《电磁场与电磁波》刘岚 课后习题解答.docx

电磁场与电磁波刘岚 课后习题解答第三章习题解答 解：设导线沿e方向，电流密度均匀分布 ®z则 rrJ=ezIp4d2r=ez2p4(10)-3r8cos(2p´50t)=ez106cos(2p´50t导线内的电场 rrJrE=ezs8´106r-2cos2p´50t=e4.39´10cos2p´50t(V/m)z7p´5.8´10位移电流密度 r¶Er10-9r-2-10=e=ee´4.39´10-sin2p´50t´100p=-esin(2p´50tz1.22´10Jd0¶tz036p 解：由欧姆定理 suuvuvJc=sE 得 1 ruvJuuvE=ex0.02´sin117.1(3.22t-z)(V/m)所以 uvuuvv¶Euu1Jd=e0=ex6.6´8-110¶tcos-1z17A.m1(23.22)(/) 解：J ®c=sE=ex60scos(105t)A/m2®®®®®¶E¶EJd=e=e0er=-ex7.97´10-5sin(105t)(A/m2)¶t¶t®®c® J =JdÞ60s=7.97´10-5Þs=1.33´10-6(S/m)解：在区域中，传导电流密度为0，即 J=0 将表示为复数形式，有 rHrr2H(r,z)=ejcos(2pz)r由复数形式的麦克斯韦方程，可得电场的复数形式 2 rrE(r,z)=ej2iwe0errÑ´H=r¶Hj1¶-er+(rHj)iwe0er¶zr¶r1r502=-erisin(2pz)r所以，电场的瞬时值形式为 rr502E(r,z,t)=ersin(2pz)sin(4p´108t)(V/m)rr=5mm,z=25mm处的表面电流密度 rrrrrrJs=n´H=er´H=ez395.1cos(4p´108t)A/mr=20mm,z=25mm处的表面电荷密度 rrrrrs=ngD=-e0erergE=-0.78´10-7sin(4p´108t)C/m2r=10mm,z=25mm处的位移电流密度 rrr¶D¶ErJd=e0er=er196.6cos(4p´108t)A/m2¶t¶t解： 传导电流密度 2rrrJc=sE=ey6´10-9sin9´109t位移电流密度 3 rrr¶D¶E1¶(6´10-6sin9´109t)r-9JD=e0er=´10´2.5´ey¶t¶t36p¶tr3.75´10-6r=eycos9´109t(A/m2)=ey1.19´10-6cos9´109t(A/m2)prr解：在介质中，传导电流密度Jc=sE 位移电流密度e=e0er rrE=exE0coswt rJd=er¶E¶t-12-1e=8.8´51Fm0 0 w=1000(rad/s) 所以 rrJc=exsE0cowst rrJd=-exewE0sinwt 可以得出两者的振幅分别为 Ac=sE0Ad=ewE0=ee0rwEAcsE0s=Ade0erwE0e0erw 铜：s=5´10S/m，e7r=1 5´10716A=0.56´108.854´10-12´1000r 蒸馏水：s=2´10-4S/m，e=80 4 2´10-4A=0.28´103-128.854´10´80´1000r聚苯乙烯：s=10-6S/m，e =2.53 10-62A=0.45´108.854´10-12´2.53´1000解: =®2´10-6sin(wt-5x)ezwr¶DJd=¶t® 则 D=òJddtD=eE又® 则 rDr2´10-6r10-6E=ezsin(wt-5x)=ezsin(wt-5x)eew2e0w因1wt-x 为 0 cos-6EzrEz洞r抖r5=(ex-ey=ey)抖zy x2e0wEz由®汛E=-®¶B¶t® 得 6rr5´1-0B=-ò汛Ed=-tye2siwn(-2e0wt5x) 则 Br10-6H=-eysin(wt-5x)2m2e0w®®5 因为 当 由rexuur¶Ñ´H=¶x0rey¶¶yHy汛H=J+ dJ于 s=0时rJ=0，则 汛H=Jdrez¶r¶Hyr¶Hyr5´10-6=(ez-ex)=ezcos(wt-5x)¶z¶x¶z2e0m0w20®r6Jd=ez2?1-0而 cwots(x5)比较两式可得 所以 解：将方程，得 r¶r-=?gJ¶trs?gErrJ=sE5´10-6-6=2´102e0m0w2w=5c2w2=5=c2(c为光速)4e0m045 即 和D=eE代入到电流连续性rDs?gers gDe再利用 r?gDr 可得 6 -¶rs=r¶ter=ce=-ste-解得 cett0由于t=o时，r=r，故c=r 0所以 r=r0e-t/t 由上式得 t铜=e/s=e0er/s-12=8.854´10´1/5.7´10=1.55´107-19s-10t石墨=e/s=e0er/s=8.854´10-12´5/0.12=3.69´10s 解：已知 所以 由于 ruuruuruurE=2yeyH,=xe5xurr=BmH=50omurruurD=eE=5eye0y,xuurxeurr¶r¶r¶uurÑgB=(xe+e+eg)(m50ox=xe)m¹50yzo¶x¶y¶z0所以，该场不满足麦克斯韦方程 已 7 知 ruur7E=100sin6´10tsinzey,uuruur7H=-0.1328cos6´10tcoszex所以 uruurr7D=eE=250e0sin6´10tsinzey,uruurr7B=mH=-1.328mocos6´10tcoszex故有 urr¶r¶r¶uur7ÑgD=(ex+ey+ez)g(250e0sin6´10tsinzey)=0¶x¶y¶zurÑgB=0rey¶¶yEyrezuur¶r¶Eyr¶Ey7=(ez-ex)=-100sin6´10tcoszex¶z¶x¶z0rexr¶Ñ´E=¶x0而 uruur¶B77-=-1.328´6´10m0sin6´10tcoszex¶t7-77uuruur7=-1.328´6´10´4p´10sin6´10tcoszex=-100sin6´10tcoszex所以有 又rexuur¶Ñ´H=¶xHxrey¶¶y0rÑ´Eur¶B=-¶t因为 uur0.132´8ctosze6y7rez¶r¶Hxr¶Hx=(ey-ez)=¶z¶z¶y07 107sin而 ur¶D=25´0´67e100¶tuurÑ´Hur¶D=¶tuur´cots6zey1=0sin´uurt0.1ze3y28cos610s所以有 8 因此，该场满足麦克斯韦方程。 已知 故有 uruur7D=(z+6´10t)exuruur10B=(-754z-4.52´10t)eyurr¶r¶r¶uur10ÑgB=(ex+ey+ez)g(-754z-452´10t)ey=0¶x¶y¶zrexruur1ur1¶7Ñ´E=Ñ´(D)=Ñ´(z+6´10t)ex=2.5e02.5e0¶xEx1rr¶Er¶Er=(eyx-ezx)=ey=4.52´1010ey¶z¶y2.5e0rey¶¶y0rez¶¶z0而 ur¶B¶=(-75z-4¶t¶turr¶BÑ´E=-¶tuur´4.5t2ey=1-010´)uur10ey4.5210满足 又 rexuur¶Ñ´H=¶x0rey¶¶yHyrezuur¶754r¶Hyr¶Hy=(ez-ex)=e=¶z¶x¶z10m0x0uur754ex=´61´0p´4-7107uur1ex0而 uruur¶D7=6´10ex¶tuurÑ´H满足 ur¶D=¶t因此，该场满足麦克斯韦方程。 9 解：(1)对于海水,已知 s=4S/m, f=1GHZ, er=81, w2pf=6.28´10rad/s 9由一般介质中麦克斯韦第四方程可知 uvuuvr¶DuvuvÑ´H=Jc+=sE+e0er(-iw)E¶t=uvs+e0er(-iw)E=uvé4+81´8.854´10-12´(-i´6.28 ´109)ùEëû=uvi(4.5-i4)E(2)对于铜,已知 er s=5.7´10S/m, f=1GHZ, 7=1, w=2pf=6.28´10 rad/s 9介质中, 位移电流密度 流密度 uvJc=sEuv¶EJd=e0er¶t; 传导电位移电流与传导电流幅值之比为 rrdSidgSJdgò=rricòSJcgdS=-ie0erws=e0erws=8.854´10-12´6.28´109´1-10=9.75´105.7´107由一般介质中麦克斯韦第四方程可知, 10 uvuuvuuv¶DuvuvÑ´H=JC+=sE+e0er(-iw)E¶tv=s+ee(-iw)uE 0r=éë5.7´107uv+1´8.854´10-12´(-i´6.28 ´109)ùûEv=5.7´10uE 7解：两极板之间存在电场时，其电位差 rrru=Egd，若设极板垂直于Z轴，并且忽略边界效应，则两极板之间的电场为 rrurUE=ez=ezmsiwntdd 位 rrewSId=òJdgd=SdscmUows=wtCmcwUos则移电流密度为 rr¶ErewUmJd=e=ezcowst¶td总的位移电流 式中 C=teSd 为平行板电容器的电容； 电容器引线中的电流是传导电流，即 11 故得 Ic=dqd(Cu)du=C=CwUmcoswtdtdtdtIc=Id解：在t时刻，电荷转过得角度为q=wt，而点电荷在圆心处产生的电场为 所以urrE=-erq4pe0r02=-q4pe0r0uuruurexcosq+eycosq2ruurruurruur¶Ewquu25uuJd=e0=(exsinwt-eycoswt)=(exsin1000t-eycos1000t)¶t4pr02p解：在线性、各向同性介质中 uvrrrÑgD=Ñg(eE)=EgÑe+eÑgErrrr¶D¶¶e¶E=(eE)=E+e¶t¶t¶t¶trrrrÑgB=Ñg(mH)=HgÑm+mÑgHrrrr¶B¶¶m¶H=(mH)=H+m¶t¶t¶t¶tuvuvD=eEuvuuvB=mHvuuvE和H表达麦克斯韦方程时，有 当用u从而有 12 r1rrÑgE+(ÑegE)=rrr¶m¶HÑ´E=-H-m¶t¶tr1rÑgH+(ÑmgH)=0rrrr¶e¶EÑ´H=J+E+e¶t¶tuv当用uvD和B表达麦克斯韦方程时，有 eemrr1r1r1Ñ´E=Ñ´(D)=Ñ´D+Ñ´Deeerr1r1r1Ñ´H=Ñ´(B)=Ñ´B+Ñ´Bmmm从而有 rÑgD=rrrr¶B1Ñ´D=-e+Ñe´D¶terÑgB=0rrrr¶D1Ñ´B=mJ+m+Ñm´B¶tm证明：因为和满足的麦克斯韦方程为 uvEuuvHrÑgE=r/errr¶EÑ´H=J+e¶trr¶HÑ´E=-m¶trÑgH=0 13 所以有 Ñ´Ñ´uuHr=Ñ(ÑguuHr)-Ñ2uuHr 并且 Ñ´Ñ´uuHr=Ñ´uJr+e¶r¶t(Ñ´E) 故有 Ñ2uuHr-Ñ(ÑguuHr)=-Ñ´uJr-e¶r¶t(Ñ´E)即 Ñ2uuHr2uur-me¶Hur¶t2=-Ñ´J同理 由于 Ñ´Ñ´uEr=Ñ(ÑguEr)-Ñ2uEr 并且 Ñ´Ñ´uEr=-m¶¶tÑ´Hr 故有 Ñ2uEr-Ñ(re)=m¶¶tÑ´Hr=m¶¶tJr2r+me¶E¶t2即 Ñ2u2rrEr-me¶E¶J1¶t2=m¶t+eÑr 证明：由于 ÑguDr=Ñge(r)Er=e(r)ÑgEr+ErgÑe(r) 所以用Euv和uuHv表达麦克斯韦方程为 ÑgEr+ErgÑe(r)e(r)=0Ñ´uEr=-m¶uuHr0¶tÑgHr=0Ñ´Hrr=e(r)¶E¶t14 于是有 即 uurur¶HÑ´(Ñ´E)=-m0Ñ´¶tuurururuur¶H¶2Ñ(ÑgE)-ÑE=-m0Ñ´=-m0(Ñ´H)¶t¶t将麦克斯韦方程代入得 rr2urrÑe(r)¶¶E¶EÑ(Eg)-Ñ2E=-m0e(r)=-m0e(r)2e(r)¶t¶t¶t即 r2urrÑe(r)¶E2ÑE-m0e(r)2=-ÑEg¶te(r) 同理，因为 即 uuruur2Ñ(ÑgH)-ÑH=err¶EÑ´(Ñ´H)=Ñ´er¶tr¶(r)Ñ´(+EÑe)¶tr¶E´r¶t将麦克斯韦方程代入得 uuruur2uur¶HÑ´H0-Ñ2H=-m0er2+Ñer´¶te(r)即 uur2uuruur¶HÑe(r)2ÑH-m0e(r)2=´Ñ´H¶te(r)解：设空气为介质1，理想磁介质为介质2，则m¥，因而必须为0， 2uurH2否则 uruurB2=mH2 将为无穷大。 15 理想磁介质内部有 边界条件为 即 H1t=H2t=0uurH20，故其表面得rrn´H1=0r 此外，当引入磁流概念时，E的旋度方程为 rrr¶BÑ´E=-Jm-¶truuruurrn´E1-E2=-Jms其对应的边界条件为 因为 uurH20()rE20， 则 rr¶EÑ´H2=-e2=0¶t， 所以 即理想磁介质中也不存在电场，故有 ruurrn´E1=-Jms综上所述rrìïn´H1=0rríruun´E=-Jï1msî，所求的边界条件为 16 解：在完纯导体中，则s=¥，为无穷大； 由 rr¶HÑ´E=-m¶trE2=0，否则rrJ2=sE2,可知 uurH20nE1tE1E1nahlbdE2E2tE2nc如图，在分界面上取一矩形闭合路径abcd，该路径的两个l边与分界面平行，且分别在两个分界面两侧，另外，两个17 边h为无限小量。 由安培环路定律： 图所示线路积分有 等式左边 uuvvgòHgdl=H1tl-H2tDl luuvvgòHgdl=Il，按照上等号右边为闭合回路穿过的总电流 uvuvvöæ¶Du¶DæöI=limçòJsgdS+ògdS÷=limçDIs+DhDl÷ss¶tDh®0¶tøèøDh®0è所以 H1t-H2t=limDIs¶D+limDh=JsDh®0DlDh®0¶tvuuvuuvuvn´H1-H2=Js 写成矢量式为 将 解：当 当 x0()uurH20 代入得 vuuvuvn´H1=Js 时，Eyy=Hx=0， Hz=H0cos(kz-wt)xa 时，Ex0=Hx=0xa， Hz=-H0cos(kz-wt)这表明 和 是理想导电壁得表18 面，不存在电场的切向分量E和磁场的法y向分量H。 x在x0表面，法线 所以 rrnexc0eH(-wyosz k)tuvvruurrrrJs=n´H=´eeH=-x=0xz=z0xrrn-ex在xa表面，法线 所以 0uvruuvrrrrJs=n´H=-´eeH=-x=axz=zxaceoysH(-wz k)t证明：考虑极化后的麦克斯韦第一方程 ururrf+rpÑ×E=e0由于极化电荷体密度与极化矢量的关系为 rrp=-gÑR所以 ururrf+rp1rÑ×E=(rf-ÑgR)e0e0rrR=e0apE对于线性、各向同性、均匀介质，19 又知 er=1+ap， e=e0ere0所以 rrrr1ÑgR=e0apÑgE=e0ap(rf-ÑgR)=ap(rf-ÑgR)移项得 即 (1+aprrÑgRa+pgÑRap=rfrÑ)gRa=prf所以 rpape0er-11-ÑgR=-=-=-1=-1rf(1+ap)r1+aperereÑgRapr即极化电荷体密度rp总是等于自由电荷密度rf的倍e证明：由磁化电流体密度与磁化矢量的关系 uurrJm=Ñ´M在均匀磁介质内部，位移电流等于零，故传导电流 uurrJc=Ñ´HuurrM=xmH对于线性、各向同性、均匀磁介质，而 urrrrrB=m0(M+H)=m0(1+xm)H=mH20 两端取旋度 urrrrÑ´B=m0(Ñ´M+Ñ´H)=mÑ´H即 rrrm0(Jm+Jc)=mJc 即 rJmmr=(-1)m0Jc所以 rrm0Jm=(m-m0)Jc 解：令 则 rrrrrexx+eyy+ezz， rrrrkxek+e+kxyy ekrrkgrxk+xy+kyzkz所以，由可得 2rrrikgrEAe rrrrrr¶2¶2¶2irgkrikgr222ikgÑE(2+2+2A)e-Ae(kx+ky+kz)=-Ake2r¶x¶y¶zrrr2ikgrÑE+Ake=02即有 ®rrkirgr2rÑE+kE=02可见，如果k解。 2=wme2，则rEAe就是波动方程的 因为该齐次波动方程是麦克斯韦方程rr0的条件下导出的，所以E作为麦在代入ÑgE克斯韦方程的解的条件是： rÑgE021 解：已知所给的场存在于无源介质中，场存在的条件是满足麦克斯韦方程组。 由 rr¶BÑ´E=-¶t 得 rexr¶Ñ´E=¶xExrey¶¶y0rez¶r¶Er¶Er¶E=(eyx-ezx)=eyx¶z¶z¶y¶z0所以 r¶Br¶Er=-eyx=-Embsin(wt-bz)ey¶t¶zrEmbrB=cos(wt-bz)ey积分得 由 wrrB=mH，可得 rEbrH=mcos(wt-bz)eymw根据 rrD=eE，可得 rÑgD=0rrrD=eE=eEmcos(wt-bz)ex对于无源电介质，应满足 ¶Dx¶Dy¶Dz+=0¶x¶y¶z 或 xx比较可知：D=D，但D又不是x的函数，故22 满足 rÑgD=0rÑgB=0同样可以证明：也可满足 ruur¶DÑ´H=¶t另外，还须满足另一旋度方程 rexuur¶Ñ´H=¶x0rey¶¶yHy因为 rez¶r¶Hyr¶Hyr¶Hy=(ez-ex)=-ex¶z¶x¶z¶z0rEmb2=-exsin(wt-bz)mw而r¶Dr=-ewEmsin(wt-bz)ex¶t=ewEm比较可知，当 b=±wemEmb2mw 即 b2=emw2® 时， 满足 ruur¶DÑ´H=¶t在这样的条件下，其它场量就能在所给定的介质中存在。 23