数理方程第二章 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 3剖析课件.ppt

有界弦的自由振动有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次边界条件的处理关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论,分离变量法提要:,2.3 圆形域内的二维 Laplace 方程的定解问题,一个半径为 的薄圆盘，,上下两面绝热，,圆周边缘温度分布为，,求达到稳恒,状态时圆盘内的温度分布。,定解问题:由第一章知道，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关,据此，写成极坐标形式为,泛定方程,边界条件边缘温度,（）,（）,设方程（1）有径向和角向分离的解：代入方程（1）得到：分离变量：,（3）,（4）,（5）,（径向方程）（角向方程）,分离变量:,将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：上式无法分离成关于R和的两个独立的边界条件，不能分别构成关于R和的常微分方程的定解问题！,（6）,下一步如何进行？,1.在物理上代表同一个点，具有相同的温度:这个条件称为“周期性边界条件”2.物理上，圆内各点的温度应该是有界的，特别是圆盘中心的温度应该是有限的：这个条件称为“自然边界条件”,寻找物理上的边界条件：,同时，考虑到自变量变化的特点，有,和,即有,中心点的温度有限（有界）,坐标系中指同一点温度不变,以下，求满足一个方程和三个边界条件所构成的定解问题的解。,代入径向方程和角向方程,(7)(8)(9)(10),至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条件一样，最后再去考虑。,变成常微分方程的定解问题,：(7)的通解:(7)的通解,(7)(8),有特解:(常数),由(8)得到,不能满足周期性边界条件(8),求解角向定解问题：,3.:(7)的通解 要让它以2为周期，必须取 即：事实上：,(7)(8),(9),求解角向定解问题：,(10)为欧拉方程，其通解为,(10)(11),为了保证，必须取可以合并为,求解径向定解问题：,边界条件：,不能表征任意函数,本征解,为了表征任意边界条件（2）,需要利用叠加原理写出一般解(它是对于 所有本征解的组合),其中,一般解:,它是函数f()的傅立叶级数展开，而展开系数为：,由边界条件确定系数：,圆域内的二维 Laplace 方程的定解问题已求解,一个半径为0的薄圆盘，圆周边缘的温度分布为已知函数Acos，求达到恒稳状态时圆盘上的温度分布。这是一个圆域上的二维拉普拉斯方程的边值问题（求圆盘上任意点(,)的温度）。,(1),(2),例题1:求解定解问题,结果：,一般解:,补充：,(1),(2),例题2:求解定解问题,坐标变换,设方程（1）有径向和角向分离的解：代入方程（1）得到：分离变量：,（3）,（4）,（5）,（径向方程）（角向方程）,分离变量:,(7)(8)(9)(10),至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条件一样，最后再去考虑。,常微分方程的定解问题:,：(7)的通解:(7)的通解,(7)(8),有特解:(常数),由(8)得到,不能满足周期性边界条件(8),求解角向定解问题:,3.:(7)的通解 要让它以 为周期，必须取 即：事实上：,(7)(8),(9),求解角向定解问题：,(10)为欧拉方程，其通解为,(10)(11),为了保证，必须取可以合并为,求解径向定解问题:,本征解:,为了表征任意边界条件（2）,需要利用叠加原理写出一般解(它是对于 所有本征解的组合),其中,一般解:,它是函数f()的傅立叶级数展开，而展开系数为：,由边界条件确定系数:,结果：,系数,通解：利用定解条件确定系数,小结：圆域上的拉普拉斯方程,本节要求：掌握分离变量法在圆域上的拉普拉斯方程中的应用,