=2sin2ç+q÷-3cos2q=ê1-cosç+2q÷ú-3cos2q è4øè2øûëöæ=(1+sin2q)-3cos2q=sin2q-3cos2q+1=2sinç2q-÷+1 3øè5öé2ùæéù即当q=时，f(q)max=3；当q=时，f(q)min=2 qÎê，ú，22sinç2q-÷+132q-Îê，ú，124336342èøëûëû7已知a、bp3Î(0,),a=(sina,1-cosa),b=(sinb,cosb),且a×b=-cosa. 22 求向量a与b的夹角q； 求a、b的值. 解：|a|= ,|b|=1 233a1aa×b=-cosa=-(1-2sin2)=+2sin2 222221a+2sin2a×b1a2=1+sina³2cosq=2×sin=1 aaa22|a|×|b|2sin4sin4sin222sin2a+(1-cosa)2=2sina3 习题精选精讲 又0£cosq£1cosq=1Q0£q£pq=0 由可知，cosq=1时,14sina2=sinaa1p,aÎ(0,)sin=2222综上,a=b=a2=p6a=p3将a=p3代入a×b=3p-cosa,得b=.23p3. 8 已知锐角ABC中，三个内角为A、B、C，两向量p=(2-2sinA,cosA+sinA)， q=(sinA-cosA,1+sinA),若p与q是共线向量. 求A的大小； 求函数y=2sin2B+cosC-3B2取最大值时，B的大小 解析：Qp (2-2sin 化简得：sin2=(2-2sinA,cosA+sinA),q=(sinA-cosA,1+sinA),p/q. A)(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-cosA)=0 A=3 4 因为ABC为锐角三形，sinA=3,所以A=60o 2y=2sin2B+cos2C-3B2(180o-A-B)-3B=2sinB+cos 2=2sin2B+cos(2B-60o)13=1-cos2B+cos2B+sin2B 2231sin2B-cos2B+122=sin(2B-30o)+1.=因为DABC为锐角三角形,B+A>90o,A=60o,故30o<B<90o,所以30o<2B-30o<150o,所以当2B-30o=90o即B=60o时,y最大值2.4
