带流动的日冕磁片中驻立 kink 模和 sausage【推荐论文】.doc

带流动的日冕磁片中驻立 kink 模和 sausage模的周期比陈延军，于慧，李波5（山东省光学天文与日地空间环境重点实验室，山东大学（威海），威海 264209） 摘要：驻波的基模与高次谐模周期之比在日冕的磁震学应用中有重要价值。我们系统考查流 动对磁片所支持驻立 kink 和 sausage 模周期比的影响。为此对色散关系进行了数值求解，并 构造了计算周期比的简单方法。结果表明流动对于驻立快 kink 和 sausage 模都有显著影响。10对 kink 模，在所考虑参数范围内，与静态情形相比，周期比减小幅度可达 23%。对 sausage模，与静态情形相比，周期比减小幅度仅约 5%，但流动对波模的可观测性有非常大的影响： 只有对于足够宽的磁片才能支持驻立 sausage 模。当密度比给定后，其截至横纵比甚至能达到静态情形时的几倍。这表明将多周期用于冕震学应用时必须要考虑流动的效应。关键词：磁流体力学；日冕；震荡与波15中图分类号：P354.1The Period Ratio for Standing Kink and Sausage Modes in aCoronal Magnetic Slab with Siphon FlowChen Yanjun, Yu Hui, Li Bo20(Shandong Provincial Key Laboratory of Optical Astronomy & Solar-TerrestrialEnvironment,Shandong University Weihai,Weihai 264209)Abstract: In seismological inferences of physical parameters of discrete coronal structures, the ratio of the period of the fundamental mode to twice the one of its first overtone plays an important role. We examine how introducing the flows affects the dispersion properties of25standing kink and sausage modes supported by magnetic slabs with siphon flows, thereby expanding recent studies where the slabs are static. We numerically solve the dispersion relations pertinent to such a system, and devise a graphic means to construct standging modes. The flows have significant effects, for the fast kink and sausage modes alike. For the kink ones, they may reduce the ratio of the period by up to 23% compared with the static case. For the sausge modes,30while introducing the flow reduces the ratio of the period by typically about 5% relative to the static case, it has significant effects on the threshold aspect ratio only above which the modes can exisit. We conclude that the flow effects should be considered in seismological applications of multiple periodicities to coronal structures.Key words: Magnetohydrodynamics, Solar Corona, Oscillations and waves350引言迄今为止，已有大量观测证据表明，结构化日冕中存在波和震荡现象1-4。而冕环所支 持的波模较多的则是快慢磁声波。我们已通过 SoHO/SUMER 观测到了驻立的慢波5-7。同样 SoHO/UVCS8、SoHO/EIT9以及 TRACE10-14观测到了传播的慢波的存在。另一方面，驻立40kink 模则是被观测到最为频繁的快波15-17。除此之外，传播 kink 模18、驻立 sausage 模19-21以及传播 sausage 模22-23的观测事实就要相对少很多了。 目前，已有观测证实日冕震荡结构中存在着多周期现象。Van Doorsselaere 等24观测到基金项目：国家自然科学基金（编号 40974097、41204115），教育部博士点基金（编号20110131110058）作者简介：陈延军（1988-），男，硕士研究生，空间物理通信联系人：李波（1976-），男，教授，空间等离子体物理. E-mail: bbl了同时存在的时间尺度相差较大的快、慢模。而时间尺度相当的基模与其谐模的共存现象也已被观测到，包括 kink 模25-26，sausage 模19-20以及慢波27。45记基模周期为 P1 ，第一谐模周期为 P2 。由观测即可得 P12 P2 的值25-26。对均匀细长冕环，这一比值应非常接近于 1。Andries 等28-29认为纵向结构化(包括密度分层和磁场的不均匀性)是引起 P12 P2 偏离 1 的最主要原因，并由此建议利用这一偏离来进行冕环纵向结构信息的推测28,30,31。在日冕震荡结构中经常曾观测到流动的存在32-33 。其中小于 Alfven 速度的量级(约为50100km s-1 )的流动，对于细冕环所支持的 kink 模的基模和谐模周期影响较小34。故在用周期比偏离 1 进行磁震学应用时可忽略其影响。但其中有一部分达到 Alfven 速度量级的流动(103 km s-1 )35-36，则对推测得到的冕环参数有较大影响37。前面已提到多周期现象在冕震学中的重要性，以及 Alfven 速度量级的流动对于冕震学应用的影响。自然地，我们将进一步研究流动如何影响多周期。Ruderman34已进行了柱坐55标几何下，细流管近似情形下的相关研究。而 Macnarama & Roberts38是迄今唯一对磁片模 型下的周期比所进行的理论研究。其结论认为横向结构化对于周期比偏离 1 也是有贡献的。 我们的研究考虑了带流动的磁片模型，对 Macnarama & Roberts38 (其采用了静态磁片模型) 进行补充与扩展。并将考查流动对于色散特性以及驻立 kink 模和 sausage 模周期比的影响。1色散关系和色散关系图概述601.1磁片色散关系我们采用的磁片模型半宽为 d ，边界面为 x = ±d 。磁片在 y 和 z 方向上无限延伸。下 标 0 和 e 依次代表磁片内外的均匀参数。背景磁场 B0 和 Be ，以及背景流动U 0 和U e 都是沿s A着 z 向的。 r 和 p 分别代表质量密度和热压。根据边界面两端的平衡条件，我们可以得到：r 2c2 + g v2 e =0A0 ,(1)eA0r 2c2 + g v2e65其中绝热指数g = 5 3 ，c =g p r 为绝热声速，v= B 为 Alfven 速度，c =cs vA 为流管速度。A 4prT c2 + v2我们假定波只在 x - z 平面内传播，且所有扰动量都可以描述为如下形式：d f ( x, z; t ) = Re f% ( x ) exp éëi (kz - wt )ùû ,(2)其中 Re (.) 表示取虚数的实部。我们定义70m2 =i i Ai( k 2c2 - W2 )( k 2v2i- W2 ),(3)i ( c2 + v2 )( k 2c2 - W2 )iAiTi i其中 i 取 0 和 e。为了确保波在磁片两侧是衰减的，我们取 m2 > 0 。在另一方面， m2 的符e0号则决定了波的种类。当 m2 > 0 时，波在磁片内部消逝，为表面波；当 m2 < 0 时，波在磁0 0片内震荡，为体波。将(2)式代入线性理想 MHD 方程组，并结合拉格朗日位移的 x 分量x x 和总压扰动d pT 在75磁片边界面上的连续性，就可以得到带流动磁片模型的色散关系39。其中表面波的色散关 系为：r m év2- (v- U )2 ùe 0Aepheìtanh ü= - íý ( m0 d ) ;(4)r m év2- (v- U )2 ùîcoth þ体波的色散关系为：0 eA0ph0r n év2- (v- U )2 ùe 0Aepheìtan ü= - íý ( n0 d ) 。(5)r m év2- (v- U )2 ùîcot þ0 eA0ph080在(4)式和(5)式中，右边括号内上下两种情形分别代表 kink 模和 sausage 模的情形。1.2磁片色散关系图概述为了简单起见，我们首先对色散关系图中存在的对称性以及速度参数的选取进行介绍。首先来看两类对称性：(1)根据 m2 的定义(2.10)式，我们发现无论波数 k 取正或负，m2 和 m2i 0 e的值都不会产生变化。这就是说，vph - k 色散关系图左右两边的图形是关于相速度 v ph 轴对85称的。(2)为使问题简单化，我们假定磁片外纵向流动Ue = 0 ，即只考虑存在片内流动U 0 的情形。此时由(2.10)式我们可以得到以下结论：若 éëvph ,U0 , k ùû 为色散关系的一个解，那么相应的 -vph , -U0 , k ùû 也是它的一个解。换言之，背景流动U 0 为正(沿着 z 向)与U 0 为负(沿着- z 向)时的色散图形是关于 k 轴对称的。因此，我们只需考虑U 0 为正时，第一和第四象限中的色散图形就足够了。90我们的研究采用了日冕磁片模型。在日冕环境中，磁片内外特征速度必须满足如下大小关系： v > v> c > c 。计算中，我们选取 c= 0.72c ， v= 4c 。以 TRACE 观测Ae A0 0 ee 0 A0 00时采用的波长为 171A 的谱线( 对应温度为0.96MK) 为例，可得 c0» 130 km s -1 ，于是Aec » 93 km s -1 ， v0» 520 km s-1 。这一系列值与 Nakariakov & Ofman40值非常接近。由冕环内外平衡条件(1)式，取片外和片内 Alfven 速度之比 v v = 2 (3, 4) 时，可得内外密95度比 r0re = 3.67 (8.41,14.9) 。Ae A0100图 1：色散关系图. (a)至(d)分别对应于片内 Mach 数为 0, 0.8, 1.2, 3.2 的情形。Fig1： Dispersion Diagram. Panels (a) to (d) correspond to an internal Mach number of 0, 0.8, 1.2, 3.2, respectively.图 1 是给定背景流动条件下，求解(4)和(5)式得到的 v ph - kd 色散关系图。我们同样以片内声速 c0 来度量U 0 ，即 M 0 = U 0c0 。图 1 中从上到下 a、b、c、d 四栏依次代表背景流动 M 0 = 0, 0.8,1.2, 3.2 时的情形。图中虚线代表 kink 模，实线代表 sausage 模。在每一栏的左边，我们标注了片外的特征速度，从上到下依次为 v ， c ， c ， -c， -c和 -v 。AeeTeTee Ae105由于 c 和 c 的值非常接近，故我们很难区分出-c , -cùû 和 éëc e , c ùû 两个区间。而当相速Teee Te T eph e度 v处于这两个区间内时，m2 < 0 ，即此时各类波模都是被禁止地。在每一栏的右边，我们标注了片内的特征速度，由上到下依次为 v+U ， c+ U ， c+ U ，A000 0 T0 000 A0 0ph-cT + U 和 -v +U 。当 v- U 0 处于 -v, -c ùû ，-c , c ù 和 éc , v ù 这三个区间内û ë û00 0 0A00T T 0 A0ph时， m2 > 0 ，即波模为表面波；当 v- U 0处于剩余四个区间内时， m2 < 0 ，此时波模为110115120体波。由图可见，日冕磁片模型中不存在表面波，无论背景流动存在与否。这与 Nakariakov& Roberts39的结论一致。 为描述方便，我们以字母和数字混合的方式(F/B+F/S+K/S+1/2/3)对图中各支波模进行命名。如图 1b 所示，名称中第一个字母代表波模的方向，它由静态情形下 v ph 的符号决 定，其中 F(B)代表前(后)向波。第二个字母由波模相速度大小决定，F(S)代表快(慢)波。第 三个字母表示波模的类别，K(S)代表 kink(sausage)模。最后的数字则代表波模出现的顺序。由此， 第一支前向快 kink 模和第二支后向快 sausage 模分别可以用 FFK1 和 BFS2 来表示。由图 1a 我们可以看到，静态情形(U0 = 0 )下，色散图形的上下部分是完全对称地；而 随着背景流动U 0 的增加(图 1b,c,d)，图形变得越来越不对称，即色散性质对背景流动U 0 有 着明显的依赖。下面我们将依次介绍图中快慢波模的性质。慢波指的是静态情形时相速度 v ph 为声速量级的波模。从图 1 中我们可以看到，随着U 0的 增 加 ， 慢 波 的 图 形 整 体 向 上 移 动 。 并 且 不 论 U 0 取 何 值 ， 其 图 形 总 是 位 于0 û-c0 + U0 , -cT + U0 ù 和éëcT0 +U0 , c0 +U0 ùû 这两个区间内。当波数 k 较小时，慢波的相速度趋近于U00 ± cT；当波数 k 较大时，其相速度则趋近于U0 ± c0。这一点我们可以通过125相应地解析推导来得到。首先考虑细磁片( kd ® 0 )情形。与 Roberts41类似，我们取()22 (2 2 )vph -U0® c 1 + vk dT0，(6)其中 v > 0 。此时 n2 ®¥ ，但是 n d 却为一个非零的有限数：0 0(c2 - c2 )(v2- c2 )n0 d »0T0(c2 + v2A0T0) vc2。(7)0A0T0130此时对于 kink(sausage)模，为了满足 n0 cot (n0d )(n0 tan (n0d ) 为有限值这一条件，必须使得 cot (n0d )(tan (n0d ) 的值接近于 0。由此可以得到2 2 2n0 d» hj ,(8)其中ì ( j -1 2)phj = íî jpkink sausage(9)135j = 1, 2,. 。结合(7)和(8)式，可以推得v =c4T0c2v2 h2。(10)0 A0那么当 kd ® 0 时，慢波相速度可以表示为c40vph= U ± cT01+ T0c2v2 h2k 2d 2 。(11)0 A0 j同理，我们可以推得在 kd >>1 近似条件下，慢波相速度的表达式：140v = U ± c2 2c g1- 0 j(kd )-2 ,(12)ph00其中2 - c2vA0ì jpkinkîg j = í( j -1 2)p,(13)sausagej = 1, 2,. 。(11)和(12)两式中的正负号分别代表色散图中上下两类慢波，即前向和后向慢波。0由(11)式我们还可以发现，当U0 > cT( M 0 值不小于 0.97)时，后向慢波(包括 BSK 和 BSS)145的相速度符号会由静态情形下的负号变为正号。在图 1c 和 d 中，清晰地呈现了这一点。在(9)和(13)式中，我们发现 j 的取值有无数种可能，即存在无数支慢波。但是由于 c 和 c 的T00值非常接近，使得我们很难在图中区分出这无数支的慢波，这一点对 kink 模和 sausage 模都 成立。0由图 1 我们发现慢波是近似无色散的。而我们考虑的 P12 P2 偏离 1 完全是由波的色散150所引起地，因此我们不再考虑慢波。相反地，我们发现快波存在明显的色散，因此自然会对其进行研究。所谓快波，指的是静态情形下相速度达到 Alfven 速度量级的波模。由图 1 我们看到随 着U 0 的增加，上下部分的快模表现出完全不同的性质：在上半部分，快波的色散相应地减e 0 0 û 0小；而在下半部分，色散则相应增加。不论 U 0 取何值，前向和后向快波总是位于155éëvA0 + U0 , vAe ùû 和-vA , -vA + U ù 两个区间内。当 kd ? 1 时，快波相速度趋近U 0 ± vA ，其中正负号分别代表前向和后向快波。与慢波类似，我们可以得到快波在 kd ? 1 时的相速 度表达式：v= U ± v2 2v h1+ A0 j0(kd )-2 。(14)ph0A02 - c2vA0160从图中，我们还可以看到，除第一支快 kink 模(FFK1 和 BFK1)以外的其余快模，都存在截止现象。其截止波数可以表示为c(kd )其中±= g j L ,(15)(c2 + v2) é(v2m U 2 ) - c2 ùL± =0 A0 ëAe 0T0 û。(16)é(v2m U 2 ) - c2 ù é(v2m U 2 ) - v2 ùëAe0 0 û ë Ae 0A0 û而对于第一支快 kink 模，我们可以推导其相速度在细磁片近似( kd = 1 )下的表达式165v± » ±v1 -h ± ( kd )2 ,(17)ph Ae其中(vTe2Ae2 é(v2m U 2 ) - v2 ù(v2- c2 )eAeh ± = æ r0 ö ë Ae 0 Ae û Ae e 。(18)r(vç÷Aeè e ø2 + c2 ) v22- c2 )+ -170175式中 vph 和 vph 分别代表 FFK1 和 BFK1 的情形。这一部分的研究与 Nakariakov & Roberts39(以下简称 NR95)中 3.2 节相似，不过我们对 其进行了扩展与补充。对于细磁片近似下( kd ® 0 )的慢波，与 NR95 中(16)式相比较，我们 补充了 v ph 为负时的情形(11 式)；并且我们还给出了宽磁片( kd ? 1 )近似下慢波的表达式 (12 式)。对于快波，我们不仅推导了 kink 和 sausage 模在时的 v ph 表达式(14 式)，还 给出了细磁片近似下 FFK1 和 BFK1 的 v ph 表达式(17 和 18 式)。在给定截止波数时，与 NR95 中仅描述 v ph > 0 的情形(其第 13 式)相比，本文中(15)和(16)式同时考虑了 v ph 为正或负的情形。2驻波周期比2.1周期比计算方法1802.1.1驻波的构造假定有两列频率相同(都为w )的波，其波数分别为 k r 和 kl加以后的拉格朗日位移可以写为( kr > kl )。那么这两列波叠xx ( x, z; t ) = Rexx,l ( x ) exp-i (wt - kl z )ùû + Rexx,r ( x ) exp-i (wt - kr z )ùû(19)% %。我们取磁片的长度为 L，且磁片两端分别为 z = 0, L 。为了构造驻波，我们要求磁片两端四185点在任意时刻，其拉格朗日位移都为零，即xx (±d, 0;t ) = xx (±d, L;t ) = 0 。(20)首先考虑 x = d , z = 0 这一点，将其带入(19)式，可以得到：x,lx,rx% (d ) = -x% (d ) 。(21)x,l x这意味着我们不妨取x% (d ) = A 为实数，并将其代入(19)式：xx ( d , z; t ) = Ax éëcos (wt - kl z ) - cos (wt - kr z )= -2 Asin æ kr - kl z ö sin æ wt - kl + kr z ö 。(22)x ç2÷ç2÷结合(20)式，我们取 z = L ，得到：èøèø190kr - kl= 2p n , n = 1, 2,. 。(23)L这就是磁片模型下，构成驻波的两列行波的波数所需满足的条件。一般地，我们称 n = 1 时 的驻波为基模， n = 2 时为其第一谐模。1952.1.2波模的选取以图 1b 为例，我们可以将 vph - k 图转换成w - k 图(图 2)。图中第一、二象限的图形分别来自图 1b 的上、下部分。其中第二象限的图形是通过将 (+k, -vph ) 的曲线转换成(-k, -vph ) ，即由 -w 转换成 +w 后得到的。图 2a 和 2b 依次为 kink 和 sausage 模的情形。 现在考虑图 2 中各支波模的组合，来看其是否能构成驻波。首先来看 kink 模和 sausage 模的组合。我们知道 kink 和 sausage 模的拉格朗日位移分别为 x 的偶函数和奇函数。假定 k r和 kl 分别为 sausage 模和 kink 模的波数，那么根据(22)式，可得xx (-d , z; t ) = Ax ëécos (wt - kl z )+ cos (wt - kr z )ùû200= 2 Acos æ kr - kl z ö cos æ wt - kl + kr z ö 。(24)x ç2÷ç2÷èøèø由上式可以发现，对于满足(23)式的 kink 和 sausage 模组合，其 z = 0, L 节点处的拉格朗日 位移并不恒为零。这意味着，kink 和 sausage 模的组合无法构成驻波。205图 2：色散关系图。(a) 驻立 kink 模，(b)驻立 sausage 模。Fig2：Dispersion Diagram. (a) Standing kink modes, (b) standing sausage modes.再看图 2a 中快慢 kink 模的组合。我们可以通过磁片中密度扰动与拉格朗日位移的比值关系来验证00r r0 =dm2 (w - kU 2 )2pT，(25)xdé 2 2( )2 ù dpdxxëk c0 -w - kU 0ûT其中， p%T 为总压扰动的傅里叶振幅。对于体波，由210可以得到dp%Tdx p% = ìïTíïîn0 cot ( n0 x )-n0 tan (n0 x )kink sausage(26)r r (v- U )2ì (n d ) tan (n d )kink 0=ph0ï 00。(27)c2x d (vU )2í- (n d ) cot (n d )sausagex x=d ph - 0- 000e考虑细磁片情形( kd ® 0 )下的 BFK1，其相速度 vph ® -vA，且 no d ® 0 。由此上式可简r2x化为 r0 »(v ph -U0 )( )2 。结合 c2 = v2 ，并忽略背景流动的存在，我们得到该比值近似00x d (v ph-U )2 -c2n0 d 0 A0215为一个非常小的值 ( rr -1) (kd )2 。这就意味着对于快 kink 模，拉格朗日位移相较密度0 e扰动更为显著。考虑 kd ® 0 近似下的慢模，我们得到 (vphT0- U0)2 ® c2 。那么(27)式中 kink模情形可近似为 - (v2c2 )(n d ) tan (n d ) 。结合(9)式，我们发现当 n d ® ( j -1 2)p 时，Ae 0 o 0 0220225230该比值是一大数。这就是说，与快 kink 模相反，慢模情形下的密度扰动更为显著。那么若快慢 kink 模叠加后形成驻波，振幅达到磁片宽度量级的横向位移会导致相对振幅超过 1 的 密度扰动。也就是说，磁片在如此小的位移条件下，其内部某些位置的密度会变为零乃至负 值！因此，快慢 kink 组合构成驻波是不现实的。再看快慢 sausage 模的组合。以 FSS(BSS)和 FFS1(BFS1)为例，由图 2b 可以看到，此 类驻波的存在要求磁片横纵比 d L 相当大。对 FSS 和 BFS1 叠加的情形，驻波的出现要求 d L 不小于 0.72，如此大的横纵比在观测上或许并不现实。最后来看快 kink 与快 kink 模，或快 sausage 与快 sausage 模的组合。若选取 BFK2 或 BFS2 等高次谐模来构造驻波，与快慢 sausage 模的组合相似，同样要求支持驻波出现的磁 片 d L 相当大。以 FFK2 和 BFK2 的组合为例，驻波的出现要求磁片 d L 要大于 0.85，而 FFS1 和 BFS2 的组合更是要求 d L 大于 0.95。结合以上的讨论，我们的计算只考虑 BFK1 和 FFK1，以及 BFS1 和 FFS1 这两类组合形成的驻波。2.1.3周期比的计算由(23)式，结合色散关系图(图 2)，我们构建了一种在给定 d L 条件下，计算P1 2 P2 的简单图形方法。以图 2a 为例，假定一条水平虚线与 BFK1 和 FFK1 这两支模的交235点分别为 A 和 B。对于给定的 d L ，由(23)式可得，满足 AB = 2p d L 时的角频率即为基模角频率；而满足 AB = 4p d L 时的角频率即为其第一谐模的角频率。由此即可计算驻波周期比 P12P2 = w22w1 。2.2驻立 kink 模的周期比图 3 即我们根据上述方法计算得到的驻立 kink 模周期比 P12 P2 与磁片横纵比 d L 的关系图。我们考虑了一系列背景流动( M A = 0, 0.2, 0.4, 0.8 )的情形，分别用不同的颜色表示。240可以看到，这五种情形下的曲线都有相类似的变化趋势：当 d L 较小时， P12 P2 由 1 开始减小；随着 d L 增大， P12 P2 减小至最小值 ( P12P2 )min后又开始增大。与静态情形相比，随着背景流动的增大， P12 P2 偏离 1 的程度也相应增大。以 ( P12P2 )min为例，静态情形和背景流动 M A = 0.8 时的周期比值分别为 0.851 和 0.657，其减小幅度达到 22.8%。在这两种情形下出现 ( P12P2 )min的横纵比 (d L)min为 0.137 和 0.139。考查 d L 更小时的情形，以其245取值 0.03 为例，静态情形下 P12P2 = 0.939 ；而片内流动 M A = 0.8 时 P12P2 = 0.8 。这就说明，即使在 d L 较小时，背景流动的存在对于周期比的影响也是不可忽略的。与 Macnarama& Roberts38相比较，我们的研究得到了相同的结论：即使在细磁片情形下，横向结构化对 于周期比偏离 1 依旧有贡献。进一步地，他们认为横向的密度分层是引起色散的唯一因素。而我们的结论对此进行了补充，即横向的流动剪切对此也有显著影响。因此，在用 P12 P2 相250对 1 的偏离来推测纵向分层信息时(如 Andries 等28)，最好计入这些由横向结构化所引起的 色散。当磁片内外密度比值较大，或片内存在强流动的情形下，更是如此。图 3：驻立 kink 模周期比与磁片横纵比关系图Fig3：Period rationas a function of the slab aspect ratiofor standing kink modes255图 4a 和 4b 分别为驻立快 kink 模的最小周期比 ( P12P2 )min和其对应的横纵比 (d L)min与 Alfven 马赫数 M A 的关系图。我们分别计算了内外 Alfven 速度比 v v = 2, 3, 4 的情形，AeA0并用不同的颜色表示。由图 4a 我们可以看到，对于给定的 Alfven 速度比(密度比)，背景流动的存在对于 ( P12P2 )有着非常显著的影响。以 v v = 4 的情形为例，可以明显看到minAe A0( P12P2 )min由静态情形的 0.778 减小至 M