《复变函数论》第七章.docx

复变函数论第七章第七章 共形映射 前面我们借助于积分、级数等方法研究了解析函数，这一章将用几何的思想来讨论解析函数的性质和应用。 从几何上看：复变函数w=f(z)是从复平面z到复平面w之间上的一个映射。而解析函数所确定的映射是具有一些重要的性质。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。 第一节 解析变换的特征 首先，讨论一般解析变换的一些性质： 定理7.1 设w=f(z)在区域D内解析且不恒为常数，则D的像G=f(D)也是一个区域。 证明：首先证明G是一个开集。设w0ÎG，则有z0ÎD使得w0=f(z0)。 由解析函数零点的孤立性，存在以z0为心的某个圆周C，使得C及C的内部全包含在D内，除z0外，在C及C的内部，f(z)-w0都不为零， 故存在d>0, 在C上|f(z)-w0|³d. 对于满足|w-w0|<d的w，在C上，有|f(z)-w0|³d>|w-w0|. 由Rouche定理，在C的内部，f(z)-w=f(z)-w0+w0-w和f(z)-w0在C内有相同个数的零点，即w0的邻域|w-w0|<d包含在D内。由于f(z)是连续的，所以G显然是连通的。 下面研究单叶解析函数的映射性质。我们知道：设函数w=f(z)在区域D内解析，并且在任意两不同点，函数所取的值都不同，则称它为区域D上的单叶解析函数，简称即为单叶函数。 利用证明定理7.1的方法，我们可以得到： 引理7.1 设函数f(z)在z0点解析，且z0为f(z)-w0的p阶零点，则对充分小的正数r，存在着一个正数m，使得当0<|w-w0|<m时，f(z)-w在0<|z-z0|<r内有p个一阶零点。 例1、函数w=z+a及w=bz，是z平面上的单叶解析函数，它们把z平面映射成w平面，。 例2、w=ez在每个带形 a<Imz<a+2p, 内单叶解析，并且把这个带形映射成w平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，其中a是任意实常数。 推论1、设函数f(z)在区域D内单叶解析，那么在D内任一点，f'(z)¹0. 证明：假定z0ÎD,f'(z0)=0,由引理7.1，得出与单叶相矛盾得结论。 上述推论的逆命题不成立，例如w=e的导数在z平面上不为零，而该函数在整个z平面上不是单叶的。利用引理7.1，我们有 推论2 设函数w=f(z)在z=z0解析，并且f'(z0)¹0，那么f(z)在z0的某邻域内是单叶的。 如果w=f(z)在区域D内单叶解析，根据定理7.1，它把区域Dz双射到区域G=f(D). f(z)在G内所确定的函数为z=j(w). 并且有 定理7.6 设函数f(z)在区域D内单叶解析，并且G=f(D)，那么w=f(z)在G内所确定的函数z=j(w)是单叶的，并且如果w0ÎG,z0=j(w0)，那么 j'(w0)=1. f'(z0)证明：任给e>0，选取引理7.1中的正数r及m，使得r<e，那么，当|w-w0|<m时，|j(w)-j(w0)|<r<e，因此z=j(w)在G内任一点连续。 下面证明导数公式成立。当wÎG，并且z=j(w)时，我们有zÎD,z¹z0。于是 j(w)-j(w0)w-w0=z-z0w-w0=1, w-w0z-z0因为当w®w0时，z=j(w)®z0=j(z0)，所以 w®w0limj(w)-j(w0)w-w0æw-w0ö÷=1ç=1çlim÷z®zz-z0øè0æf(z)-f(z0)ö1ç÷=, çlim÷z®zz-z0èøf'(z0)0即定理的结论成立。 设函数w=f(z)是区域D内的解析函数. 设z0ÎD,w0=f(z0), f'(z0)¹0. 考虑在过z0的一条简单光滑曲线C： z=z(t)=x(t)+iy(t)(a£t£b), 其中x(t)及y(t)是z(t)的实部和虚部. 设z(t0)=z0(t0Îa,b)。 由于 dz=z'(t)=x'(t)+iy'(t), dt曲线C在z=z0的切线与实轴的夹角是z'(t0)的幅角Argz'(t0). 实际上，作从曲线C上之点z0=z(t0)到z1=z(t1)的割线，由于割线的方向z1-z0z1-z0z1-z0与向量的方向一致，则向量与实轴的夹角为arg，t1-t0t1-t0t1-t0由于C是光滑曲线，那么当t1趋近于t0时，割线确有极限位置，即为曲线C在z=z0的切线的位置。故极限 limt®t10z1-z0=z'(t0)¹0, t1-t0存在。因此下列极限也存在： z1-z0limarg=argz'(t0), t®tt1-t010它就是曲线C在z0=z(t0)处切线与实轴之间的夹角。 由于dw=f'(z(t0)z'(t0)，函数w=f(z)把简单光滑曲线C映射成过dtw0=f(z0)的一条光滑曲线G：w=f(z(t)(a£t£b), 它在w0的切线与实轴之间的夹角是 argf'(z(t0)z'(t0)=argf'(z(t0)+argz'(t0), 因此，G在w0处的切线与实轴的夹角及C在z0处的切线与实轴之间的yCz0+Dzvw0Gw0+Dwqq0z0xjj0u夹角相差argf'(z0)，而这一数值与曲线C的形状及在z0处切线的方向无关，因此，称其为旋转角。 设在D内过z0还有一条简单光滑曲线C1:z=z1(t)，函数w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线G1:w=f(z1(t)。和上面一样，C1与G1在z0及w0处切线与实轴的夹角分别是argz1'(t0)及 argf'(z1(t0)z1'(t0)=argf'(z1(t0)+argz1'(t0), 所以，在w0处曲线G到曲线G1的夹角恰好等于在z0处曲线C到曲线C1的夹角： argf'(z1(t0)z1'(t0)-argf'(z(t0)z'(t0)=argz1'(t0)-argz'(t0), 特别，把单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性。 yC'CvG1G面zw00说j1-j0qq1-q0q1j明0x0ju1解析函数模的几何意义。根据假设，我们有 |f'(z|f(z)-f(z0)|0)|=limz®z, 0|z-z0|由于|f'(z0)|是比值|f(z)-f(z0)|z-z的极限，它可以近似地表示这种比0|值。在w=f(z)所作映射下，|z-z0|及|f(z)-f(z0)|分别表示z平面下上向量z-z0及w平面上向量f(z)-f(z0)的长度，这里向量z-z0及当较小|z-z0|时，|f'(z0)|近f(z)-f(z0)的起点分别取在z0及f(z0)。似地表示通过映射后，|f(z)-f(z0)|对|z-z0|的伸缩倍数，而且这一倍数与向量z-z0的方向无关。把|f'(z0)|称为f(z)在点z0的伸缩率。 现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义。设w=f(z)是在区域D内解析的函数，z0ÎD,w0=f(z0),z0ÎD,f'(z0)¹0，那么w=f(z)把z0的一个邻域内任一小三角形映射成w平面上含w0的一个区域内的曲边三角形。这两个三角形的对应角相等，对应边近似成比例。因此这两个三角形近似地是相似形。此外，w=f(z)还把z平面上半径充分小的圆|z-z0|=r近似地映射成圆 |w-w0|=|f'(z0)|r(0<r<+¥), 定义7.1如函数w=f(z)在点z0的某邻域内有定义，且在点z0处具有：伸缩率不变性， 过z0的任意两曲线的夹角在变换w=f(z)下，既保持大小，又保持方向， 则称函数w=f(z)在点z0是保角的，或称w=f(z)是在点z0的保角变换。如果w=f(z)在区域D内处处保角的，则称w=f(z)在区域D是保角的，或称w=f(z)是在区域D内的保角变换。 由上面的讨论，我们有 定理7.4 如函数w=f(z)是区域D内的解析函数. 则它在导数不为零的点处是保角的。 定义7.2如函数w=f(z)在区域D内是单叶且保角的，则称变换w=f(z)在区域D内是共形的，也称它为区域D内的共形映射。 对于单叶解析函数，我们得到： 推论7.5如函数w=f(z)在区域D内单叶解析函数的. 则它在区域D内是保角的。 第二节 分式线性变换 分式线性函数是指下列形状的函数： w=L(z)=az+b, cz+d其中a,b,c,d是复常数，而且ad-bc¹0。 条件ad-bc¹0是必要的，否则变换L(z)恒为常数。当c=0时，称它为整线性函数。 分式线性函数的反函数为 -dw+bz=, cw-a也是分式线性函数，其中(-d)(-a)-bc¹0。 当c=0时，所定义的分式线性变换是把z平面双射到w平面。 为了以后讨论方便，把分式线性变换的定义域推广到扩充复平d面C¥上。当c=0时，在z=¥处定义w=¥；当c¹0时，在z=-,z=¥ca处分别定义为w=¥,w=；这样分式线性变换可看成C¥到C¥的一个c双射。 一般分式线性变换是由下列四种简单变换函数叠合而得，如把z及w看作同一个复平面上的点，且有 、w=z+a确定了一个平移； 、w=eiqz确定一个旋转； 、w=rz确定一个以原点为相似中心的相似映射； 、w=是由映射z1=及关于实轴的对称映射w=z1复合而成的。 事实上，我们有： 1z1zw=w=az+bab=(z+) (c=0), ddaaz+babc-ad1=+ (c¹0). cz+dcccz+d例7.4 试证：除恒等变换外，一切分式线性变换都有两个不动点。 证明：分式线性变换都有不动点一定满足方程 az+bz= cz+d即 cz2+(d-a)z-b=0 如c¹0，显然上面的方程有两个根。 当c=0，则d¹0，方程变为(d-a)z-b=0。进一步，如a¹d,有同时可以看到：变换把z=¥映射成w=¥；如a=d, 则z=b/(d-a)，b¹0， z=¥为二重不动点。 接下来，讨论分式线性变换的映射性质。 平移、旋转及以原点为相似中心的相似映射都是保角的，且在扩充复平面上是单叶的，从上面讨论知道：仅需考察w=1/z的共形性质。 如果z¹0,¥，则 dw1=-2¹0 dzz这时，反演变换是保角的。在z=0,¥处，先给出： 定义7.3 二曲线在无穷远点处的交角为a，如果这两条曲线在反演变换下的像曲线在原点处的交角是a. 由该定义知道：反演变换在z=0及z=¥处是保角的。所以我们得到： 定理7.7 分式线性变换在扩充复平面上是共形的。 定义7.4 扩充复平面上有顺序的四个相异点z1,z2,z3,z4构成的量 (z1,z2z3,z4)=z4-z1z3-z1:z4-z2z3-z2称为交比。 定理7.8 在分式线性变换下，四个点的交比不变。即分式线性函数把扩充 z平面上任意不同四点z1,z2,z3,z4分别映射成扩充 w平面上四点w1,w2,w3,w4，那么 (z1,z2,z3,z4)=(w1,w2,w3,w4). 证明：设 wi=azi+b,i=1,2,3,4, czi+d则 wi-wj=(azi+b)(czj+d)-(azj+b)(czi+d)(czi+d)(czj+d)=(zi-zj)(ad-bc)(czi+d)(czj+d)故定理成立。 定理7.9 设分式线性变换将扩充 z平面上三个不同的点z1,z2,z3指定变为扩充 w平面上三个点w1,w2,w3，则此分式线性变换能被唯一确定，并且可以写成 (z,z1,z2,z3)=(w,w1,w2,w3). 规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。 定理7.10 在扩充复平面上，分式线性变换把圆映射成圆。 证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及1w=型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射z1成圆，所以只用证明映射w=也把圆映射为圆即可。 z在圆的方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0, 中，代入 x2+y2=zz,x=则得圆的复数表示： z+zz-z,y=, 22iazz+bz+bz+d=0, 1其中a, b ,c, d是实常数，b=(b+ic)是复常数。 2函数w=把圆映射成为 1zdww+bw+bw+a=0, 即w平面的圆。 设分式线性变换把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的圆C'。于是，C及C'把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域，D1,D2及D1',D2'，其边界分别是C及C'。则此分式线性变换把D1映射成D1',D2'之中的一个区域，但是，D1的像是D1'还是D2'？我们可以通过检验D1中某一个点的像来决定。 进一步，我们看到：扩充 z平面上任何圆，可以用一个分式线性变换把它映射成扩充 w平面上任何圆。 事实上，设C是z平面上的一个圆，C'是w平面上的一个圆，在C和C'上分别取三个不同的点z1,z2,z3和w1,w2,w3，由定理7.10，存在一个分式线性变换，把z1,z2,z3映射成w1,w2,w3，从而把圆C映射成圆C'。 定义7.5 给定圆C:|z-z0|=R(0<R<+¥)，如果两个有限点z1及z2在过z0的同一射线上，并且 |z1-z0|z2-z0|=R2， 那么我们说z1及z2是关于圆C的对称点。 容易得到：z1及z2是关于圆C:|z-z0|=R(0<R<+¥)的对称的充要条件是 R2z2-z0=. z1-z0注解1、圆C上的点是它本身关于圆C的对称点. 注解2、规定z0及¥是关于圆C的对称点. 定理7.11 不同两点z1及z2是关于圆C的对称点的必要与充分条件是：通过z1及z2的任何圆与圆C直交. 证明：如果C是直线；或者C是半径为有限的圆，z1及z2之中有一个是无穷远点，则结论显然. 现在考虑圆C为|z-z0|=R(0<R<+¥)，而z1及z2都是有限的情形. 设z1及z2关于圆C的对称，那么通过z1及z2的直线显然和圆C直交。作过z1及z2的任何圆C'。过z0作圆C'的切线，设其切点是z'。于是 |z'-z0|2=|z1-z0|z2-z0|=R2， 从而|z'-z0|=R。这说明z'ÎC，而上述C'的切线恰好是圆C的半径，因此C与C'直交。 过z1及z2作一个圆C'，与C交于一点z'。由于圆C与C'直交，C'在z'的切线通过圆C的心z0。显然，z1及z2在这切线的同一侧。又过z1及z2作一直线L，由于L与C直交，它通过圆心z0.于是z1及z2在通过z0的一条射线上。我们有 |z1-z0|z2-z0|=R2 因此，z1及z2是关于圆C的对称点。 定理7.12 如果分式线性变换把 z平面上圆C映射成 w平面上的圆C'，那么它把关于圆C的对称点z1及z2映射成关于圆C'的对称点w1及w2。 证明：过w1及w2的任何圆是由过z1及z2的圆映射得来的。由定理7.11，过z1及z2的任何圆与圆C直交，从而由分式线性变换的保形性，过w1及w2的任何圆与圆C'直交。再利用定理7.11，w1及w2是关于圆C'的对称点。 例：考虑扩充w平面上的一个圆|w|=R。分式线性变换 z-z1w=， z-z2把z1及z2映射成关于圆|w|=R的对称点0及¥，把扩充z平面上的曲线 z-z1=R, z-z2映射成为圆w|=R。由定理7.11、7.12知，上式表示的一个圆，z1及z2是关于它对称点。 下面考察分式线性变换的一些应用。 (1) 把上半平面Im z>0保形映射成单位圆盘|w|<1的分式线性变换。 这种变换应当把Imz>0内某一点z0映射成w=0，并且把Im z=0映射成|w|=1。根据分式线性变换的性质，它应把关于实轴Imz=0的对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，因此，所求变换不仅把z0映射成w=0，而且把z0映射成w=¥。该变换可表为： w=lz-z0, z-z0其中l是一个复常数。如果z是实数，那么 z-z0|w|=|l|=|l|=1, z-z0于是l=eiq，其中q是一个实常数。因此所求的函数变换应是 w=eiqz-z0, z-z0由于z是实数时，|w|=1，因此它把直线Imz=0映射成圆|w|=1，从而把上半平面Imz>0映射成|w|<1或|w|>1，又因为当z=z0时，|w|=0<1，这个函数正是我们所要求的。 注解：1、圆盘|w|<1的直径是由通过z0及z0的圆在上半平面的弧映射成的； 2、以w=0为心的圆由以z0及z0为对称点的圆映射成的； 3、w=0是由z=z0映射成的。 (2)、把单位圆|z|<1保形映射成单位圆盘|w|<1的分式线性变换。 这种变换应当把 |z|<1内某一点z0映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不难看出，与z0关于圆 |z|=1的对称点是这种变换还应把1，和上面一样，z01映射成w=¥，因此所求的函数应是： z0w=lz-z0z-z0=l1, z-1/z01-zz0其中l,l1是一个复常数。其次，如果|z|=1时，那么 1-zz0=zz-z0z=z(z-z0), 于是 z-z0|w|=|l1|=|l1|=1, 1-zz0因此l1=eiq，其中q是一个实常数。所求的变换应是 w=eiqz-z0, 1-zz0由于当|z|=1时，|w|=1，因此它把圆|z|=1映射成圆|w|=1，从而把|z|<1映射成|w|<1或|w|>1，又因为当z=z0时，|w|=0，因此这个变换正是我们所要求的。 注解：1、圆盘|w|<1的直径是由通过z0及成的； 12、以w=0为心的圆由以z0及为对称点的圆映射成的； z01的圆在|z|<1内的弧映射z03、w=0是由z=z0映射成的。 在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域共形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。 例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Imz>0保形映射成上半平面。 解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数 w'=z+1， z-1把-1及+1分别映射成w'平面上的0及¥两点，于是把|z|=1及Imz=0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。 由于分式线性函数中的系数是实数，所以z平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z=0映射成w'=-1，半圆的直径AC映射成yDw'平CABxCB(-1)OA(0)CD(-1)A(0)B(1)OD(-i)Cz-平面w'-平面w-平面面上的负半实轴。 显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z=i映射成w'=i+1=-i，半圆ADC映射成w'平面上的下半虚轴。 i-1根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC的左方，因此它是第三象限p<argw'<p2。 最后作映射 w=w'2， 当w'在第三象限中变化时，argw'在2p及3p之间变化。因此w'平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面。 因此，所求单叶函数为： w=w'2=(z+12)。 z-1例2、求作一个单叶函数，把z平面上的带形0<Imz<p保形映射成w平面上的单位圆|w|<1。 解：函数 w'=ez， 把z平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。 ypii取w'1xOO-iOz-平面w'-平面w-平面平面上关于实轴的对称点-i及i，那么函数 w'-i, w=w'+i把的w'平面上的上半平面保形映射成w平面上的单位圆|w|<1。 因此，我们得到 ez-i. w=ze+i例3、求作一个单叶函数，把扩充z平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w平面上去掉割线-1£Rew£1,Imw=0而得的区域。 解：容易验证，分式线性函数 w'=w+1， w-1把割线-1£Rew£1,Imw=0保形映射成w'平面上的负实轴，把扩充w平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。 yOw'-平面xOO-11Cz-平面z-平面w-平面另一方面，分式线性函数 z=z+1， z-1把圆|z|=1保形映射成z平面上的 虚轴。由于它把z=2映射成z=3，可见它把扩充z平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成z平面上的右半平面。显然 w'=z2， 把z平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。 因此我们得到 w+1æz+1ö=ç÷ w-1èz-1ø2由此可得函数 11w=(z+) 2z即为所求函数。 例4、求作一个单叶函数，把z平面上半带域-p/2<x<p/2,y>0保形映射成w平面上的上半平面，并且使得f(±p/2)=±1,f(0)=0。 解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数 w'=eiz，