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2122解析几何专题4 圆锥曲线中的最值和范围问题七彩教育网 第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题 高考在考什么 1已知双曲线x2222ab且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+¥) D.(2,+) -y=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有2 P是双曲线x2916|PN|的最大值为 A. 6 B.7 C.8 D.9 23抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A ) -y2M、N分别是圆(x5)y4和(x5)y1上的点，则|PM|=1的右支上一点，2222A43 Bx2275 C85 D3 4已知双曲线ab则此双曲线的离心率e的最大值为： 457 (A) (B) (C)2 (D) 33325已知抛物线y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 . 6对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P都满足|PQ|a|，则a的取值范围是( B ) -y22右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,=1,(a>0,b>0)的左、0，2 高考要考什么 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； 不等式求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式，通过解不等式组得出参数的变化范围； 函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； 结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； 构造一个二次方程，利用判别式D³0。 突破重难点 已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W. 求W的方程； uuuruuur若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA×OB的最小值. 解：依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支， 22当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0， 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 所求方程为：x2y21 七彩教育网 rruu此时A，B，OAOB×20202 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb， 代入双曲线方程x222依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则 ìïD=4k2b2-4(1-k2)·(-b2-2)³0ï2kbï解得|k|>1， x+x=>0í1221-kï2ïb+2>0ïx1x2=2k-1îuuuruuur又OA×OBx1x2y1y2x1x2 y21中，得：(1k)x2kbxb20 2224x1x2kbb2>2 22k1k1uuuruuur综上可知OA×OB的最小值为2 222k22给定点A(-2,2)，已知B是椭圆小值时，试求B点的坐标。 解：因为椭圆的e=35x225+y216=1上的动点，F是右焦点，当AB+53BF取得最，所以AB+53BF=AB+1eBF，而1eBF为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义 |BF|BN|=eÞ|BN|=|BF|e=53|BF| 于是 AB+53BF=|AB|+|BN|³|AN|³AM为定值 其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为(-所以，当AB+ 53BF取得最小值时，B点坐标为(-532,2) 532,2) 9解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) 已知P点在圆x+(y-2)=1上移动，Q点在椭圆22x2+y=1上移动,试求|PQ|的最大值。 21öæ将代入得|O1Q|= 9(1-y)+(y-4) =-8çy+÷+27 2øè1因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当y=时，O1Qmax=33 22222此时PQmax=33+1 1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关； 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 七彩教育网 2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。 已知椭圆的一个焦点为F1(0,-22)，对应的准线方程为y=-成等差数列。 求椭圆方程； 是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。 解：依题意e =22312924，且离心率e满足：,e,3243平分，若存在，Qa2c-c=924-22=24 a3，c22，b1， 又F1(0，22)，对应的准线方程为y=- 椭圆中心在原点，所求方程为x+292419y=1 122 (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=-直线l的斜率存在。 设直线l：ykxm 平分 ìy=kx+mï2由í消去y，整理得 (k29)x22kmxm290 y2=1ïx+9îl与椭圆交于不同的两点M、N， 2222224km4(k9)(m9)0 即mk90 设 M(x1,y1),N(x2,y2) 2 k+92k2x1+x222=2-kmk+92=-12 m= 把代入式中得(k+9)4k2-(k+9)<0， k3或k3 ppp2p直线l倾斜角aÎ(，)È(，) 3223七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 七彩教育网 第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题 长度为a的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且AP=lPB 求点P的轨迹方程C，并说明轨迹类型； 当l=2时，已知直线l1与原点O的距离为取值范围 答案：(1)设P(x,y)、A(x0,0)、B(0,y0)，则 uuuruuurìx-x0=-lxAP=lPBÞíÞy=l(y-y)0î2uuuruuura2，且直线l1与轨迹C有公共点，求直线l1的斜率k的ìx0=(1+l)xï，由此及|AB|=aÞx02+y02=a2，得 í1+lyïy0=lî22(1+l)x2yéæ1+löùæaö22，即x+=+êçy=aç÷ ÷ú2l1+llèøøûëè当0<l<1时，方程的轨迹是焦点为(±1-l1+l-1+l1+la,0)，长轴长为21+la的椭圆 当l>1时，方程的轨迹是焦点为(0,±a)，长轴长为2l1+la的椭圆 当l=1时，方程的轨迹是焦点为以O点为圆心，a2为半径的圆 设直线l1的方程：y=kx+h，据题意有h1+k2=a2，即h=a21+k2 ìy=kx+h2k992ï22由í292得 9(1+)x+khx+h-a=0 2424ï9x+y=a4î94因为直线l1与椭圆9x+2y2=a有公共点，所以D=9(4+k)a-81h2222³0, 又把h=a21+k2代入上式得 ：k2£75,-355£k£355 椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=23, 过点C的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量AB的比为2. 用直线l的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面积；当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 七彩教育网 解：设椭圆E的方程为xa22+yb22=1( ab0 )，由e =ca=23a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C分向量AB的比为2， ìx1ïïíïy1ïî+2x23 ìx1+1=-2(x2+1) 即í y=-2y+2y22î1=0 3=-1ìx2+3y2=3b222222由í消去y整理并化简得 (3k+1)x+6kx+3k3b=0 îy=k(x+1)由直线l与椭圆E相交于A, B(x2,y2)两点得： ìïD>0恒成立ï26kï íx1+x2=- 23k+1 ï22ï 3k-3bxx=ï122 3k+1î 11333而SOAB=|y1-y2|=|-2y2-y2|=|y2|=|k(x2+1)|=|k|x2+1| 222由得:x2+1=23k2+1，代入得：SOAB = 332323|k|223k+1(k¹0) 因SOAB=3|k|3k+12=3|k|+1|k|£=32, 当且仅当k=±33,SOAB取得最大值 x1+2x23此时 x1 + x2 =1, 又 将x1,x2及k2 = 13 =1 x1=1,x2 =2 代入得3b2 = 5 椭圆方程x2 + 3y2 = 5 x2设直线l过点P，和椭圆围. 9+y24uuuruuur=1顺次交于A、B两点，若AP=lPB试求l的取值范解：当直线l垂直于x轴时，可求得l=-15; 当l与x轴不垂直时，设A(x1,y1),B(x2，y2)，直线l的方程为：y=kx+3，代入椭圆方程，消去y得 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 七彩教育网 (9k解之得 x1,2=-27k±69k9k2222+4x+54kx+45=0 )-5+4. 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k>0的情形. 当k>0时，x1=-27k+69k9k22-5+42，x2=-27k-69k-59k+418k22， 所以 l=-x1x2-9k+29k9k+29k2-51-59k+29k5921-5189+29-5k2. 由 D=(-54k)2-180(9k2+4)³0， 解得 k所以 -1£1-189+29-5152³， <-k215， 综上 -1£l£-. xa22我们把由半椭圆+yb22y =1 (x0)与半椭圆B2 yba22+xc22，其中=1 (x0)合成的曲线称作“果圆”A1 222=b+c，a>0，b>c>0 . . . O M . F2F0F1 B1 A2 x 如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和 B2是“果圆” 与x，y轴的交点，M是线段A1A2的中点B1， 若F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； 设P是“果圆”的半椭圆yb22+xc22=1(x0)上任意一点求证：当PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处； 若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标 22220)，F10，-b-c，F20，b-c， 解：Q F0(c，()()F0F2=(b2-c2)+c4722=b=1，F1F2=2b-c=1，于是c=222234，a=b+c=22274， 所求“果圆”方程为x+y=1(x0)，y+243x=12(x0) 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 七彩教育网 设P(x，y)，则 22a-cöæbö2(a-c)æ22+b，-cx0， |PM|=çx-÷+y=ç1-2÷x-(a-c)x+cø42øèè22 Q1-bc222<0， |PM|的最小值只能在x=0或x=-c处取到 即当PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处 Q|A1M|=|MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆yb22xa22+ybxa2222=1+yb22(x0)和半椭圆=1(x0)上的情+xc22=1(x0)上，所以，由知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆形即可 a-cöæ22|PM|=çx-÷+y=2a2øè2c22222éa(a-c)ù(a-c)a(a-c)2- êx-ú+b+2242c4cëû2 当x=a(a-c)2c22a，即a2c时，|PM|的最小值在x=2a(a-c)2c22时取到， 此时P的横坐标是a(a-c)2c22 当x=a(a-c)2c2222>a，即a>2c时，由于|PM|在x<a时是递减的，|PM|的最小值在x=a时取到，此时P的横坐标是a 综上所述，若a2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a(a-c)2c22； 若a>2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或-c 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载