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23个经典的不等式专题23个经典的不等式专题 例1. 证明：1+122+132+.+1n2<2； 例2. 若：a3+b3=2，求证：a+b£2 ； 例3. 若：nÎN+，求证：1111£+.+<1； 2n+1n+22n例4. 若：a,b>0，且ab=a+b+3，求：a+b的取值范围 ； 例5. 若：a,b,c是DABC的三边，求证：例6. 当n³2时，求证：例7. 若xÎR，求y=例8. 求函数y=abc+> ； 1+a1+b1+c111111-<2+2+.+2<1- ； 2n+12n3nx2+x+1-x2-x+1的值域 ； 3sinq的最大值和最小值 ； 2-cosq2229+> ； a+bb+cc+aa+b+c例9. 若a,b,c>0，求证：例10.若a,b,cÎR，且a2+b2+c2=25，试求：a-2b+2c的取值范围； 例11.若a,b,cÎR，且2a-b-2c=6，求a2+b2+c2的最小值； (a-1)2(b+2)2(c-3)2例12.若a,b,cÎR，且+=1，求a+b+c的最大值和最小值； 1654例13.若a,b,c>0，x,y,z>0，且满足a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36， ax+by+cz=30，求：a+b+c的值； x+y+z例14.求证：ån12k=1k<5 ； 31例15.当n³2时，求证：2<(1+)n<3； n例16.求证：11×31×3×51×3×5×.×(2n-1)+.+<2n+1 ； 22×42×4×62×4×6×.×(2n)12+13+.+1n<2(2n+1-1) ； 例17.求证：2(n+1-1)<1+例18.已知：x>0,求证：x<ln(1+x)<x ； 1+x例19.已知：nÎN+，求证：11111+.+<ln(1+n)<1+.+ ； 23n+12n例20.已知：n³2，求证：2n>n(n-1) ； 例21.已知：nÎN+，求证：1+111n+.+n> ； 232-12例22.设：Sn=1×2+2×3+.+n(n+1)，求证：n(n+1)<2Sn<(n+1)2 ； 例23.已知：nÎN+，求证：1<111+.+<2 . n+1n+23n+123个经典的不等式专题解析(修正版) 例1. 证明：1+证明 放缩法 n11ù1öé1æ=1+åê-ú=1+ç1-÷<2. å2=1+å2<1+ånøèk=1kk=2kk=2k(k-1)k=2ëk-1kûn122+132+.+1n2<2 ； 1n1n从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 此法称为“放缩法”. 积分法 构建函数：f(x)=1，则f(x)在xÎR+区间为单调递减函数. x2n于是：å12k=1k=1+k=2åk2<1+ò1n1n1111dx=1-=1-(-)=2-<2 2xn1nx11n从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为1,n； 积分项小于求和项时，积分限为2,n+1. 此法称为“积分法”. 加强版 求证：112+122+.+1n2<7 4证明 放缩法 112+122+.+1n2<112+12-12+13-12+.+1n-12=1+1éæ11öæ11ö1öùæ1-+-+.+-ç2-12+1÷ç3-13+1÷çn-1n+1÷ú 2êøèøèøûëè1éæ11öæ11öù +-+ç÷ç÷êú2ëè2-13-1øènn+1øû=1+1æ11ö <1+ç+÷2è2-13-1ø1æ1ö37=1+ç1+÷=1+= 2è2ø44数学上，这种数列求和Sn叫n阶级数；当n®¥时，Sn叫无穷级数，简称级数. 例2. 若：a3+b3=2，求证：a+b£2 证明 公式法 a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)³ab(a+b)，即：ab(a+b)£2 则：3ab(a+b)£6，a3+b3+3ab(a+b)£8，即：(a+b)3£8，即：a+b£2. 立方和公式以及均值不等式配合. 此法称为立方和的“公式法”. 琴生不等式 构建函数：f(x)=x3，则在在xÎR+区间为单调递增函数，且是下凸函数. 对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值. 即：f(x1)+f(x2)+.+f(xn)nx1+x2+.+xn³f n33+b3f(a)+f(b)a+baa+bæö对于本题：³f 即：³ç÷ 2222èø3a3+b32a+bæa+bö即：ç，即：£1，即：a+b£2 £=1÷2222èø琴生不等式可秒此题. 此法称为“琴生不等式”. 权方和不等式 若 anm+1(a1+.+an)m+1a1m+1+.+³则：mmm b1bn(b1+.+bn)已知：a+b=2，即：33a3(2)2+b3(2)2=1 采用权方和不等式：a3(2)2+b3(2)2³(a+b)3(2+2)2=(a+b)323即：1³(a+b)323，即：a+b£2. 此法称为“权方和不等式”. 幂均不等式 æa1r+a2r+.+an由于幂均函数Mr(a)=ç随r单调递增而得到幂均不等式： ÷ç÷nèøa+b£çç2è1æa3+b3ö31rörM1(a)£M3(a)，即：1ö32 ÷÷ø即：a+bæa+bæ£ç=ç÷=1，即：a+b£2. ÷ç2÷è2ø2èø3312ö3此法称为“幂均不等式”. 例3. 若：nÎN+，求证：解析 放缩法 由：n+n³n+k>n (k=1,2,.,n)得：n1111£+.+<1 2n+1n+22n111£< ， 2nn+knnn111n111n£å<å， 即： £+.+< 则：å2nn+1n+2n+nnk=12nk=1n+kk=1n故：1111£+.+<1 . 2n+1n+22n从一开始就放缩，然后求和. 此法称为“放缩法”. 性质法 本题也可以采用不等式性质证明. 所证不等式中的任何一项如第k项，均满足111£<，当有n项累加时， 2nn+kn不等式两个边界项乘以n倍，则不等式依然成立. 即：大于最小值得n倍，小于最大值的n倍. 111+.+另外，的最大值是ln2»0.693147.，本题有些松. n+1n+22n例4.若：a,b>0，且ab=a+b+3，求：a+b的取值范围 ； 解析 解析法 (a+b)2=a2+b2+2ab³4ab=4(a+b+3)=4(a+b)+12， 令：t=a+b，则上式为：t2-4t-12³0，即： (t-6)(t+2)³0 故：t³6或t£-2. 本题采用了均值不等式和二次不等式. 基本不等式 由ab=a+b+3得：ab-a-b+1=4，即：(a-1)(b-1)=4. 两正数之积为定值时，两数相等时其和最小. 故：当(a-1)=(b-1)=2时，(a-1)+(b-1)为最小值. 即：(a-1)+(b-1)³2+2=4，即：a+b³6. 拉格朗日乘数法 拉格朗日函数为：L(a,b)=a+b+l(ab-a-b-3) 当拉氏函数取极值时，即：l=-¶L¶L=1+l(b-1)=0；=1+l(a-1)=0 ¶a¶b11=-，即：b=a b-1a-1则L(a,b)取极值时，b=a，代入ab=a+b+3得：a2=2a+3 即：a2-2a-3=0，即：(a-3)(a+1)=0，即：a=3 故：L(a,b)取极值时，b=a=3，则：a+b=6 由于当a=2时，代入ab=a+b+3得：2b=b+5，即：b=5 此时，a+b=2+5=7>6. 则a+b=6为最小值，故：a+b³6. 此法称为“拉格朗日乘数法” 例5. 若：a,b,c是DABC的三边，求证：证明 abc+> 1+a1+b1+c 单调性法 构造函数f(x)=x，则在x>0时，f(x)为单调递增函数. 1+x所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a+b>c 那么，对于增函数有：f(a+b)>f(c)，即：由放缩法得： aabb>>， 1+a1+a+b1+b1+a+ba+bc> 1+a+b1+c由上式及式得： ababa+bc+>+=>. 1+a1+b1+a+b1+a+b1+a+b1+c构造函数，利用函数单调性，此法称为“单调性法”. 对于两边之和大于第三边的式子，其实是“设限法”或“设界法”. 例6. 当n³2时，求证：证明 放缩法 当n³2时，n-1<n<n+1， 都扩大n倍得：n(n-1)<n2<n(n+1)，取倒数得：111， >2>n(n-1)nn(n+1)111111-<2+2+.+2<1- 2n+12n3nnnn1111111111-)>å2>å(-)， ->2>-裂项：，求和：å(k-1kkk+1n-1nnnn+1k=2k=2kk=2即： 1-111111>2+2+.+2>- . 先放缩，裂项求和，再放缩. n22n+13nB 此法为“放缩法”. 积分法 构建函数：f(x)=递减函数. 由面积关系得到：SABDE>SAGDE>SAEFC 1kk+11dx dx>f(k)>òk-1òk2xx21x2，则f(x)在xÎR+区间为单调G O D A H C F E kk+1111即：-，即：1-1>1>1-1 >2>-k-1kk2kk+1xk-1kxk本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式. 后面的证法同. 此法称为“积分法” 加强版 由第1题的求证：112+122+.+1n2<7111131-可得：2+.+2<- 4nn+14n2n故加强版为：当n³2时，求证：例7. 若xÎR，求y=解析 向量法 y=1111131-<2+2+.+2<-. 2n+124n3nx2+x+1-x2-x+1的值域. 1ö31ö3ææx+x+1-x-x+1=çx+÷+-çx-÷+ 2ø42ø4èè2222uurr1313设：m=(x+,)，n=(x-,)， 222222uurruurr1ö31ö3ææ则：m=çx+÷+，n=çx-÷+，m-n=(1,0) 2ø42ø4èèuurruurruurruurr代入向量不等式：m-n£m-n得：y=m-n£m-n=1，故：-1£y£1. uurr当且仅当m/n时，不等式的等号成立. uurr因为m与n不平行，故：-1<y<1. 这回用绝对值不等式. 此法称为“向量法”. 极值法 求函数y=x2+x+1-x2-x+1的极值，从而得到不等式. 极值时导数为0：y'=则：x=±¥，故函数y=2x+12x+x+12-2x-12x-x+12=0 x2+x+1-x2-x+1的极值出现在x=±¥. 函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在xÎ0,+¥). y=x+x+1-x-x+1=22(x2+x+1-x2-x+1)(x2+x+1+x2-x+1)x+x+1+x-x+122=(x2+x+1)-(x2-x+1)x+x+1+x-x+122=2xx+x+1+x-x+122=1+21111+2+1-+2xxxxym=lim(x®+¥21+1111+2+1-+2xxxx)=1 由于是奇函数，故在xÎ(-¥,0)， y=x2+x+1-x2-x+1=-2xx+x+1+x-x+122=-1+21111+2+1-+2xxxxym=lim(-x®-¥21+1111+2+1-+2xxxx)=-1 故：yÎ(-1,1). 此法称为“极值法”. 例8.求函数y=解析 斜率法 将函数稍作变形为：y=33sinq的最大值和最小值 ； 2-cosqy-yN0-(-sinq) ， =3M2-cosqxM-xN设点M(xM,yM)，点N(xN,yN)，则M(2,0)，N(cosq,-sinq)，而点N在单位圆上，yk就N 是一条直线的斜率，是过点M和圆上点N直线斜率的3倍，关键是直线过圆上的N点. 斜率yk的范围为：-tan30,tan30 即：ykÎ-33, 33ooM 而y是yk的3倍，即：y=3yk，故：-1£y£1 . 即：y的最大值是1，最小值是-1. 原本要计算一番，这用分析法，免计算了. 此法称为“斜率法”. 辅助角法 先变形：y=3sinq变形为：2y-ycosq=3sinq=3sinq+ycosq； 2-cosq利用辅助角公式得： 2y=3+y2(2y3+y233+y2sinq+y3+y2cosq)=3+y2sin(q+j)； 2y即：=sin(q+j)，即：-1£3+y2=sin(q+j)£1； 即：4y23+y2£1，即：4y2£3+y2，即：y2£1，即：-1£y£1 如果要计算，需要用到辅助角公式. 此法称为“辅助角法”. 例9. 若a,b,c>0，求证：证明 柯西不等式 由柯西不等式： 2229+> a+bb+cc+aa+b+cæa+b11öb+cc+aöæ1éù +×a+b+b+c+c+a³+)()()ûç÷ça+bb+cc+a÷ë(ç÷b+cc+aøèøèa+b211öæ12éù即：ç+×2a+b+c³3=9 ()()÷ëûèa+bb+cc+aø22ö9æ2即：ç +³÷èa+bb+cc+aø(a+b+c)此法称为“柯西不等式”. 排序不等式 首先将不等式变形：即：3+a+b+ca+b+ca+b+c9+³； a+bb+cc+a2cab3cab9+³. +³，即：a+bb+cc+a2a+bb+cc+a2由于对称性，不妨设：a³b³c，则：a+b³a+c³b+c； 即：111. ³³b+ca+ca+b由排序不等式得： 正序和正序和abcabc乱序和； +³+b+ca+ca+ba+ca+bb+cabcabc乱序和； +³+b+ca+ca+ba+bb+ca+cabcöa+bb+ca+c上两式相加得：2æ+çb+ca+ca+b÷³a+b+b+c+a+c=3 èø即：cab3+³ 证毕. a+bb+cc+a2此法称为“排序不等式”. 权方和不等式 权方和不等式：若 anm+1(a1+.+an)m+1a1m+1³则：m+.+ mb1bn(b1+.+bn)m采用权方和不等式得： 222(2)2(2)2(2)2 +=+a+bb+cc+aa+bb+cc+a(2+2+2)2(32)29 ³=(a+b)+(b+c)+(c+a)2(a+b+c)a+b+c此法称为“权方和不等式”. 例10.若a,b,cÎR，且a2+b2+c2=25，试求：a-2b+2c的取值范围. 解析 向量不等式 uurr设：m=(1,-2,2)，n=(a,b,c) uurr222则：m=1+(-2)+2=3，n=a2+b2+c2=25=5 uurrm×n=(1,-2,2)×(a,b,c)=a-2b+2c uurrm×n=3´5=15 uurruurr代入向量不等式m×n£mn得：a-2b+2c£15 即：-15£a-2b+2c£15 此法称为“向量不等式” 柯西不等式 由柯西不等式得：é12+(-2)+22ùa2+b2+c2³(a-2b+2c) êúëû即：9´25³(a-2b+2c)，故：a-2b+2c£15 所以：-15£a-2b+2c£15 此法称为“柯西不等式”. 拉格朗日乘数法 构建拉格朗日函数：L(a,b,c)=a-2b+2c+由函数在极值点的导数为0得： 122()2l(a2+b2+c2-25) l¶L2al=-2aa=-，则：，即：； =1+=02¶al¶L2b=-2+=0，则：l=b，即：b=l； ¶al¶L2b=2+=0，则：l=-c，即：c=-l. ¶al910代入a2+b2+c2=25得：l2=52，即：l=± 43极值点为：a=-l2=m51010，b=l=±，c=-l=m 333则：y=a-2b+2c=m15，即：-15£a-2b+2c£15 m此法称为“拉格朗日乘数法”，简称“拉氏乘数法”. 权方和不等式 由权方和不等式： a2(-2b)2(2c)2(a-2b+2c)2(a-2b+2c)2 5= a+b+c=+³=2144(1+4+4)32222即：9´25³(a-2b+2c)，即: -15£a-2b+2c£15 2a2(-2b)2(2c)2(a-2b+2c)2其中， +³144(1+4+4)就是“权方和不等式”，也称“柯西-苏瓦茨不等式(推论)”. 例11.若a,b,cÎR，且2a-b-2c=6，求a2+b2+c2的最小值. 解析 向量不等式 uurr设：m=(2,-1,-2)，n=(a,b,c)， uurruur2r2222222则：m=2+(-1)+(-2)=9；n=a+b+c；m×n=2a-b-2c； uurruurr代入向量不等式mn³m×n得： 9(a2+b2+c2)³(2a-b-2c)=36 2即：a2+b2+c2³4，故：a2+b2+c2最小值为4. 此法称为“向量法”. 柯西不等式 由柯西不等式： 22+(-1)2+(-2)2(a2+b2+c2)³(2a-b-2c)2 62=4 即：(a+b+c)³22292+(-1)+(-2)222(2a-b-2c)2故：a2+b2+c2最小值为4. 此法称为“柯西不等式”. 拉格朗日乘数法 构建拉氏函数：L(a,b,c)=a2+b2+c2+l(2a-b-2c-6) 在极值点的导数为0，即： ¶L=2a+2l=0，即：l=-a； ¶a¶L=2b-l=0，即：l=2b； ¶b¶L=2c-2l=0，即：l=c. ¶c代入2a-b-2c=6得：l=-则：a=24 3424，b=-，c=- 3332222236æ4öæ2öæ4ö故：a+b+c³ç÷+ç-÷+ç-÷=4 9è3øè3øè3ø求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下，就像第4(3)题. 本题a2+b2+c2最小值为4. 此法称为“拉格朗日乘数法”. 权方和不等式 由权方和不等式得： (2a)2(-b)2(2c)2(2a-b+2c)262a+b+c=+³=4 4144+1+49222即：a2+b2+c2³4，故：a2+b2+c2最小值为4. 此法称为“权方和不等式”. (a-1)2(b+2)2(c-3)2例12.若a,b,cÎR，且+=1，求a+b+c的最大值和最小值. 1654解析 柯西不等式 由柯西不等式： é24+êë(5)2222é2a-1b+2æööæc-3öù2ùæúéù +2úêç+³a-1+b+2+c-3()()()÷ç÷ç÷ëû4øè5øè2øúûêëèû2即：25´1³(a+b+c-2)；故：-5£(a+b+c-2)£5. 于是：-3£(a+b+c)£7. 此法称为“柯西不等式”. 三角换元法 (a-1)2(b+2)2(c-3)2有人说：+=1是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 1654它的三个半轴长分别为：A=4，B=5，C=2 设：x=a-1，y=b+2，z=c-3，则这个椭球的方程为： x2A2+y2B2+z2C2=1 现在来求a+b+c的最大值和最小值. 采用三角换元法： 令：x=Asinqcosj，y=Bsinqsinj，z=Ccosq 代入方程检验，可知它满足方程. 采用辅助角公式化简： f=x+y+z=Asinqcosj+Bsinqsinj+Ccosq =4sinqcosj+5sinqsinj+2cosq =42+5sinq(44+52cosj+54+52sinj)+2cosq =42+5sin(a+j)sinq+2cosq =21sin2(a+j)+2221sin(a+j)21sin(a+j)+222sinq+221sin(a+j)+222cosq =21sin2(a+j)+22sin(q+f) 故：f=x+y+z的峰值是： 当sin2(a+j)=1时，fm=21sin2(a+j)+22=21+22=5 即：-5£x+y+z£5 而x+y+z=a-1+b+2+c-3=a+b+c-2， 故：-5£a+b+c-2£5，即：-3£a+b+c£7. 此法称为“三角换元法”. 拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数为： é(a-1)2(b+2)2(c-3)2ùL(a,b,c)=a+b+c+lê+-1ú 54ë16û当拉式函数取极值时，有：¶L¶L¶L=0，=0，=0. 则： ¶a¶b¶c¶La-188=1+l×=0，即：l=-或a-1=-； ¶a8a-1l¶L2(b+2)55=1+l×=0，即：l=-或b+2=-； ¶b52l2(b+2)¶Lc-322=1+l×=0，即：l=-或c-3=-. ¶c2c-3l则：(a-1):(b+2):(c-3)=8:5:2=16:5:4 2设：a-1=16k，则：b+2=5k，c-3=4k (a-1)2(b+2)2(c-3)2代入+=1得：16k2+5k2+4k2=1 1654即：25k2=1，即：5k=±1 于是：(a-1)+(b+2)+(c-3)=16k+5k+4k=25k 即：a+b+c=5´5k+2Î-5+2,5+2 即：a+b+cÎ-3,7 拉格朗日乘数法求出的是极值，即a+b+c的极小值是-3、极大值是7. 这就是“拉格朗日乘数法”. 权方和不等式 由权方和不等式得： (a-1)2(b+2)2(c-3)2(a-1+b+2+c-3)21=+³ 165416+5+4(a+b+c-2)2£1，即：(a+b+c-2)2£52 即：25故：-5£(a+b+c-2)£5，即：-3£a+b+c£7. 此法就是“权方和不等式”. 例13.若a,b,c>0，x,y,z>0，且满足a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36， ax+by+cz=30，求：a+b+c的值. x+y+z解析 柯西不等式 由柯西不等式：a2+b2+c2()(x2+y2+z2³(ax+by+cz) abc=l， xyz)2当柯西不等式中等号成立时，有：即：a=lx，b=ly，c=lz，l>0 本题，将a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36，ax+by+cz=30代入得： 25´36³302，正是等号成立. 则：a2+b2+c2=l2(x2+y2+z2)； 即：l=2a2+b2+c2x2+y2+z2=255，即：l= 366故：l=abca+b+c5= . xyzx+y+z6此法称为“柯西不等式”. 例14.求证：å证明 放缩法 n12k=1k<5. 3k=1åk2n1=1+nk=2åk2n1=1+k=2nå4k2 n4<1+1öæ1=1+2-å4k2-1åç÷ 2k-12k+1øk=2k=2è41ö15æ1=1+2´ç-<1+2´= ÷33è32n+1ø注意变形为不等式的方法，虽然仍是“放缩法”. 1例15.当n³2时，求证：2<(1+)n<3. n证明 放缩法 由二项式定理得： n1öæk11121n11+=C×=1+C×+C×+.+Cåç÷nnnn×n; k2nnnnnèøk=0n采用放缩法： 1×当n³2时，1+Cnn121n111+Cn×2+.+Cn×n³1+Cn×=2 nnnn1öæ即：ç1+÷³2 nøè由二项式定理并采用放缩法得： n1öæk11+=1+Cåç÷n×k nnèøk=1nn!11n!=1+å×k=1+å kk=1k!(n-k)!nk=1k!(n-k)!nnn=1+1én(n-1)(n-2)(n-k+1)ù××××.×åk!êú nnnnëûk=1nnn111<1+å=1+1+å=2+å k=1k!k=2k!k=2k!n11öæ1<2+å=2+åç-÷ k=2k(k-1)k=2èk-1kønn=2+1-1<3 n本题由二项式中，分子由从n开始的k个递减数连乘，分母由k个n连乘，得到的分数必1定小于1. 于是得到：(1+)n<3. n此法为“放缩法”. 伯努利不等式 1ö1æ由伯努利不等式得： ç1+÷³1+n×=2. nønè式得证. 单调性法 本题也可以利用函数的基本性质证明. 1öxæ构建函数：f(x)=ç1+÷，则在x³1时，函数为单调递增函数. xøèn故：在x³2时，f(x)³f(1)=(1+1)1=2 利用指数不等式： 1+x<ex 11öxæ则：f(x)=ç1+÷=(1+y)y<(ey)y=e<3. xøè1式得证. 由于指数不等式也可以由函数单调性得到， 故此法称为“单调性法”. 例16.求证：证明 裂项相消法 由放缩法得： 11×31×3×5×.×(2n-1)+.+<2n+1. 22×42×4×6×.×(2n)(2n)2>(2n)2-1=(2n-1)(2n+1) 故：2n-12n< 2n2n+1令：Sn=13(2n-1)24(2n)， Tn=××.× ××.×24(2n)35(2n+1)由得：Sn<Tn é13(2n-1)ùé24(2n)ù12即：Sn<Sn×Tn=ê××.××××.×=úê35ú2n+1 24(2n)(2n+1)ëûëû故：Sn<12n+1 由22n+1>2n+1+2n-1得： 12n+1<22n+1+2n-1，即：12n+1<(2n+1-2n-1)， 代入式得：Sn<2n+1-2n-1 因为S1+S2+.+Sn=11×31×3×5×.×(2n-1) +.+22×42×4×6×.×(2n)所以待证式为：S1+S2+.+Sn<2n+1 将式代入S1+S2+.+Sn中采用裂项相消法得： S1+S2+.+Sn<k=1å(n2k+1-2k-1)=2n+1-1<2n+1 式得证. 本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差， 然后利用求和来消去中间部分，只剩两头. 此法称为“裂项相消法”，只不过更另类一些. 例17.求证：2(n+1-1)<1+证明 裂项相消法 由放缩法得：2n<n+1+n 即： 1n>2n+1+n=212+.+1n<2(2n+1-1). (n+1-n )由式进行多项求和并采用“裂项相消法”得： 则：1+12+13.+1n>2(1+1-1)+.+(n+1-n) =2(n+1-1) 由放缩法得：8n-1(2)>(8n(22-1)2-1=8n28n2-2 ()即：8n2-1>8n28n2-2 将8n28n2-2=24n24n2-1=22n(2n+1)2n(2n-1) 代入式得：8n2-22n(2n+1)2n(2n-1)>1 令：x=2n，则上式可写为：2x2-2x(x+1)x(x-1)>1 即：x(x+1)+x(x-1)-2x(x+1)x(x-1)>1 即：()()()(x(x+1)-x(x-1)2>1，即：x1n(x+1-x-1>1 )即：2n(2n+1-2n-1>1，即：)<2(2n+1-2n-1 )由式进行多项求和并采用“裂项相消法”得： 1+12+13.+1n<2(2+1-2-1)+.+(2n+1-2n-1) <2(2n+1-1) 由，本题得证. 本题还是采用级数求和的放缩法. 此法称“裂项相消法”. 积分法 设函数f(x)=1x，函数为递减函数. C A B 函数图象如图. 其中，xk=k>1，xk-1=k-1，xk+1=k+1 则：yk=1k，yk-1=1k-1，yk+1=1k+1xk-1 xkxk+1 于是，由面积关系得： òk1xk-1×dx>1k1k>òk+11xk×dx k+1k即：2x()kk-1>>2x()1k>2(k+1-k) 当k>1时，上式即：2(k-k-1)>故：1+2(n-1)>åk=1nn1k1k1k>2(n+1-1) <2n-1 即：2(n+1-1)<åk=1n故：2(n+1-1)<åk=1. 积分法可证明式. 对式，积分法松一些. 例18.已知：x>0,求证：证明 (1) 单调性法 构造函数：f(x)=x-ln(1+x)，则：f(0)=0. 当x>0时，函数的导数为：f'(x)=1-1>0， 1+xx<ln(1+x)<x. 1+x即当x>0时，函数f(x)为增函数. 即：f(x)>f(0)=0； 故：f(x)=x-ln(1+x)>0，即：ln(1+x)<x 当x=0时，ln(1+x)=x. 构造函数：g(x)=ln(1+x)-x，则：g(0)=0. 1+xé11xùxú=当x>0时，其导数为：g'(x)=-ê->0. 221+xê1+x(1+x)ú(1+x)ëû即当x>0时，函数g(x)为增函数. 即：g(x)>g(0)=0； 故：g(x)=ln(1+x)-当x=0时，xx>0，即：<ln(1+x) 1+x1+xx=ln(1+x). 1+x由和，本题证毕. 本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题. 当x³0时，x£ln(1+x)£x. 1+x这是重要的不等式，简称为“对数不等式”. 此法称为“单调性法”. 例19.已知：nÎN+，求证：证明 积分法 构造函数：f(x)=1，在函数图象上分别取三点A,B,C xB G O D A H C F 11111+.+<ln(1+n)<1+.+. 23n+12n111),C(k+1,) 即：A(k,),B(k-1,kk-1k+1A 我们来看一下这几个图形的面积关系： SAEFC<SAEFH=SAEDG<SAEDB 即：òkk+11×dx<f(k)×1<xk1òk-1x×dx kE 即：lnxkk+1<f(k)<lnxk-1 1<lnk-ln(k-1) k1求和： k即：ln(k+1)-lnk<左边不等式ln(k+1)-lnk<k=1å(ln(k+1)-lnk)<n111=1+.+ åk2nk=1n即：ln(n+1)<1+右边不等式n+111+.+ 2n1<lnk-ln(k-1)求和： k1111=+.+<ln(n+1) åk23n+1k=2由和，本题证毕. 本题采用构造函数、利用函数的面积积分来证题. 此法称为“积分法”. 例20.已知：n³2，求证：2n>n(n-1). 证明 极值法 A> 由于n(n-1)<n2-n+1=(n-1)242 所以只要证明2n>(n-12)2即可. 即：2n>122(2n-1)2，即：2n+2>(2n-1)2 即：(n+2)ln2>2ln(2n-1) 即：ln22n+ln2>ln(2n-1) B> 构建函数：f(x)=ln22x+ln2-ln(2x-1) 其中：x³2 导函数：f'(x)=ln22-22x-1 我们求式得最小值. C> 首先边界： 当x=2时， f(2)=ln22×2+ln2-ln(2×2-1)=2ln2-ln3=ln4-ln3>0当x=+¥时， f(x)=ln22x+ln2-ln(2x-1) xx+2x=ln222+ln2-ln(2x-1)=ln22×22x-1=ln22x-1 x+2x+2x+由于222(12ln2)22xlim®+¥2x-1=xlim2®+¥2x-1=xlim2®+¥2=+¥ æx+2x+2所以xlimç22ö÷æ®+¥çln=lnçlim22ö÷=+¥>0