初 等 矩 阵 的 应 用.doc

编号 学士学位论文初 等 矩 阵 的 应 用学生姓名： 阿依努尔.玉苏甫 学 号： 20060105009 系 部： 数学系 专 业： 信息与计算科学 年 级： 2006年级7班 指导教师： 阿布都瓦克.玉奴司 完成日期： 2011 年 5 月 1 日摘 要本文主要是通过建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系和实际例子，进一步体现出矩阵的初等变换与初等矩阵之间的密切关系，并且在这个基础上介绍初等矩阵的六种应用.关键词：矩阵；初等变换；初等矩阵；可逆矩阵目录摘 要1引言11.基本概念及基本定理11.2.1 互换两行或列21.2.2 以数乘某行或列31.2.3 以数乘某行(列)加到另一行(列)上去32.主要结果42.1初等矩阵在求逆阵的应用42.2 初等矩阵在求矩阵秩的应用62.3初等矩阵求出或中的应用72.4 初等矩阵在解方程组中的应用92.5 初等矩阵在确定向量组的线性关系的应用102.6 初等矩阵在矩阵的三角分解()中的应用10总 结12参考文献13致 谢14引言初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本变换，应用广泛，并且三种初等变换都有一个与之相应的初等矩阵，即互换两行或列，以数乘某行或列，以数乘某行（列）加到另一行（列）上去. 利用初等矩阵与矩阵的初等变换之间的关系，本文主要介绍初等矩阵的六种应用；1.初等矩阵在求逆矩阵上的应用；2.初等矩阵在求矩阵秩的应用；3.初等矩阵求出或中的应用；.初等矩阵在解方程组中的应用；.初等矩阵在确定向量组的线性关系中的应用；.初等矩阵在矩阵三角分解（LU）分解中的应用；通过举例使得对初等矩阵的应用的认识更加深刻.1.基本概念及基本定理定义1.1 一个矩阵的行（列）初等变换是指对矩阵施行的下列变换1）交换矩阵的某两行（列）；2）用一个非零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个非零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；3）给矩阵的某一行（列）乘以一个数后加到另一行（列）上，即用某一个数乘矩阵某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上.把上述三种初等变换分别叫做矩阵的第一种，第二种和第三种行（列）初等变换.一个很自然的问题是，给定一个矩阵，通过若干次初等变换可把化为一个什么样形状简单的矩阵呢?下述定理给我们一个完美的回答. 定理1.1 设是矩阵通过行初等变换和第一种列初等变换能把化为如下形式，进而再用若干次第三种列初等变换可化为如下形式，这里.定义1.2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.显然,初等矩阵都是方阵,每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵,即三种初等变换对应着三种初等方阵.1.2.1 互换两行或列 互换中第两行，即，得初等方阵 1.2.2 以数乘某行或列以数乘E的第行，得初等矩阵第行 .1.2.3 以数乘某行(列)加到另一行(列)上去以乘的第行加到第行上，或以乘的第列加到第列上， . 利用矩阵乘法的定义，立即可以得到 定理1.2设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.不难看出初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.事实上，变换的逆变换是其本身，则；变换的逆变换为，则 ；变换的逆变换为，则. 定理1.3 设为可逆方阵，则存在几个初等方阵，使. 推论 矩阵的充分必要条件是存在阶可逆方阵及可逆方阵，使.2.主要结果2.1初等矩阵在求逆阵的应用 当时，由，有，及，即对矩阵施行初等行变换，当把变成时，原来的就变.这种计算格式也可以用来判断某个矩阵是否可逆，当我们将化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零的行数等于时，则可逆，否则不可逆.例2.1 设，求.解 ；.有时要求，把任意一个阶可逆矩阵化为若干个初等矩阵的乘积.下面看一个有关的例子。例2.2 把下列可逆阵分解为初等阵的乘积. 解 对进行如下初等变换 .写出每一次变换所对应的初等矩阵，并将行变换所对应的初等矩阵用表示，列变换所对应的初等矩阵用表示，并同时写出它们的逆矩阵 ； ； ； ；于是，2.2 初等矩阵在求矩阵秩的应用一般格式 将矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵，即相当于从左边有限次乘以对应的初等矩阵行阶梯形（其中的秩是矩阵的非零行数，即）.定理2.1 初等矩阵乘以一个矩阵不改变矩阵的秩.证明 若中是可逆矩阵,任意矩阵，从定理1.3可逆矩阵可表示为一些初矩阵的乘积，从而矩阵乘一个可逆矩阵相当于左乘一些初等矩阵.据定理1.2这些相当于对矩阵作一些列初等行变换，由初等行变换不改变矩阵的秩，这就证明了。同理右乘可逆矩阵则有，两者合在一起有， ， .例2.3 求矩阵的秩.解由于中有两个非零行，所以.2.3初等矩阵求出或中的应用定理2.2 设是级可逆矩阵，那么证明 而.同理可得，如果求，则可对矩阵作初等列变换例2.4 求矩阵，使，其中 ， .解：若可逆，则是的唯一解. ； .例2.5 设 ， ，则求.解 .也可改为对作初等行变换， ，即得，即可求得.2.4 初等矩阵在解方程组中的应用定理2.3.1 （1）（可以写成），若（1）中可逆，那么它有唯一解.分析：经过有限次行初等变换后，所得的就是这唯一解，也是我们以前的Gauss消元法的来的解。定理2.3.2 方程组中，若,那么有解。(1) 时有唯一解。(2) 时有无穷多解。证明 级子式0,不妨设位于的左上角，则 与 （2） 同解，（2）可以写成 是（1）的一般解，从而 ， 从而可以得出，若，则是唯一解；若，则中为自由未知量，故方程组有无穷多解。 例2.6 求解非齐次线性方程组解 （为在数域的任意常数）2.5 初等矩阵在确定向量组的线性关系的应用 一般格式 设向量组为，以为列构成矩阵，对施行初等行变换，将它化成阶梯形矩阵从而求出其秩，若，则线性无关，若，则线性相关.例2.7 已知, ,讨论的线性相关性。解 计算以向量组成的矩阵的秩向量个数，于是所给向量组是线性相关的。2.6 初等矩阵在矩阵的三角分解()中的应用 把一个n 阶矩阵分解成单位下三角方阵与上三角方阵乘积，即仅用行初等变换就把矩阵化为上三角方阵，一般的当一个n阶矩阵仅用行初等变换就能化为上三角方阵U时，存在若干个第三种初等矩阵使得.类似的，每一个可逆单位下三角方阵的逆矩阵仍是单位下三角方阵；两个单位下三角方阵的乘积仍是单位下三角方阵，由于第三种初等矩阵都是单位下三角方阵，设则也是单位下三角方阵，因此=是的三角分解。 例2.8 将三对角矩阵分解成主对角元为1 的下三角矩阵 和上三角矩阵的乘积，即=.解 由于第三类初等矩阵及其逆矩阵都是主对角元为1的同类型三角阵，因此通过倍加行变换将的主对角线一下元素消为O（此时倍加行变换对应的初等矩阵是主对元为1的下三角矩阵，而将化成上三角矩阵），就可将将分解为，具体作法如下, 总 结 矩阵是现代科学技术不可缺少的数学工具，在本文中初等矩阵是研究逆矩阵，矩阵秩，向量组的线性相关性，线性方程组求解和矩阵分解等的有力且不可替代的工具，是本文讨论的主要对象，通过它的这种工具性可以揭出各种矩阵问题的奥秘，初等矩阵的应用不仅限制在这些方面，还在数学的其他分支以及自然科学，现代经济学，管理学和工程技术领域等方面具有广泛的应用，总而言之，解决矩阵问题中初等矩阵是我们有力的帮手。参考文献1 王朝瑞 编著 .线性代数学习指导 M. 北京：北京理工大学出版社 （1999.9）60-612 任卉主 编.线性代数全程导学及习题全解M. 北京：中国时代经济出版社（2006.6）46-473 苏育才，姜翠波，张跃辉 编. 矩阵理论M.北京：科学出版社,2006.9-104 居余马等编 .线性代数M.北京：清华大学出版社,1994. 77-78 5 陈维新编著.线性代数简明教程M. 北京：科学出版社,2001.8.103-1096 朱玉清 主编. 线性代数M .北京：国防工业出版社,2007.8.77-797 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编 .高等代数M.北京：高等教育出版社 （2003.9）187-190 8 刘仲奎等编. 高等代数 M. 北京：高等教育出版社,2003.6，73-74 致 谢毕业论文是每个毕业生毕业之前的重要问题.在喀什师范学院的教育下，经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高. 在老师的指导下，我的毕业论文顺利通过.他帮助我批阅了好多次，提供这方面的资料和很好的意见，所以非常感谢他的帮助.在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步：怎样开头，怎样继续，怎样结束.非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师.在他们的教育下，使我在个方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础.此致敬礼 阿依努尔.玉苏甫 2011年 4月 25日