常微分方程数值解欧拉方法课件.pptx

6 常微分方程数值解法,常微分方程欧拉方法龙格-库塔方法,引子,人口模型（看书上）人口理论一阶常微分方程的初值问题数值解：离散点上的近似值,一阶线性常微分方程初值问题,数值方法的基本思想,连续 离散,一阶线性常微分方程初值问题,6.1 欧拉方法与Runge-Kutta法一、欧拉(Euler)方法,xn=x0+nh，h为步长,一.欧拉方法,差分和差商,用差商代替导数,将微分方程离散化,得到递推公式,1.差分方法,几何意义：用折线近似曲线y=y(x),欧拉法又称为折线法,已知初值y0,依据递推公式逐步算出y1,y2,yn,yn+1,递推公式又称为差分格式或差分方程，它与常微方程的误差称为截断误差,2.数值积分方法（也可导出欧拉公式）,（1）显式差分格式,（单步）显式格式,左矩形公式,（2）隐式差分格式,由右矩形公式,还有一种隐式：积分用梯形公式,也是隐式,思索,显式的欧拉公式，好用，粗糙隐式的梯形公式，通常具有较好的数值稳定性，每次计算得求解方程组合之？组合：预报-校正,预测-校正公式,也叫预报-校正公式改进的欧拉公式,例6.1 欧拉公式求解,f(0,0)的处理（也可以理解为一种近似）表6-1图6-1本身有解析解，可与数值解比较,二、欧拉方法的局部截断误差与精度,前提：一个假设（重要！即所谓的局部）,一阶精度，看书上,泰勒公式：,关于精度:,常微分方程数值方法理论中同阶无穷小精度：p阶,类似地，梯形公式/改进的欧拉公式-局部截断误差,有二阶精度,参考第5章5.1节P66页,三、几种差分格式的数值稳定性比较例6.2,三种方法的比较注意：取最大误差（有多个点，有多个误差）有精确解，一起比较看教材,例 用欧拉法求初值问题,补例子：欧拉(Euler)方法,当h=0.02时在区间0,0.10上的数值解,欧拉(Euler)方法,再补例子：,例,在区间0,1.5上，取h=0.1。,（1）用欧拉法计算公式如下：,（2）用改进欧拉法计算公式如下：,计算要点,步长区间改进欧拉法（两步走）前提：欧拉法、梯形法,