特技演员飞跃大象数学建模论文.doc

2011全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2011 年 8 月 22 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号） 特技演员飞跃大象杨玲 杨鹏海 胡先碧摘要关键词： 能量守恒 牛顿定律 概率原则一 问题重述特技演员 影片在拍摄中, 一个激动人心的动作场景将要摄入镜头, 而你是特技协调员!一位特技演员驾驶着摩托车跨越一头大象，随后跌落在借以缓冲的一堆纸箱上. 你需要保护特技演员,而且, 也要使用相对而言较少的纸箱（较低的花费, 不能进入镜头, 等等）。 你的工作如下：确定所用纸箱的大小； 确定所用纸箱的数目；确定纸箱的堆放办法， 还请确定,通过对纸箱的各种调整, 是否会有所帮助 ；然后再将模型推广到不同组合重量（特技演员和摩托车的组合）和不同跨越高度时的情形。二 问题分析特技演员驾驶摩托车飞跃大象后跌落在纸箱上的情形，可以分为两个部分来研究。首先是特技演员驾驶摩托车的飞跃过程，此过程可近似看作是物体的斜抛过程，用牛顿定律即可进行分析讨论。其次，在对纸箱进行讨论。通过研究纸箱的受力，再由能量守恒的原理就可以得出纸箱的大小及数目。在保证特技演员安全的前提条件下，然后通过改变纸箱的堆积方式达到同样的缓冲效果，通过对不同的摆放方式的求解，得出最优的解使得纸箱的利用率最大，最后可以讨论不同重量组合和不同跨越高度的情形。三 变量和符号说明 ：特技演员和摩托车的总质量 ：特技演员和摩托车总的阻力系数：纸箱的总高度 ：纸箱的边长 ：损坏纸箱时所需的总能量 ：摩托车与纸箱的接触面积 ：损坏纸箱时所需的总能量 ：纸箱的边压强度，本文中取2000 ：纸箱吸收能量密度四 模型的假设1. 假设特技演员和摩托车位一个整体；2. 假设飞跃过程中不受空气阻力，可以忽略不计；3. 假设纸箱的成本与纸箱的总的表面积成正比；4. 假设纸箱为正方体；五 模型的建立和求解5.1.1摩托车飞跃大象过程： 首先把特技演员和摩托这看作一个整体，并且考虑空气阻力的影响，建立微分方程组如下：摩托车水平方向的速度：摩托车竖直方向上的速度：摩托车的初始速度：摩托车的末速度与水平方向的夹角：摩托车初始时距地面的高度 假设摩托车的瞬时速度，特技演员和摩托车的总质量为，从而可以得出阻力系数. 假设一般大象高为3米，躯体长约为5米，为了保证特技演员飞跃时的安全，假定跳台的高度约为5米。 用MATLAB解方程组，可以得到飞跃大象时的抛物线，如图所示： （红色的抛物线不计空气阻力；绿色的抛物线计空气阻力） 通过比较两条曲线，可以看出考虑空气阻力时的抛物线和没有考虑空气阻力时的抛物线误差很小，因此可以忽略空气阻力的影响。在跳台高度为H，初始速度为的情况下，根据牛顿定律可以得出落地点与跳跃点的水平距离为米。5.2.1摩托车落地区域：纸箱所在区域可以根据摩托车的着陆点来确定。初速度的标准偏差幅度=0.05；初速度方向的标准偏差为；摩托车多次飞跃大象后的着陆点服从正太分布。根据概率论的原则，落在区间中的概率为0.9973，落在该区间外的概率为0.0027，也就是说摩托车几乎不可能落在区间之外，可以忽略不计。由此可通过方程算出纸箱的所在区域： 再考虑到摩托车的尺寸，可以得出放纸箱的区域为4.56.7m的长方形5.3.1摩托车落地过程： 一个纸箱可以分为三个部分来承受冲击力，上层表面、侧表面和垂直边缘。因此损坏纸箱所需能量可表示为，上表面和侧表面受到的力远远小于垂直边缘受到的力，因此上式可以简化为。记损坏纸箱垂直边缘所需能量为；损坏纸箱上层表面所需能量为，则，为转换系数。损坏纸箱上层表面所需的能量与纸箱的高度成反比，纸箱的边压强度，可得出,则 则可推出 5.3.2纸箱的尺寸和大小的计算：摩托车落在纸箱上时有一个初速度，经过纸箱的缓冲，最后变为0，在这个过程中，作用在摩托车和人上的力必须小于人类所能承受的最大压力，又知道人类所能承受的最大压力大约为12KN，我们取6KN 作为人类某些部分的承受能力，可以算出人在减速过程中的加速度为所以在整个减速过程中的平均加速度根据牛顿第二定律得到在减速过程中：所以为了解决问题，定义一个新的常量纸箱的吸收能量密度。吸收能量密度反应的是一个平均的缓冲能力。设能量吸收密度假设模型中所有的箱子都有相同的能量吸收密度，所以得到待添加的隐藏文字内容3从而得到：通过资料可知纸箱吸收的能量与纸箱的棱的承受力是成正比的，所以有：因此其中a为要求的纸箱的边长，e为纸箱的边压强度。代入数据：得到a=0.225米，h=0.98m5.3.3纸箱的数目需要的纸箱的层数为；宽度上需要的纸箱个数为；长度上需要的纸箱个数为；综合上述结果，可以算出所需的纸箱数量：所以所需的箱子总数为：N=总面积s=65.4.1不同组合下纸箱的尺寸及数目当重量组合改变时，根据上述计算可得下表：表1演员的重量M（单位kg）摩托车的质量M（单位kg）横断面积S（单位）纸箱的尺寸（单位cm）纸箱的数目501291.34222.23632501051.50029.0213250971.37228.02288651291.50023.2333365971.40826.12782根据箱子总数由上面两个等式可以看出所使用的箱子的边长增加时，箱子的数量会明显减小，但是箱子的总表面积会增加。所以箱子的费用也会增加。可见用小尺寸的箱子是非常经济的。因此本模型采用尺寸最小的箱子，边长为0.225米。5.5.1优化纸箱的花费在摩托车飞越大象这一特技中，不能将资金过多的花费在纸箱上，所以通过对纸箱子的表面积的讨论去等效资金的花费。由所需纸箱的总数目，可以得到纸箱的总表面积为：表面积的改变是由纸箱的边长变化所引起的，根据下式 使用matlab对其作图，得到了下图：图2通过观察图2发现，当纸箱的边长变大时，纸箱的数量会减少。对作图可得：图3通过观察可知，纸箱子的表面积与纸箱子的边长大小是成正比的，当纸箱子的边长变大时，虽然纸箱数量在减少，但是纸箱的总表面积在不断的增加，使得花费在不断的上升。所以上述算法中求出的边长在此模型中为最佳答案。在这种情况下，能满足既保护特技演员的要求，又能保证花费最小。六模型的改进6.1纸箱的堆积方式本文针对纸箱堆积列出了两种堆积方式，如图4常规堆积和图5交叉堆积。 图4常规堆积 图5交叉堆积通过对两种堆积方式进行受力分析（如图6）可以发现交叉堆积比常规堆积可以多承受的力（以8个纸箱的堆积为例）。（a） （b）图6 （b图中的代表的是）在分析纸箱问题时可以知道，纸箱承受的单位体积的能量可以用来表示，则可以得出,即8个纸箱堆积时，交叉堆积比常规堆积可以多承受的能量。推广到n个纸箱时，交叉堆积比常规堆积可以多承受的能量。所以应选用交叉堆积的方式。七 模型的评价和推广7.1优点将摩托车的落地点分布当作正太分布，且符合实际，也将问题求解简单化，并利用原则，确定出了纸箱所在区域。在解决问题时，本文设计了一些新的定量，比如吸收能量密度和转化比例系数，等等。这些使得求解过程更加的明了化和简单化，更让人容易明白。7.2缺点本文在考虑摩托车系统撞击纸箱问题时，在许多问题上都比较理想化，或许和实际情形有所误差。八 参考文献1袁国娜，瓦楞纸板托盘的结构及其性能研究，江南大学硕士学位论文，2008年7月2万星火，概率论与数理统计，北京：科学出版社，2008年7月，第四次印刷3 4九 附录附件：考虑到摩托车在撞击过程中水平方向还有速度，所以在水平方向又额外的添加了米的距离，以保证着陆时特技演员的安全。由（7）式可得，将其带入可得由此可得出：需要的纸箱的层数为宽度上需要的纸箱个数为长度上需要的纸箱个数为所以，所需纸箱的总个数为当，时，纸箱的总数为