《经济数学微积分》第四章 中值定理与导数的应用练习题.docx
经济数学微积分第四章 中值定理与导数的应用练习题经济数学-微积分(上) 练习题第四章中值定理与导数的应用 第四章 导数的应用 一、判断题 1. 若 f(x) 在 a,b 上连续，在 (a,b) 内可导，a<x1<x2<b， 则至少存在一点 xÎ(x1,x2)，使得 f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)； 2. 函数 f(x)=ln(2x+1) 在 0,2 上满足拉格朗日定理； 3. 若 x=x0 是函数f(x) 的极值点，则f'(x0)=0 ； ¢ 4.f(x0)=0是可导函数y=f(x)在x=x0点处取得极值的充要条件；5. 函数可导，极值点必为驻点； 6. 函数 f(x) 在 a,b 上的极大值一定大于极小值； 7. 设f(x)=(x-a)j(x),其中函数j(x)在x=a处可导,则f¢(a)=j(a)； 8. 因为 y=11 在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 y= 必有最大值； xx9. 若 f¢(x0)=0，f¢¢(x0)<0 ，则 f(x0)是 f(x)的极大值； 10. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点； 13x=1f(x)=x-x 在 -2,+2 上的极小值点； 是 11. 312. 曲线 y=3x 在 x=0 点没有切线； 13. 曲线 y=1+lnx 没有拐点； 14. x=111 是曲线 y=x3-x2 的拐点； 26415. 曲线 y=x3-x 在(-¥,0)是凹的，在(0,+¥)是凸的； 二、填空题 1. 求曲线 y=(x-2)3 的拐点是 _； 2. 函数 y=-(x-1)2 的单调递增区间是 _ ； 53. 函数 y=x3-3x 的单调递减区间是 _ ； 4. 设 y=2x2+ax+3在点 x=1 处取得极小值，则 a = _ ； 1 经济数学-微积分(上) 练习题第四章中值定理与导数的应用 5. 设 y=(x-a)3 在 (1,+¥) 是凸的，则 a = _ ； 6. 若 f¢¢(x)=x-3，则曲线 y=f(x) 的拐点横坐标是 _ ； 7. 8. 9. 函数y=x5-x在0,5上满足拉格朗日中值定理的x= _ ； p函数 y=x+2cosx 在区间 0, 上的最大值是 _ ； 2曲线 y=x 的凹区间是 _ ； 10. 函数 y=x-x 在区间 0,1 上的最小值是 _ . 三、选择题 1. 函数 y=sinx 在区间 0,p 上满足罗尔定理的 x= ( ) (A) 0 (B) pp (C) (D) 422.若在(a,b)内，f(x),g(x)的导数处处相等,则f(x),g(x)在(a,b)内( ) (A)相等 (B)不相等 (C)均为常数 (D)仅相差一个常数 3.sinx-siny x-y，横线上填 (A) ³ (B) £ (C) > (D) < 4. 函数 y=f(x) 在点 x=x0 处取得极大值，则必有 (A) f¢(x0)=0 (B) f¢¢(x0)<0 (C) f¢(x0)=0 且 f¢¢(x0)<0 (D) f¢(x0)=0 或不存在 5.函数f(x)=ax2+c在(0,+¥)内单调减少，则a,c应满足( ) (A)a<0,且c是任意常数 (B)a>0,且c=0 (C)a>0,且c是任意常数 (D)a>0,且c¹0 0,p的最大值是 6. y=sinx-x在区间 (A)-p (B) 0 (C) 2 (D) p 2 7.若f(x0)是连续函数f(x)在a,b上的最小值，则( ) (A)f(x0)一定是f(x)的极小值 (B)f¢(x0)=0 2 经济数学-微积分(上) 练习题第四章中值定理与导数的应用 (C)f(x0)一定是区间端点的函数值 (D)x0或是极值点，或是区间端点 8. 若f(x)在(a,b)内恒有f¢(x)<0,f¢¢(x)<0,则f(x)在(a,b)内( ) (A)单调减少且凹的 (C)单调增加且凹的 (B)单调减少且凸的 (D)单调增加且凸的 9. f(x)=x3-6x2-11x-6在2,4上( ) (A)凸的 (B)凹的 (C)既有凹的又有凸的 (D)单调增加 10. f(x)=e-x2+1 (A)有1个拐点 (B) 有2个拐点 (C) 有3个拐点 (D)没有拐点 四、计算与应用题 x1ex-e-x-2x-) 2. lim1. 求极限 lim( 3x®1x-1x®0lnxxlnsin3x3. lim 4. lim(1+sinx)x x®0lnsin2xx®015.设函数y=f(x)在0,1连续,(0,1)可导,且f(0)=1,f(1)=0, 证明:至少$一点x,使f¢(x)=-f(x)x 3 经济数学-微积分(上) 练习题第四章中值定理与导数的应用 6.确定下列函数的单调区间，极值，凹向，拐点 (1).f(x)=x+x (2).f(x)=xe (3).f(x)=2-(x-1) 7. 证明:当x>0时, 8证明:若x1<x2,则有sinx2-sinx1£x2-x1 4 3x223x<ln(1+x)<x. 1+x经济数学-微积分(上) 练习题第四章中值定理与导数的应用 9设某产品的价格与销售量的关系为P=10-Q. 5'(1) 求当需求量为20及30时的总收益R、平均收益R及边际收益R. (2) 当Q为多少时,总收益最大？ 10.设某商品的需求量Q对价格P的函数为Q=50000e-2P. 求需求弹性; 当商品的价格P=10元时,再增加1%，求商品需求量的变化情况. 11某食品加工厂生产某类食品的成本C是日产量x的函数 C(x) = 1600 + 4.5x+0.01x2 问该产品每天生产多少公斤时, 才能使平均成本达到最小值？ 12某化肥厂生产某类化肥，其总成本函数为 C(x)=1000+60x-0.3x2+0.001x3 (元) 销售该产品的需求函数为 格为多少? 13. 一公司某产品的边际成本为3x+20, 它的边际收益为44-5x, 当生产与销售80单位产品时的成本为11400元，试求: (1)产量的最佳水平; (2)利润函数; (3)在产量的最佳水平是盈利还是亏损? 5 x=800-20p (吨), 问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的价3
