67 二重积分的概念与性质.docx

67 二重积分的概念与性质第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解 1利用二重积分定义证明：òòkf(x,y)ds=kòòf(x,y)ds。 DDn®0iii由二重积分定义åf(x,h)Dsòòf(x,y)ds=limlDi=1n，得 åkf(x,h)Dsòòkf(x,y)ds=limlD®0iii=1i=limkåf(xi,hi)Dsi l®0i=1n=klimåf(xi,hi)Dsi=kòòf(x,y)ds， l®0i=1nD证毕。 2利用二重积分的几何意义说明：kds=ks。 Dòò二重积分的几何意义，就是说，二重积分的柱体体积， 于是知，二重积分òòf(x,y)ds就是以z=f(x,y)为曲顶Dòòkds表示以平面z=k为顶的柱体体积， D而以平面z=k为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高z=k， 但该柱体的底面积就是积分区域D的面积s， 从而得，òòkds=ks。 D3利用二重积分的性质估计下列积分的值： òòxy(x+y)ds，其中积分区域D=(x,y)0£x£1,0£y£1； D由于区域D=(x,y)0£x£1,0£y£1，可知区域D的面积为而由于0£x£1，0£y£1，可得0£xy£1，0£x+y£2， 从而有0£xy(x+y)£2， 由二重积分性质6.7.5即得 òòds=1´1=1， Dòò0ds£òòxy(x+y)ds£òò2ds DDD亦即为 0£òòxy(x+y)ds£2。 Dòò(x+y+1)ds，其中积分区域D=(x,y)0£x£1,0£y£2； D由于区域D=(x,y)0£x£1,0£y£2，可知区域D的面积为 òòds=1´2=2，D 1 第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解 而由于0£x£1，0£y£2，可得0£x+y£3， 从而1£x+y+1£4， 由二重积分性质6.7.5即得 òò1ds£òò(x+y+1)ds£òò4ds DDD亦即为 2£òò(x+y+1)ds£4´2，整理得2£òò(x+y+1)ds£8。 DD22òò(xD2+4y2+9)ds，其中积分区域D=(x,y)x2+y2£4。 由于区域D=(x,y)x+y£4，可知区域D的面积为22222ds=p´2=4p， òòD下面求函数f(x,y)=x+4y+9在条件x+y£4下的最大、最小值， 亦即椭圆抛物面z=x+4y+9在圆柱x+y=4内部的最大、最小值， 易见x+4y³0，可知z=x+4y+9³9，当x=y=0时等号成立， 又可知，椭圆抛物面z=x+4y+9与圆柱x+y=4的交线，在椭圆簇的短轴上达到最高，亦即当x=0，y=±2时，函数f(x,y)=x+4y+9取得最大值，最大值为22222222222222f(0,±2)=0+4´4+9=25， 因此得，9£x+4y+9£25， 由二重积分性质6.7.5即得 22òò9ds£òò(xDD2+4y2+9)ds£òò25ds D亦即为 9´4p£整理得 36p£òò(x+y+1)ds£25´4p， DDòò(x+y+1)ds£100p。 34利用二重积分的性质比较下列积分的大小： òò(x+y)ds与òò(x+y)ds，其中积分区域D由x轴，y轴与直线x+y=1所围成。DD2积分区域D如图 2 第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解 由图可见，在区域D中，0£x+y£1，于是由于函数y=a是减函数，而知以x+y为底的指数函数是增函数，即由2<3有(x+y)>(x+y)， 于是，由二重积分性质6.7.4即得23xòò(x+y)ds>òò(x+y)ds。 DD232与ln(x+y)dsln(x+y)ds，其中D=(x,y)3£x£5,0£y£1。 òòòòDD积分区域D如图 由于在区域D中有3£x£5，0£y£1，可得3£x+y£6， 于是1=lne<ln3£ln(x+y)£ln6， 于是由于函数y=a是增函数，可知以ln(x+y)为底的指数函数是增函数， 即由1<2得ln(x+y)<ln(x+y)， 于是，由二重积分性质6.7.4即得5若。 òò1ds=1，则积分区域D可以是D2 ln(x+y)ds<ln(x+y)ds。òòòòDD2x由x轴，y轴与直线x+y=2所围成的区域； 由x=1，x=2及y=2，y=4所围成的区域； 由x=11，y=所围成的区域； 22由x+y=1，x-y=1所围成的区域。 应填“”。因为òò1ds=SDD=1，而下面各区域D的面积为： 由x轴，y轴与直线x+y=2所围成的区域如图 得SD=2´2=2¹1； 23 第6章 多元函数微积分 6.7 二重积分的概念与性质 习题解 由x=1，x=2及y=2，y=4所围成的区域如图 得SD=(2-1)(4-2)=2¹1； 由x=11，y=所围成的区域如图 22得SD=-(-)-(-)=1； 至此，可以终止判断了。事实上有： 由x+y=1，x-y=1所围成的区域如图 12121212得SD= 2´2=2¹1。 4