数学分析课件第四版华东师大研制第13章 函数列与函数项级数.ppt

1 一致收敛性,三、函数项级数的一致收敛判别法,返回,对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有着重要的地位.,一、函数列及其一致收敛性,二、函数项级数及其一致收敛性,一、函数列及其一致收敛性,设,是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E,上的函数列.(1)也可记为,为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散,则称函数,点都收敛时,就称(1)在数集 D 上收敛.这时 D 上每,根据这个对应法则所确定的 D 上的函数,称为函数,列(1)的极限函数.若将此极限函数记作f,则有,或,的收敛域.,证,式所表示的函数.,又,显然是发散的.所以,的函数列的收敛域是,这就证明了 在(,1 上收敛,且极限就是(3),例2,所以函数列,注 对于函数列,仅停留在讨论在哪些点上收敛是远,远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具,有的解析性质的关系.例如,能否由函数列每项的,连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导,性;或极限函数的导数或积分,是否分别是函数列,每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论,必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行.,时，,由定义看到,一致收敛就是对 D 上任何一点,函数列,趋于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现,每一点都收敛.反之,在 D 上每一点都收敛的函数列,它在 D 上不一定一致收敛.,为:与 相对应的 N 仅与 有关,而与 x 在 D 上的,取值无关,因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作,在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是:,使得,由例1 中知道,下面来证明这个结论.,事实上,若取,就有,号大于,与,状区域之内.,从几何意义上,看,就是存在某个预先给定,总存在某条曲线,不能全部落在由,所夹成的带状区域内，所以,上是一致收敛的.,定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列,都有,充分性 若条件(4)成立,由数列收敛的柯西准则,在D上任一点都收敛,记其极限函数为,由定义1知,根据一致收敛定义可推出下述定理:,这就得到了(6)式.,有,注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致,收敛,而使用余项准则需要知道极限函数,但使用,较为方便.如例2,由于,故由(7)式得,例3 定义在0,1上的函数列,的图,像如图13-3 所示.,收敛性.,解 为了使用余项准则,首先求出函数列的极限函数.,于是,因此为最大值点.于是,(见图13-4),因此对任何不含原点的区间,在该区间上一致收敛于零.,图13 4,二、函数项级数及其一致收敛性,称为定义在E上的函数项级数,为函数项级数(9)的部分和函数列.,级数(9)在 E 的某个子集 D 上每点都收敛,则称级数,(9)在 D 上收敛.若 D 为级数(9)全体收敛点的集合,这时就称 D为级数(9)的收敛域.级数(9)在 D上每一,定义在 D 上的函数,称为级数(9)的和函数,并记作,即,也就是说,函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分,和函数列(10)的收敛性.,例5,定义2,则称,由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数,列来确定,所以得到的有关函数项级数的定理.,定理 13.3(一致收敛的柯西准则)函数项级数,在数集 D 上一致收敛的充要条件为:对任,和,或,此定理中当 p=1 时,得到函数项级数一致收敛的一,个必要条件.,推论(函数项级数一致收敛的必要条件)函数项级,一致收,上讨论,则由,上讨论这个级数,则由,收敛性.,所以,于是,故,上一致收敛.,注 当和函数容易求出时,余项准则是比较好用的一种判别方法.,三、函数项级数的一致收敛判别法,判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西,准则或余项准则外,有些级数还可以根据级数一般,项的某些特性来判别.,定理13.5(魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法),敛的正项级数，,证,及任何正整数 p,有,根据函数项级数一致收敛的柯西准则,级数,在 D 上一致收敛.,例7 函数项级数,数判别法也称为M 判别法.,利用阿贝尔分部求和公式(第十二章3的引理),可,以得到与数项级数相似的判别函数项级数一致收敛,的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.,设有定义在区间I上形如,的函数项级数.对级数(14)有:,定理13.6(阿贝耳判别法)设,和正整,数,存在正数M,使得,则级数(14)在 I 上一致收敛.,又由(ii),(iii)及阿贝耳引理(第十二章3的引理的推,论)得到,由函数项级数一致收敛性的柯西准则,得级数(14),在 I 上一致收敛.,证,定理13.7(狄利克雷判别法)设,在 I 上一致有界;,则级数(14)在I上一致收敛.,证 由(i),存在正数 M,对一切x I,有,因此当 n,p 为任何正整数时,对任何一个x I,再由(ii)及阿贝耳引理得到,一切x I,有,所以,于是由一致收敛性的柯西准则,级数(14)在I上一致,收敛.,例8 函数项级数,在0,1上一致收敛.,阿贝耳判别法就能得到结果.,证 由第十二章3(21)式,在,2-上有,例9 若数列 单调且收敛于零,则级数,致有界,于是令,一致收敛.,则由狄利克雷判别法可得级数(15)在 上,注 对于例7中的级数(15),只要 单调且收敛于零,闭区间上一致收敛.,级数(15)就在不包含 的任何,由数学归纳法容易得到,复习思考题,1.总结函数列和函数项级数一致收敛的判别方法,(不局限于书上现成的判别法);判别不一致收敛通,常可以使用哪些方法呢？,2给出函数项级数在 D上不一致收敛的柯西准则,(即柯西收敛准则的否定形式).,2 一致收敛函数列与函数项级数的性质,一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.,返回,即,致收敛,故存在正整数 N,当 nN 及任意正整数 p,从而,即,下面证明,注意到,只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定,的任意正数即可.,有,时,也有,这就证明了,立变量 x 与 n 的极限可以交换次序,即(1)式成立.,上一致收敛,且,存在,则有,定理13.9可以逆过来用:若各项为连续函数的函数,列在区间 I 上其极限函数不连续,则此函数列在区,间 I 上一定不一致收敛.,其极限函数,上都可积.于是(3)变为,敛,且每一项都连续,则,这就证明了等式,这个定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与,积分运算的顺序可以交换.,存在,再根据定积分的性质,当 时有,(其图象如图136所示).,连续函数列,且对任意,例1 设函数,收敛于 0 的充要条件是.,上一致收敛于 0 的充要条件是,但定理 13.10 的结论仍成立.,但定理 13.10 的结论仍成立.,限运算与积分运算交换的充分条件,不是必要条件.,函数的导数存在且等于g.,函数的导数存在且等于g.,由定理条件,对任一 总有,由 g 的连续性及微积分学基本定理得,这就证明了等式(4).,与前面两个定理一样,一致收敛是极限运算与求导,运算交换的充分条件,而不是必要条件,请看下例.,例2 函数列,与,在上述三个定理中,我们都可举出函数列不一致收,敛但定理结论成立的例子.在今后的进一步学习中,(如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件,但在目前情况下,只有满足一致收敛的条件,才能,保证定理结论的成立.,的连续性、逐项求积与逐项求导的性质,这些性质,可根据函数列的相应性质推出.,定理13.12(极限交换定理、连续性定理),(6),定理13.13(逐项求积定理)若函数项级数,定理13.14(逐项求导定理)若函数项级数,定理 13.13 和 13.14 指出,在一致收敛条件下,逐项,求积或求导后求和等于求和后再求积或求导.,注 本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数,项级数是否满足关系式(2)(4),(6)(8),更重要的是,根据定理的条件,即使没有求出极限函数或和函数,也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和,函数的解析性质.,例3 设,故有,因此级数,续且可积.又由,作业：P41 4,7,