新编：人教版八年级上册数学第11章《三角形》全章ppt课件.ppt

,人教版八年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,第十一章 三角形,11.1 与三角形有关的线段,第1课时 三角形的边,2,桥梁架,直观感知：三角形由三条线段组成。,四条,三条,三条,四条,四条,四条,三条,这些图分别由几条线段组成,【思考】由三条线段组成的图形是三角吗？,结论：由三条线段组成的图形不一定是三角形。,是,不是,不是,那么什么样的图形是三角形？,电线杆,自行车,交流在日常生活中所看到的三角形.,6,1.什么叫三角形?由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。三角形ABC用符号表示_.【注意点】（1）三条线段（2）不在同一直线上（3）首尾顺次相接2.什么叫片三角形的边？围成三角形的三条线段叫做三角形的边。三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为_.3.什么是三角形的顶点？每两条线段的交点叫做三角形的顶点。,ABC,c、b、a,7,边c,边b,边a,顶点A,顶点B,顶点C,角,角,角,如图为ABC,(1)如图，三角形ABC有 个顶点？它们分别是。,3,点A、B、C,(2)ABC中三个角分别是,也可以简写成.,BAC、ABC、ACB,A、B、C,（3）图中三角形的三条边分别是。,ABC的三边,有时也用a、b、c来表示.如图:顶点A所对的边BC记作a,顶点B所对的边AC记作b,顶点C所对的边AB记作c,AB、AC、BC,9,【做一做】画出一个ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？,B,C,A,10,1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边大小有什么关系?两边之和大于第三边,即a+bc（由两点之间线段最短证得）2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?两边之差小于第三边，即ac-b（由a+b-bc-b）,11,【变式训练】有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm，用这木棒能否围成一个三角形?,不能，因为3+26。,解：,图中的三角形有：,ABC,ABE,BCE,BCD,ECD,2.（口答）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8；（2）5，6，10.,【三角形的分类】,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,按照三个内角的大小，可将三角形分成三类：,等边三角形,三边都不相等的三角形,思考：按照边的关系怎样将三角形分类？,AB=AC,B=C,有没有其他的分类呢？,等腰三角形,不等边三角形,等腰三角形,腰底的三角形,等边三角形,不等边三角形,等边三角形,【三角形的分类】,下面图形中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？,这个图形中一共有个三角形。,锐角三角形有个，,直角三角形有个，,钝角三角形有个。,1、三角形的分类2、三角形构成要素（1）三个顶点（2）三条边（3）三个内角3、三角形的三边关系（1）三角形两边的和大于第三边（2）三角形两边的差小于第三边,不等边三角形,等腰三角形,腰底的三角形,等边三角形,例1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8（）（2）2，5，6（）（3）5，6，10（）（4）3，5，8（）,不能,能,能,不能,判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任意两边之和都大于第三条，任意两边之差都小于第三边？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？,用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，能组成三 角形；反之，则不能。,例2：（P8）长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？,解：共两种。选其中3根组成一个三角形，不同的选法有 10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、5、3.能组成三角形的只有：10、7、5；7、5、3.因为5+3=87，5+7=1210，而3+7=10,3+5=810.,解：设第三边的长为x，根据两边之和大于第三边得：x2+7即x9根据两边之差小于第三边得：x7-2即x5所以5x9，又因为它是奇数，所以x=7。,答：第三边的长为7。,例3：若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长。,已知两条边，求第三条边长度的方法：若已知两边分别为a、b,第三边长度为x，则第三边长度为：a-bxa+b,例4 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？,解：,（1）,设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则,x+2x+2x=18,解得，,x=3.6,所以，三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.,（2）,因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以,当4cm为底边，高腰长为xcm，则,解得，,x=7,因为4+410，不符合三角形两边的和大于第三边所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形,当4cm为腰，高底边长为xcm，则,解得，,x=10,4+2x=18,24+x=18,由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形。,1.用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7cm和10cm，第三根小棒可取（）A、20 B、3 C、11 D、22.下列三条线段，不能组成三角形的是（）A、3，4，6 B、8，9，15 C、20，18，5 D、16 30 143.已知等腰三角形一边等于5cm，一边等于10cm，另一边应等于（）A、5 B、10 C、5或10 D、12,D,C,B,4.一个三角形的两边分别是5cm和11cm，第三边的长是一个偶数，则第三边的长可能是（）A、2 B、4 C、6 D、85、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围。若x是奇数，则x的值是；若x是偶数，则x的值是。6、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm,则这个三角形的周长是 cm7、一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm,则这个三角形的周长是 cm,D,1x7,3,5,2,4,6,20,17或19,8、等腰三角形的两边长分别为3cm，5cm.（1）求这个三角形的周长。（2）若两边分别为2cm，5cm呢?,解：,（1）,（2）,因为长为3cm的边可能是腰，也可能是底边，所以,当3cm为底边，则腰为5cm,3+52=13cm,这个三角形的周长为13cm或11cm。,当5cm为底边，则腰为3cm，,5+32=11,2+25,则三角形的周长为：,则三角形的周长为：,2cm只能为底边，,则腰长为5cm,三角形的周长为：,2+52=12cm,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版八年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,11.1 与三角形有关的线段,第2课时 三角形的高、中线、角平分线,A,从三角形的一个顶点,B,C,向它的对边,所在直线作垂线，,顶点,和垂足,之间的线段,叫做三角形这边的高，,简称三角形的高。,如图，线段AD是BC边上的高,三角形高的符号语言：,AD是 ABC的高,BDA=CDA=90,三角形的高,AD是 ABC 的BC边上的高，AD BC,在纸上画一个锐角三角形(1)你能画出这个三角形的三条高吗?,(2)这三条高之间有怎样的位置关系？,将你的结果与同伴进行交流,锐角三角形的三条高交于同一点.,锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,锐角三角形的三条高都在三角形的内部。,D,E,F,锐角三角形的三条高,直角三角形的三条高,在纸上画一个直角三角形,将你的结果与同伴进行交流.,(1)画出直角三角形的三条高,直角边BC边上的高是;,AB,直角边AB边上的高是;,CB,(2)它们有怎样的位置关系？,直角三角形的三条高交于直角顶点.,D,斜边AC边上的高是;,BD,钝角三角形的三条高,在纸上画一个钝角三角形,（1）画出钝角三角形的三条高,F,E,（2）钝角三角形的三条高交于一点吗？,钝角三角形的三条高不相交于一点,（3）它们所在的直线交于一点吗？,钝角三角形的三条高所在直线交于一点,D,3,3,3,都在三角形内部,直角边上的高分别与另一条直角边重合，还有一条高在三角形内部,夹钝角两边上的高在三角形外部，另一条高在内部,在相应顶点的对边上,是直角的顶点在斜边上,在相应顶点的对边的延长线上在钝角的对边上,在三角形内部,在直角顶点,在三角形外部,三角形中三条高线位置与三角形之间的关系,小结:三角形的高,三角形的中线,在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线.,D,AD是ABC的中线,任意画一个三角形,然后画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?,三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.,三角形中线的符号语言：,E,F,O,三角形的角平分线,A,B,C,D,AD是 ABC的角平分线,任意画一个三角形,然后画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?,在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部,F,E,D,O,BE是ABC的角平分线,ACB=2_=2_,CBE,ABC,ACF,CF是ABC的角平分线,BCF,角平分线的符号语言,三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？,思考,三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线,例1：如图,在ABC中,1=2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CFAD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的?,AD是ABE的角平分线(),BE是ABD边AD上的中线(),BE是ABC边AC上的中线(),CH是ACD边AD上的高(),三角形的高、中线与角平分线都是线段,2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形,B,D,AF,CD,AC,2,ABC,4,CE,BC,CAD,BAC,AFC,4.填空：如图，在ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。（1）BE=；（2）BAD=；（3）AFB=90,5.如图所示,在ABC中,ACB=90,把ABC沿直线AC翻折180,使点B 落在点B的位置,则线段AC具有性质()A.是边BB上的中线 B.是边BB上的高 C.是BAB的角平分线 D.以上三种性质合一,D,6.如图2所示,D,E分别是ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是()A.DE是BCD的中线 B.BD是ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.C的对边是DE,C,从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段,三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段,三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段,AD是ABC的 BAC的平分线 1=2=BAC,AD是ABC的BC上的中线 BD=CD=BC,AD是ABC的BC上的高线ADBCADB=ADC=90,1 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不等边三角形,B,2如图所示，D、E分别是ABC的边AC，C的中点，则下列说法正确的是()ADE是ABC的中线 BAD是ABC的中线 CAD=DCBD=EC DAD=DC，BE=EC,D,4如图，AD是BC边上的中线，BF为AD边上的中线，若ABC的面积为12，则ACD的面积为_，ABF的面积为_,6,3,5如图，AE是ABC的角平分线，已知B40，C56，求下列角的度数：（1）BAE（2）AEB,（1）BAE42；（2）AEB98,6如图，在ABC中，ACB=90，CE是ABC的角平分线，已知CEB=100，求A和B的度数,A55，B35,7如图，在ABC中，角平分线BD，CE相交与O，计算:(1)当A=68时，求BOC;(2)当BOC=144时，求A(3)BOC与A有什么关系?,（1）BOC124；（2）A108；（3）BOC90 A,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版八年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,11.1 与三角形有关的线段,第3课时 三角形的稳定性,有一天懒羊羊遇到了灰太狼眼看就要成为灰太狼的午餐,怎么办啊？谁来救救我！,四边形的木台为什么会倒呢？,我想到更好的办法了！,我也很聪明啊!,气死我了，到嘴的羊飞了！,四边形内多了一根木条怎么就推不倒了呢？,生活小常识,(1)将三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?,(2)将四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?,(3)在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,它的形状会改变吗?,三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性,结论,三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变,用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性,三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，你能举出一些例子吗？,三角形的性质-三角形的稳定性,请将“三角形具有稳定性”改成“如果”“那么”的形式,四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，造将其变成三角形从而增强其稳定性。,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,房屋的人字架,三角形的稳定性的应用,照相机的三脚架,三角形的稳定性的应用,三角形的稳定性的应用,自行车三脚架,三角形的稳定性的应用,固定树的两根支撑,四边形的不稳定性有广泛的应用,用来制作防盗门、防盗窗等,一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论：具有稳定性好，还是没有稳定性好，且听它们是怎么说的：三角形：“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边形，你没有坚定的立场！”四边形：“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！”三角形：“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！”四边形：“我的用途广，像活动衣架、放缩尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多彩！”假如你是数学小博士，你会如何来调解他们的争论？,1、人站在晃动的公共汽车上若你分开两腿站立,则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳,这是利用了。,三角形的稳定性,2、下列图形中具有稳定性的是（）A、正方形 B、长方形 C、直角三角形 D、平行四边形,C,D,3、如右图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是()A、两点之间线段最短 B、矩形的对称性C、矩形的四个角都是直角 D、三角形的稳定性,D,4如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是()A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性 C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性,1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？,及时小结，自我评价,1、下列图形中具有稳定性的是（）（A）正方形（B）长方形（C）直角三角形（D）平行四边形,2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？,C,C,C,4如图桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了()A节省材料,节约成本 B保持对称 C利用三角形的稳定性 D美观漂亮,5、判断：已知a+bc，则以线段a、b、c为边能够成三角形（）,6、如图，已知BM是ABC的中线，AB=6，BC=8，那么MBC的周长与ABM的周长相差。,2,7、如图，在ABC中，AE是BAC的平分线，AD是BC的高，且 B=50，C=60，则 EAD的度数是（）（A）35（B）25（C）15（D）5,D,8、如图，AD是ABC的角平分线，DE/AC，DE交AB于E，DF/AB，DF交AC于F。图中1与2有什么关系？为什么？,解：DEAC 1=DAC DFAB 2=BAD AD是ABC 的角平分线 BAD=DAC 1=2,构筑人生三角形,在所有的几何图形中，三角形是最稳定的一种图形，无论哪一个边在下面做支撑，三角形都像一座巍峨的大山，也像一个站立的“人”字，都说人生是个三角形，大概就是因为三角形三点之间是互相联系的，离开哪个都不能成为三角形，那么，拥有一个怎样的三角形才能支撑起幸福的人生呢？我们应该用真诚、感恩、清廉组成三角形，塑造一个精彩的人生 每一个人的人生都处于形形色色的三角形中，只有把握人生最本质的东西，保持一颗真诚的心，怀着一种感恩的生活态度，踏踏实实留一行清廉的足迹，才能构筑最稳定最美好的人生三角形,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版八年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,11.2 与三角形有关的角,第1课时 三角形的内角,1、通过操作活动，能自主探究发现三角形内角和是180。2、会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数。3、在知识应用的过程中使自己的能力得到进一步发展。,你同意谁的说法呢？为什么？,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？,内角三兄弟之争,三兄弟的和应为180度！,三角形两边的夹角叫做三角形的内角.,(,如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?,问题：,这个三角形呢？,三角形的三个内角和是多少?,把三个角拼在一起试试看？,你有什么办法可以验证呢?,想一想 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?,180,l,l,A,C,B,思考：直线l与边BC有什么关系?,思考：直线l与边AB有什么关系?,验证结论,三角形三个内角的和等于180.,F,E,求证：A+B+C=180.,已知：ABC.,B=1.,(两直线平行,内错角相等),C=2.,(两直线平行,内错角相等),2+1+BAC=180，,B+C+BAC=180.,过点A作EFBC，,想一想 同学们还有其他的方法吗？,小组活动：请你通过相互讨论交流办法验证三角形的内角和。,延长BC到D，过点C作CEBA，A=1.(两直线平行，内错角相等)B=2.(两直线平行，同位角相等)又1+2+ACB=180，A+B+ACB=180.,E,D,证法2：,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.,作辅助线,过A作AEBC，B=BAE(两直线平行,内错角相等).EAB+BAC+C=180(两直线平行,同旁内角互补).B+C+BAC=180.,E,证法3：,思路总结,为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.,【结论】三角形内角和180。,【例1】在一个三角形中，已知1=1400，3=250，求2的度数？,18001400250=400250=150答：2的度数为150。,【例2】如图，在ABC中，BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.,解：由BAC=40,AD是ABC的角平分线，得,BAD=BAC=20.,在ABD中，ADB=180-B-BAD=180-75-20=85.,北,.,A,D,北,.,C,B,.,东,E,【例3】如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80 方向，C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？,AD/BE,BAD+ABE=180 BAD=80ABE=180-BAD=180-80=120ABC=ABE-EBC=120-50=70在ABC中 CAB+ABC+ACB=180 CAB=BAD-CAD=80-50=30.ACB=180-ABC-CAB=180-70-30=80,解：,2.在ABC中，A:B:C=1:2:3，则ABC是 三角形.,1.在ABC中，A=35，B=43，则 C=.,3.在ABC中，A=B+10,C=A+10,则 A=，B=，C=.,102,直角,60,50,70,4.一个等腰三角形的风筝,它的一个底角是700，它的顶角是 度。,40,5、判断对错：（1）三角形中最大的角是70，那么这个三角形是锐角三角形（）（2）一个等腰三角形一定是锐角三角形（）（3）一个三角形最少有一个角不大于60（）,6、如右图，在ABC中C=60，B=50，AD是BAC的平分线，则BAD=，DAC=,ADB=。,35,35,95,解：,BDAC,CBD+C=90,C=65,CBD=90-C=25,ABD+CBD=ABC,ABC=70,ABD=ABC-CBD=45,BDC=90,BDC+CBD+C=90,1800360,(1800960)2=8402=42,1800900400=900400=50,我的一个角是多少度？,我的一个底角是多少度？,我是一个直角三角形，我的另一个锐角是多少度？,900400=50,证明,了解添加辅助线的方法及其目的,内容,三角形内角和等于180,性质,直角三角形的两锐角互余,判定,两角互余的三角形是直角三角形,1.说出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,2.填空（1）一个三角形最多有 个直角，因为；（2）一个三角形最多有 个钝角，因为；（3）一个三角形至少有 个锐角，因为.（4）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为。,1,1,2,三角形内角和等于180,三角形内角和等于180,三角形内角和等于180,280,60,4.如图，在ABC 中，ABC，ACB的平分线BD，CE交于点O 变式1若A=80，则BOC=变式2若A=100，则BOC=变式3你能直接写出BOC与A 之间的数量关系吗？,130,BOC=90+A.,140,能,小明不小心将镜框上的一块三角形玻璃摔成了两半，玻璃裂成了两块。一块只有原来的一个角，另一块有原来的两个角。他想重新买一块玻璃安上，小明非常聪明，只带了其中的一块到玻璃店去，就配到了和原来一模一样的玻璃了。你知道他带的是哪一块吗？,拓展训练,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版八年级数学上册,读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。,11.2 与三角形有关的角,第2课时 直角三角形的性质与判定,第十一章 三角形,三角形内角和定理：,三角形三个内角之和为180,在ABC中，A=60,B=30，C等于多少度？你用了什么知识解决的？,利用“三角形三个内角之和为180”可得，C=90,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？,内角三兄弟之争,老大的度数为90，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90，而三角形的内角和为180，相互矛盾，因而是不可能的。,如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度？,30+60=90,45+45=90,90,90,直角三角形的定义：,有一个内角是直角的三角形叫直角三角形,如图，在RtABC中，C=90,两锐角的和等于多少呢？,思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？,直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。,应用格式：在RtABC中，C=90 A+B=90,直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写RtABC。,【例1】（1）如图，B=C=90,AD交BC于点O，A与D有什么关系？,方法一（利用平行的判定和性质）：B=C=90AB/CDA=D,方法二（利用直角三角形的性质）：B=C=90A+AOB=90,D+COD=90AOB=CODA=D,（2）如图，B=C=90,AD交BC于点O，A与C有什么关系？请说明理由。,A=C.理由如下：B=C=90A+AOB=90,C+COD=90AOB=CODA=C,解：,【例2】如图，C=D=90，AD，BC 相交于点E，CAE 与DBE 有什么关系？为什么？,在RtABC中，CAE=90-AEC在RtBDE中，DBE=90-BEDAEC=BEDCAE=DBE,解：,相等同角的余角相等,BAC=ADB=ADC=90B=2C=1,3在RtABC中，C90，A40，则B()A60 B50 C40 D904如图，一张矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中12的度数是()A30 B60 C90 D120,B,C,有两个角互余的三角形是直角三角形吗？,如图，在ABC中，A+B=90,那么ABC是直角三角形吗？,直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。,应用格式：,A+B=90C=90,ABC是直角三角形,例3如图，C=90,1=2,ADE是直角三角形吗？为什么？,RtABC中，2+A=901=21+A1=90即ADE是直角三角形,解：,【例4】如图，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P.求证：PEF是直角三角形证明：ABCD，BEFDFE180.BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，,1直角三角形的两个锐角互余2在一个三角形中有两个角互余的三角形是直角三角形 3.直角三角形的性质与判定的应用。,1、填空题：（1）在ABC中，若A=B+C，则ABC是 三角形,且 是直角。（2）在ABC中，C=90A=2B，则A=，B=。（3）在ABC中若ABC=123，则ABC是 三角形。（4）直角三角形两锐角之差是12，则较大的一个锐角是 度。,直角,A,60,30,直角,51,2、选择题：（1）如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、以上都错（2）如果三角形的三个内角的比是347，那么这个三角形是（）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形（3）如图，已知ABC为直角三角形，C=90，若沿图中虚线剪去C，则1+2等于（）A、315 B、270 C、180 D、135,B,B,B,3.已知直角三角形两个锐角的度数之比为32，求这两个锐角的度数解：设这两个锐角的度数分别为3x，2x，根据直角三角形两个锐角互余，得 3x2x90，解得x18，3x54，2x36，这两个锐角分别是54和36.【点悟】利用“直角三角形两个锐角互余”作为等量关系，通过设未知数，列方程求角度，这种方法是常用方法,4.如图，在ABC 中，C90，B54，ADC72，求证：AD平分BAC.证明：在RtABC中，BAC90B 9054 36 在RtADC中，DAC90ADC907218，,【点悟】在直角三角形中，已知一锐角，根据直角三角形两锐角互余，可求另一锐角,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版八年级数学上册,学而不思则惘，思而不学则殆。,11.2 与三角形有关的角,第3课时 三角形的外角,第十一章 三角形,1.理解三角形外角的概念。2.掌握三角形外角的性质，并能运用这些性质进行简单的计算和推理。,1、在ABC中，（1）C=90，A=30，则B=；（2）A=50，B=C，则B=.,2、在中，：5，则，,36,54,90,65,60,3、在中，如果,那么是什么三角形？,解:设A=x,那么B=2x,C=3x,根据题意得:,解得,A=30,B=60,C=90,所以是直角三角形,D,三角形的外角：,三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角,三角形的外角的三个特征:1.顶点在三角形的一个顶点上;2.一条边是三角形的一条边;3.另一条边是三角形的某条边的延长线。,画一个三角形，再画出它所有的外角。,想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相对应的外角有几个？3、这些外角中有几个外角相等？4、三角形的每一个外角与三角形的三个内角有什么位置关系?,1、每一个三角形都有_个外角;,2、每一个顶点相对应的外角都有_个。,4、一个三角形的每一个外角对应一个_和两个_.,3、这6个外角中有_对外角相等。,6,2,3,相邻的内角,不相邻的内角,算一算：,若 A55，B=60,试求 ACB,ACD,CAE的度数并说出你的理由,图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？,115,60,65,55,125,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。,三角形内角和定理的推论：,已知：如图：中，点D在BC的延长线上，求证：ACD=A+B,ACD+ACB=180,又A+B+ACB=180,A+B=ACD,解：,ACD=180 ACB,A+B=180 ACB,（邻补角的定义）,（三角形内角和为180）,(等量代换),1,CE/BA,E,方法二：,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.,2,B=1,A=2,ACD=1+2,ACD=A+B,90,85,95,解：,1+CBE=180,1=180-CBE=180-155=25,2=A+1,=37+25,=62,2+3=180,3=180-2,=180-62,=118,三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。,ACD=A+B,ACDA ACD B,结论：,1,2,3,12,23,？,解：,（1）,B=BAD,B+BAD=ADC,=40,（2）,B+BAC+C=180,C=180-B-BAC,=180-40-70,=70,？,【例2】一个零件的形状如图所示，按规定BAC=90,B=21,C=20,检验工人量得BDC=130，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？,解：,延长CD交AB于点E,在BDE中,B+DBE=BCD,DEB=BDC-B,=130-21=109,A+C=DEB,A=DBE-C,=109-20,=89,？,E,断定这个零件不合格,三角形外角的性质：【性质1】三角形的一个外角与它相邻的内角的和为180。BAC+DAC=180,【性质3】三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。CAD B，CAD C,【性质2】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。B+C=CAD,一、判断题：,1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（）2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（）3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（）4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（）5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（）6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（）,1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定,c,B,二、选择题：,120,2.已知等腰三角形的一个外角为150,则它的底角为_.,30或75,120,三、填空题：,如图，A=55，B=30，C=35，求D的度数,解：延长BD交AC于E 在ABE中，BEC=A+B=85 在EDC中，BDC=BEC+C=120 即D=120,E,四、简答题：,在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。,毕达哥拉斯,谢谢大家，再见,人教版八年级数学上册,学而不思则惘，思而不学则殆。,11.3 多边形及其内角和,第1课时 多 边 形,第十一章 三角形,1、掌握多边形、正多边形、多边形的内角、外角及多边形的对角线等数学概念。2、掌握多边形的对角线条数与多边形边之间的关系。,三角形的外角与内角的关系：,1、三角形的一个外角与它相邻的内角；2、三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和；3、三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角。,等于,大于,互补,求下列图中各标出角的度数。,1=32,1=115,2=65,1=80,2=112,(92-60),(55+60),(180-115),(45+35),(32+80),由这图形你抽象出什么几何图形？,观察,四边形,由这图形你抽象出什么几何图形？,由这图形你抽象出什么几何图形？,五边形,六边形,由这图形你抽象出什么几何图形？,由这图形你抽象出什么几何图形？,八边形,三角形的定义：,在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形。,多边形的定义：,在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。,五边形,六边形,七边形,多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形其中三角形是最简单的多边形。,如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。,内角,对角线,对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。,表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB,A,B,C,D,E,外角,1,多边形的相关概念,顶点,边,1、n边形有_个顶点，_条边，_个内角，_个外角，_条对角线。,n,n,n,2n,?,2、多边形的对角线,连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。,请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：,0,0,1,2,5,2,3,9,4,14,n-3,1,2,3,4,5,n-2,你能说出这两幅图形的异同点吗？,（1）如图，画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。,（2）四边形EFGH是凹四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。,凸四边形,凹四边形,若没有特别说明，我们今后所说的多边形指凸多边形。,多边形的分类,正多边形,正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.,例如：,正三角形,正方形,正五边形,正六边形,C,D,B,3下列说法正确的是（）A一个多边形外角的个数与边数相同。B.一个多边形外角的个数是边数的二倍。C每个角都相等的多边形是正多边形。D每条边都相等的多边形是正多边形。,4.从七边形的一个顶点可以引出_条对角线.5.从八边形的一个顶点引出的对角线把八边形分成_个三角形.6.从一个多边形的顶点可以引出6条对角线,那么这个 多边形是_边形.7.七边形有_条对角线.,4,(n-3),6,(n-2),9,(n-3=6),=,14,1、多边形的定义及其内角、外角、对角线；2、凸多边形与正多边形；3、分割法求多边形的对角线的方法。,n边形：（1）从一个顶点出发的对角线的条数_。,n-3,（2）总的对角线条数_。,（3）分割出的三角形的个数_。,n-2,169,1、下列叙述正确的是()A、每条边都相等的多边形是正多边形。B、如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定是凹多边形。C、每个角都相等的多边形叫正多边形。D、每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形。,2、小学学过的下列图形中不可能是正多边形的是()A、三角形 B、正方形 C、四边形 D、梯形,D,D,4、n边形有_个顶点，_边，有_个角，有_个不共顶点外角,n,n,n,n,3、如图，此多边形应记作 边形，AB边的邻边是、，顶点E处的内角为，过顶点A画出这个多边形的对角线，共有 条，它们把多边形分成 个三角形。,五,ABCDE,AE,BC,AED,2,3,5、四边形有_条对角线。五边形有_条对角线。四边形的一条对角线将它分成_个三角形,2,5,2,6、从五边形的一个顶点出发可以画_条对角线，它们将五边形分成_个三角形,3,2,8、多边形分为_和_两类,7、正多边形的_相等，_相等,边,角,凸多边形,凹多边形,解：,DBC+BDC+DCB=180,BDC=180-(DBC+DCB),在BDC中,BD,CD分别平分ABC和ACB,A+ABC+ACB=180,ABC+ACB=180-A,