数学分析课件第四版华东师大研制第19章 含参量积分.ppt

1 含参量正常积分,对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.,一、含参量正常积分的定义,返回,五、例题,四、含参量正常积分的可积性,三、含参量正常积分的可微性,二、含参量正常积分的连续性,一、含参量正常积分的定义,续函数(图19-1),或简称为含参量积分.,二、含参量正常积分的连续性,在 a,b上连续.,只要,就有,所以由(3),(4)可得,在c,d 上连续.,注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:,都有,这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极,限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,为任意区间.,注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件,证 对积分(6)用换元积分法,令,当 y 在c(x)与d(x)之间取值时,t 在 0,1 上取值,且,所以从(6)式可得,由于被积函数,(6)所确定的函数 F(x)在a,b连续.,三、含参量正常积分的可微性,则函数,区间的端点,则讨论单侧函数),则,就有,其值含于 p,q内的可微函数,则函数,证 把 F(x)看作复合函数:,由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有,注 由于可微性也是局部性质,定理19.3 中条件 f 与,四、含参量正常积分的可积性,由定理19.1与定理19.2推得:,上连续,则 I(x)与 J(y)分别在,求积顺序不同的积分:,与,为书写简便起见,今后将上述两个积分写作,与,表示求积顺序相反.它们统称为累次积分.,连续,则,证 记,其中,定理19.3,取 就得到所要证明的(8)式.,五、例 题,例1 求,都是 a 和 x 的连续函数,由定理19.2 已知,I(a)在 处连续,所以,上连续.,例3 计算积分,解 令,上满足定理19.3的条件,于是,因为,所以,因而,另一方面,所以,的各阶导数存在，且,例4 设 在 的某个邻域内连续,验证当|x|充,是由定理 19.4 可得,同理,如此继续下去，求得 k 阶导数为,其各导数为,例5 求,解 因为,条件,所以交换积分顺序得到,用交换积分次序的方法求出积分值.,上连续,由定理19.6,2 含参量反常积分,与函数项级数相同,含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性.在相应的一致收敛的条件下,含参量反常积分具有连续性,可微性,可积性.含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.,一、含参量反常积分的致收敛性二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质四、含参量 的无界函数反常积分,一含参量反常积分一致收敛性,或称含参量反常积分.,定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对,即,充要条件是,的充要条件是,例1 讨论含参量反常积分,的一致收敛性.,于是,而,二含参量反常积分一致收敛性的判别,定理19.7(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1),证 必要性,因此,则令,例2 证明含参量反常积分,不一致收敛.,使得,使得,即,收敛之间的联系有下述定理.,关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致,函数项级数,就有,现取,使得,一般地,取,现在考虑级数,注 由定理19.8,含参量反常积分可看作连续型的函,数项级数.,们的证明与函数项级数相应的判别法相仿,我们用,下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.它,柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克莱判,判别法.阿贝耳判别法的证明留给读者.,魏尔斯特拉斯M判别法 设有函数 g(y),使得,证 由于,因此,狄利克莱判别法 设,则含参量反常积分,证,上一致收敛.,阿贝耳判别法 设,(i),则含参量反常积分,例3 证明含参量反常积分,证 由于对任何实数 y 有,例4 证明含参量反常积分,故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在,上一致收敛.,恒有,时,不一致收敛.,三、含参量反常积分的性质,定理19.9(含参量反常积分的连续性),函数项级数,这个定理也证明了在一致收敛的条件下,极限运算,与积分运算可以交换:,定理19.10(含参量反常积分的可微性),由定理19.3推得,项级数,在 J上一致收敛,因此根据函数项级数的逐项求导,定理,即得,或写作,最后结果表明在定理条件下,求导运算和积分运算,可以交换.,上可积.,又由定理19.9的证明中可以看到,函数项级数(13)在,定理19.11(含参量反常积分的可积性)设 在,这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交,换性.(17)式又可写作,这就是(16)式.,根据函数项级数逐项求积定理,有,(ii)积分,中有一个收敛,则,也收敛.,根据条件(i)及定理19.11,有,由条件(ii),对于任给的,有,把这两个结果应用到(20)式,得到,使得当 时有,例6 计算,据M判定法,含参量反常积分,上连续,根据定理19.11交换积分(21),的顺序,积分I 的值不变.于是,例7 计算,解 在上例中,令 b=0,则有,又由(22)式,例8 计算,收敛.,由于,考察含参量反常积分,综合上述结果由定理19.10即得,于是有,为含参量x的无界函数反常积分,或简称为含参量反,在 上一致收敛的定义是:,参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法,并讨,读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含,含参量无界函数反常积分的也可转换为含参量有界,论它们的性质.,函数反常积分.,*例9 讨论含参量无界函数反常积分,的一致收敛区间.,(i),敛.,为此设,以,复习思考题,对吗?,三,函数与,函数,二,一,函数,函数.,函数和,3 欧拉积分,在本节中我们将讨论由含参量反常积,分定义的非初等函数:,函数之间的关系,含参量积分：,称为格马函数.,函数可以写成如下两个积分之和：,的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);,时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西,上连续.,用上述相同的方法考察积分,同理可证,2.递推公式,对下述积分应用分部积分法,有,在 上可导,且,可以得到,么在其他范围内的函数值可由它计算出来.,若s为正整数n+1,则(4)式可写成,故有,由于,4.延拓,改写递推公式(3)为,这时,用同样的方法,利用,式又可定义 在,内的值,而且,这时 依此,以外),其图象如图19-2所示.,定义这一事实,由(6),则有,二、B函数,含参量积分：,是含两元的含参量积分，但讨论的步骤与方法是完,全类似的.,这两个无界函数反常积分都收敛.所以函数,的定义域为,2.对称性,3.递推公式,证 下面只证公式(8),公式(9)可由对称性及公式(8),推得,而最后一个公式则可由公式(8),(9)推得.,当 时,有,移项并整理就得(8).,则有,所以,即,对任何正实数p,q也有相同的关系:,这个关系式我们将在第二十一章8中加以证明.,例1 求证,复习思考题,函数,上连续.,