34 函数的单调性与曲线的凹凸性.docx

34 函数的单调性与曲线的凹凸性第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 1讨论函数f(x)=x-sinx在0,2p上的单调性。 因为f'(x)=1-cosx£0 p上恒成立f'(x)=1-cosx³0，而等号仅在x=0和由于cosx£1，得0,2x=2p两个孤立点上成立， 可知，函数f(x)=x-sinx在0,2p上单调增加。 因为f'(x)=1-cosx<0在(0,2p)上恒成立， 可知，函数f(x)=x-sinx在(0,2p)上单调增加，亦即在0,2p上单调增加。 2求下列函数的单调区间： y=2x-9x+12x-3； 函数y=2x-9x+12x-3的定义域为(-¥,+¥)， 由于y'=6x-18x+12=6(x-2)(x-1)，得函数有两个驻点x=2和x=1，无不可导点， 23232x-2 - - + x-1 - + + ®作图表分析： ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ 1 2 y' + - + y g g g 1,2)可知，函数y=2x-9x+12x-3分别在(-¥,1)和(2,+¥)内单调增加，在(单调减少。 32 g g 内332x； 2332x的定义域为(-¥,+¥)， 函数y=x-2y=x-1=由于y'=1-3x3x-13x，得函数有一个驻点x=1和一个不可导点x=1， 1 第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 33x - + + x-1 - - + g g 作图表分析： ¾¾¾¾¾¾¾¾¾® 0 1 y' + - + y g g g 可知，函数y=x-332x分别在和(1,+¥)，在(0,1)内单调减少。 2y=x-3x； 函数y=x-3x的定义域为(-¥,+¥)， 由于y'=3x-3=3(x-1)(x+1)，得函数有两个驻点x=1和x=-1，无不可导点， 233x-1 - - + x+1 - + + 作图表分析： ¾¾¾¾¾¾¾¾¾® -1 1 g g y' + - + y g g g 可知，函数y=x-3x分别在(-¥,-1)和(1,+¥)内单调增加，在(-1,1)内单调减少。 y=x-ln(x+1)； 函数y=x-ln(x+1)的定义域为(-1,+¥)， 223由于y'=2x-1=x+12(x-3-13+1)(x+)22，得函数在定义域(-1,+¥)上只有x+1一个驻点x=3-1，无不可导点， 2 2 第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 3-1 - + 23+1x+ + + 2 ´´´´´´´´´´´o´´´´´´o g ®作图表分析 ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ 3+13-1x- -2 -1 2y' - + y g g 可知，函数y=x-ln(x+1)在(-1,加。 y=xe； 函数y=xe的定义域为(-¥,+¥)， 由于y'=2xe可导点， 2x22x22x23-13-1,+¥)内单调增)内单调减少，在(22+x22e2x=2x(x+1)e2x，得函数有两个驻点x=0和x=-1，无不x - - + x+1 - + + ®作图表分析： ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ -1 0 y' + - + y g g g 可知，函数y=xe分别在(-¥,-1)和(0,+¥)内单调增加，在(-1,0)内单调减少。 y=(x-1)(x+1)。 函数y=(x-1)(x+1)的定义域为(-¥,+¥)， 由于y'=2(x-1)(x+1)+(x-1)3(x+1)=5(x-1)(x+1)(x-)，得函数有三个驻点x=±1，x=322232322x g g 2151，无不可导点， 5 3 第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 1x- - - + + 5(x+1)2 + + + + 作图表分析： x-1 - - - + ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®y' + + - + y g g g g g g g 1 -1 1 5因为x=-1是函数y=(x-1)(x+1)连续点，且是y'=0的孤立点， 可知，函数y=(x-1)(x+1)分别在(-¥,)，(1,+¥)内单调增加，在(,1)内单调减少。 3证明下列不等式： 2323151512x； 212令f(x)=ln(1+x)-(x-x)， 2当x>0时，ln(1+x)>x-x21>0当x>0时恒成立， -1+x=由于f'(x)=1+x1+x知函数f(x)=ln(1+x)-(x-而f(0)=ln(1+0)-(0-12x)在0,+¥)上单调增加， 212´0)=0， 2112x)>0，亦即ln(1+x)>x-x2。 22从而，当x>0时f(x)=ln(1+x)-(x-证毕。 1； x1令f(x)=2x-(3-)， x当x>1时，2x>3-由于f'(x)=11xx-1-2=>0当x>1时恒成立， x2xx知函数f(x)=2x-(3-)在1,+¥)上单调增加， 而f(1)=21-(3-)=0， 从而，当x>1时f(x)=2x-(3-)>0，亦即2x>3-证毕。 4 1x111x1。 x第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 当0<x<p2时，tanx>x+13x； 3令f(x)=tanx-(x+213x)， 32由于f'(x)=secx-(1+x)， f''(x)=2sec2xtanx-2x f'''(x)=2(2secx×secxtanx×tanx+sec2xsec2x)-2 =2(2sec4xsin2x+sec4x)-2 =4sec4x(2sin2x+1)-2 4³4(2sin2x+1)-2 - secx³ 1=8sin2x+2， 显见f'''(x)=8sinx+2>0恒成立， 知函数f''(x)=2secxtanx-2x在(0,而f''(0)=2sec0×tan0-2´0=0， 可知f''(x)>0当0<x<222p2)上单调增加，有f''(x)>f"(0)， 2p2时恒成立， 2由此知函数f'(x)=secx-(1+x)在(0,22p2)上单调增加，有f'(x)>f'(0)， 再因f'(0)=sec0-(1+0)=1-1=0， 再知f'(x)=secx-(1+x)>0当0<x<这说明函数f(x)=tanx-(x+22p2时恒成立，有f(x)>f(0)， 13px)在(0,)上单调增加， 323又再因f(0)=tan0-(0+´0)=0， 1313px)>0当0<x<时恒成立， 23p13亦即，当0<x<时，tanx>x+x，证毕。 23最终确定f(x)=tanx-(x+当x>0时，1+xln(x+1+x)>1+x。 令f(x)=1+xln(x+1+x)-1+x， 2222 5 第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 由于f'(x)=ln(x+1+x)+x×21x+1+x1x+1+x22(1+x1+x2)-x1+xx1+x22=ln(x+1+x)+x×=ln(x+1+x2) 而因f"(x)=2×1+x2+x1+x2-1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2>0 知函数f'(x)是增函数，即当x>0时，有f'(x)>f'(0)， 再因f'(0)=ln(0+1+0)=0， 可知当x>0时f'(x)>0恒成立， 从而知函数f(x)=1+xln(x+1+x)-1+x在0,+¥)上单调增加，即当x>0时，有f(x)>f(0)， 而f(0)=1+0-1+0=0， 从而，当x>0时f(x)=1+xln(x+1+x)-1+x>0， 亦即1+xln(x+1+x)>1+x。 证毕。 4证明方程x+x+1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根。 令f(x)=x+x+1， 则由于f'(x)=5x+1>0恒成立， 知函数f(x)=x+x+1是增函数， 因为f(-1)=(-1)-1+1=-1<0，f(0)=0+0+1=1>0， 可知曲线f(x)=x+x+1在区间(-1,0)内，从-1单调增加到+1，亦即曲线在区间(-1,0)内仅穿过x轴一次， 亦即，方程x+x+1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根。 6 5554522222222555第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 5求下列函数的凹凸区间以及拐点： y=3x-4x+1； 函数y=3x-4x+1的定义域为(-¥,+¥)， 由y'=12x-12x， 得y''=36x-24x=36x(x-)，知函数有两个二阶导数的零点x=0和x=无二阶不可导点， 2324343232，3x - + + 2x- - - + 3 g g ®作图表分析： ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ 2 0 3y'' + - + y Ú Ù Ú 可知，曲线y=3x-4x+1分别在(-¥,0)和(,+¥)内是凹的，在(0,)内是凸的， 43232311， 2721143又知曲线y=3x-4x+1有两个拐点(0,1)和(,)。 3272243可知，曲线y=3x-4x+1分别在(-¥,0)和(,+¥)内是凹的，在(0,)内是凸33由于y(0)=1，y=3´-4´+1=43232323的， 函数y=4-3x-9=4-(x-9)的定义域为(-¥,+¥)， 1325-12由y'=-(x-9)3，得y''=(x-9)3，知函数无二阶导数的零点，有一个二阶39不可导点x=9， 易见，当x<9时，y''<0，当x>9时，y''>0， 可知，曲线y=4-3x-9在(-¥,9)上是凸的，在(9,+¥)上是凹的， 由于y(9)=4-39-9=4， 又知曲线y=4-3x-9有一个拐点(9,4)。 y=xe； 7 x第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 函数y=xe的定义域为(-¥,+¥)， 由y'=(x+1)e，得y'=(x+2)e，知函数有一个二阶导数的零点x=-2，无二阶不可导点， 易见，当x<-2时，y''<0，当x>-2时，y''>0， 可知，曲线y=xe在(-¥,-2)上是凸的，在(-2,+¥)上是凹的， 由于y(-2)=-2e，又知曲线y=xe有一个拐点(-2,-2e)。 y=x-ln(1+x)； 函数y=x-ln(1+x)的定义域为(-1,+¥)， -2xxxxx-2由y'=1-的，无拐点。 y=x11=，得y"=>0恒成立，知曲线y=x-ln(1+x)是凹(1+x)21+x1+x2x； 1+x22x的定义域为(-¥,+¥)， 21+x函数y=(1+x2)-x×2x1-x2=2由y'=2， (1+x2)2(1+x2)2-2x(1+x2)2-(1-x2)2(1+x2)2x4x(x-3)(x+3)=得y"=2， (1+x2)3(1+x2)4知函数有三个二阶导数的零点x=0，x=±3，无二阶不可导点， x - - + + x-3 - - - + 作图表分析： x+3 - + + + g g g¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾® -3 0 3 y'' - + - + y Ù Ú Ù Ú 可知，曲线y=2x分别在(-¥,-3)和(0,3)上是凸的，分别在(-3,0)和1+x2(3,+¥)上是凹的， 8 第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 由于y(0)=3±232´0=±y(±3)=， =0221+31+0又知曲线y=y=earctanx332x(3,)。 (-3,-)有三个拐点，和(0,0)221+x2。 arctanx函数y=e由y'=e的定义域为(-¥,+¥)， arctanx1， 21+xearctanx1-2xarctanx=(1-2x)， +e(1+x2)2(1+x2)2(1+x2)2得y''=earctanx1，无二阶不可导点， 211易见，当x<时，y''>0，当x>时，y''<0， 2211arctanx可知，曲线y=e在(-¥,)上是凹的，在(,+¥)上是凸的， 22知函数有一个二阶导数的零点x=1arctan11arctan122)。 由于y=e，知曲线的拐点是(,e226利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式： 1nx+yn(x+yn)> 22n研究函数f(x)=x， 由于f'(x)=nxn-1，f''(x)=n(n-1)xn-2， 当x>0时，f''(x)>0恒成立， 可知曲线f(x)=x在(0,+¥)上是凹的， 即由曲线凹凸定义，凹曲线f(x)=x在(0,+¥)上的任意相异两点x，y，恒有 nnf(x+yf(x)+f(y)<， 22x+ynxn+yn)<亦即 (， 22即为 1nx+yn(x+yn)>成立， 229 第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 证毕。 cosx+ycosx+cosypp。 >2222研究函数f(x)=cosx， 由于f'(x)=-sinx，f''(x)=-cosx， 当-p2<x<p2时，f''(x)<0恒成立， 可知曲线f(x)=cosx在(-pp,)内是凸的， 22即由曲线凹凸定义，凸曲线f(x)=cosx在(-恒有 f(pp,)上的任意相异两点x，y，22x+yf(x)+f(y)， )>22x+ycosx+cosy亦即 cos， >22x+ycosx+cosypp即为 cos成立， >2222证毕。 7.问a及b为何值时，点(1,1)为曲线y=ax+blnx的拐点？ 函数y=ax+blnx的定义域为(0,+¥)， 33bb6ax3-b由于y'=3ax+，y''=6ax-2=， 2xxx2得函数有一个二阶导数零点x=3b，无二阶不可导点， 6a3于是，要使点(1,1)为曲线y=ax+blnx的拐点，利用拐点定义，以及拐点是曲线ìb=1ìa=1ï3上的点的要求，应使í6a，亦即í。 îb=6ï1=a´13+bln1î8试确定曲线y=ax+bx+cx+d中的a，b，c，d，使得在x=-2处曲线有水平切线，(1,-10)为拐点，且点(-2,44)在曲线上 函数y=ax+bx+cx+d的定义域为(-¥,+¥)， 由于y'=3ax+2bx+c，y''=6ax+2b， 10 23232第3章 中值定理与导数的应用 34 函数的单调性与曲线的凹凸性 习题解 要使曲线在x=-2处有水平切线，应使y'=3a(-2)+2b(-2)+c=0， 要使曲线以(1,-10)为拐点，应使y''=6a´1+2b=0且y=a+b+c+d=-10， 要使点(-2,44)在曲线上，应使y=a(-2)+b(-2)+c(-2)+d=44， 322ì3a(-2)2+2b(-2)+c=0ì12a-4b+c=0ïï3a+b=0ïï6a´1+2b=0联立方程组í即为í， ïa+b+c+d=-10ïîa(-2)3+b(-2)2+c(-2)+d=44解得a=1，b=-3，c=-24，d=16。 11 ïa+b+c+d=-10ïî-8a+4b-2c+d=44