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复变函数全课件-北京交通大学-闻国光老师,联系方式,闻国光理学院数学系电子邮件：guoguang.wen,2013年9月3日,第一章 复数与复变函数,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅立叶变换和拉普拉斯变换等,复数与复变函数、解析函数、,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处.但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的性质与结果,背景,十六世纪,在解代数方程时引进复数为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩大到复数域在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和发展.,十九世纪奠定复变函数的理论基础三位代表人物:（1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数研究复变函数的映照性质通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.,简单初等函数的泰勒展开式-幂级数的加、减运算(1)复变函数在一点处可导，要比实函数(2)z=x+iy,z=x+iy,f=f(z+z)-f(z)Cauchy 积分公式的推广到复连通域(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留若z0为f(z)的m(m 1)级极点3 复数的乘幂与方根定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂，积分存在的条件及其计算法任一条简单闭曲线 C：z=z(t)，ta，b，把复(不可能把d1的部分映在c内部都是红色,逐渐变但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强定理 设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在,1.复数的概念 2.代数运算 3.共轭复数,1复数及其代数运算,一般,任意两个复数不能比较大小.,1.复数的概念,判断复数相等,定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),2.代数运算,四则运算,z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，,共轭复数的性质,3.共轭复数,定义 若z=x+iy,称z=x-iy 为z 的共轭复数.,(conjugate),1.点的表示 2.向量表示法 3.三角表示法 4.指数表示法,2 复数的表示方法,1.点的表示,数z与点z同义.,2.向量表示法,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边,以 为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，,z=0时，辐角不确定.,当z落于一,四象限时，不变.,当z落于第二象限时，加.,当z落于第三象限时，减.,定理 设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)研究复变数之间的相互依赖关系，现在研究与此相反的问题：由分式线性映射的存在唯一性定理知：若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对例2 计算 的值.复变函数中许多概念、理论、和(cos+isin)n=cosn+isinn一个解析函数能否用幂级数表达?在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有计算沿封闭路线积分中的应用P1353 基本定理推广复合闭路定理是f(z)的三级极点.,由向量表示法知,3.三角表示法,4.指数表示法,引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.,例1 用复数方程表示:（1）过两点 zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆.,解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t+）,例2 方程 表示 什么图形？,解,注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.,2013年9月4日,1.复数的乘积与商 2.复数的乘幂 3.复数的方根,3 复数的乘幂与方根,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.,证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)=r1r2e i(1+2),1.乘积与商,因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.,定理1可推广到n 个复数的乘积.,由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同的,也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和它相等，并且反过来也一样。,注意：Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差.,证明,Argz=Argz2-Argz1,由复数除法的定义 z=z2/z1，即 z1z=z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（z10）,设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein.,2.复数的乘幂,定义,问题 给定复数z=re i，求所有的满足n=z 的 复数.,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现.,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点.,1.区域的概念 2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域,4 区 域,1.区域的概念,邻域,复平面上以 z 0为中心，任意 0为半径的圆|z-z 0|(或 0|z z 0|)内部的点的集合称为点 z 0 的（去心）邻域.记为(z0,)即，,设G是一平面上点集,连通是指,D-区域,2.简单曲线（或Jardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：z=z(t)，atb,3.单连通域与多连通域,简单闭曲线的性质,例如|z|0）是单连通的；0r|z|R是多连通的.,多连通域,单连通域,作业,P31 1（）（），（）（）（），（）（），（）（）（）（）（）（）,1.复变函数的定义 2.映射的概念 3.反函数或逆映射,5 复变函数,1.复变函数的定义,与实变函数定义相类似,例1,例2,在几何上，w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,2.映射的概念,复变函数的几何意义,以下不再区分函数与映射（变换）.,在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,见图1-11-2,旋转变换(映射),见图2,例4,解,图1-1,图1-2,图2,例5,3.反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,定义 设 w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*,例 已知映射w=z3，求区域 0argz 在平面w上的象.,例,第三次课),1.函数的极限 2.运算性质 3.函数的连续性,6 复变函数的极限与连续性,1.函数的极限,几何意义:当变点z一旦进入z0 的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的邻域中,(1)意义中 的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.,(2)A是复数.,2.运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3)若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,例1,例2,例3,3.函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续.,证明,定理4 连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数.,有界性：,第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数,1.复变函数的导数定义 2.解析函数的概念,2.1 解析函数的概念,一.复变函数的导数,(1)导数定义,如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导.,(1)z0是在平面区域上以任意方式趋于零.,(2)z=x+iy,z=x+iy,f=f(z+z)-f(z),例1,(2)求导公式与法则,常数的导数 c=(a+ib)=0.(zn)=nzn-1(n是自然数).,证明 对于复平面上任意一点z0，有,-实函数中求导法则的推广,设函数f(z),g(z)均可导，则 f(z)g(z)=f(z)g(z)，f(z)g(z)=f(z)g(z)+f(z)g(z),复合函数的导数(f g(z)=f(w)g(z)，其中w=g(z).,反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.,例3 问：函数f(z)=x+2yi是否可导？,例2,解,解,例4 证明 f(z)=zRez只在z=0处才可导.,证明,(1)复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为z0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故.,(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举.,(3)可导与连续,若 w=f(z)在点 z0 处可导 w=f(z)点 z0 处连续.,?,2.4 解析函数1.解析函数的概念,例如(1)w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析 函数；(3)w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4).,定理1 设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及 f(z)g(z)(g(z)0时)均是D内的解析函数.,定理 2 设 w=f(h)在 h 平面上的区域 G 内解析,h=g(z)在 z 平面上的区域 D 内解析,h=g(z)的函数值集合 G，则复合函数w=f g(z)在D内处处解析.,调和函数,在6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系.,内 容 简 介,7 解析函数与调和函数的关系,定理,证明：设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则,上面定理说明：,由解析的概念得：,现在研究反过来的问题：,如,定理,公式不用强记！可如下推出：,类似地，,然后两端积分得，,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解析函数的关系.,例1,解,曲线积分法,故,又解,凑全微分法,又解,偏积分法,又解,不定积分法,1.解析函数的充要条件 2.举例,2 函数解析的充要条件,如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域 D内处处可导，则函数 w=f(z)在 D内解析.,本节从函数 u(x,y)及 v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.,问题 如何判断函数的解析性呢？,一.解析函数的充要条件,记忆,第四次课,定理1 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D 内有定义，则 f(z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是 u(x,y)和 v(x,y)在点(x,y)可微，且满足 Cauchy-Riemann方程,上述条件满足时,有,证明（由f(z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f(z)的可导 函数 u(x,y)、v(x,y)可微）.,函数 w=f(z)点 z可导，即,则 f(z+z)-f(z)=f(z)z+(z)z(1),且,u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y),令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f(z)=a+ib，(z)=1+i2 故（1）式可写为,因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y,所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.,（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f(z)在点z=x+iy处可导）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：,定理2 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要 条件是 u(x,y)和 v(x,y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.,利用该定理可以判断那些函数是不可导的.,使用时:i)判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.,iii)求导数：,前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.,二.举例,例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：,解(1)设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则,解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则 u=excosy,v=exsiny,仅在点z=0处满足C-R条件，故,解(3)设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则,例2 求证函数,证明 由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：,故函数w=f(z)在z0处解析，其导数为,例3,证明,例4 如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，且f(z)0，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里C1、C2常数.,那么在曲线的交点处，i)uy、vy 均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为,解,利用C-R方程 ux=vy,uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交.,ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=，k2=0（由C-R方程）,即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交.,练习:,a=2,b=-1,c=-1,d=2,1.指数函数 2.三角函数和双曲函数 3.对数函数 4.乘幂与幂函数 5.反三角函数与反双曲函数,3 初等函数,本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它们的解析性.,内 容 简 介,一.指数函数,它与实变指数函数有类似的性质：,定义,这个性质是实变指数函数所没有的.,例1,例2,二.三角函数和双曲函数,推广到复变数情形,正弦与余弦函数的性质,思考题：,由正弦和余弦函数的定义得,其它三角函数的定义(详见P51),双曲正弦和双曲余弦函数的性质,三.对数函数,(1)对数的定义,故,特别,第五次课,(2)对数函数的性质,见1-6例1,例4,四.乘幂 与幂函数,乘幂ab,定义,多值,一般为多值,q支,(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致.,(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂 意义一致.,解,例5,幂函数zb,当b=n(正整数),w=z n 在整个复平面上是单值解析函数,除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值.,作 业,P67 2,8,15,18,第三章复变函数的积分,1.有向曲线 2.积分的定义 3.积分存在的条件及其计算法 4.积分性质,1 复变函数积分的概念,1.有向曲线,由2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分c fdz与路径无关，只与起点和终点有关.一个解析函数的导数仍为解析函数.法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有(1)复变函数在一点处可导，要比实函数-含有正负幂项的级数简单曲线（或Jordan曲线)(conjugate),n)为单位圆|z|=1内的 f(z)的孤立奇点.v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为“”若z0为f(z)的m 级极点例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在v=bx+ay+2x+1y,2.积分的定义,定义,3.积分存在的条件及其计算法,定理,证明,由曲线积分的计算法得,4.积分性质,由积分定义得：,例1,解,又解,例2,解,=,=,-,=,-,=,-,+,+,0,0,0,2,),(,),(,0,1,0,1,0,n,n,i,z,z,dz,z,z,dz,r,z,z,n,C,n,p,第六次课10月29日,例3,解,解:,例4,分析1的积分例子:,2 Cauchy-Goursat基本定理,猜想：积分的值与路径无关或沿闭路的积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关.,先将条件加强些，作初步的探讨,Cauchy 定理,Cauchy-Goursat基本定理：,也称Cauchy定理,(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图.,推论 设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1B,积分c f(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关.,复合闭路定理：,3 基本定理推广复合闭路定理,证明,B,A,A,E,E,F,F,G,H,说明,此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过f(z)的不解析点.闭路变形原理,例,解,练习,解,1.原函数与不定积分的概念 2.积分计算公式,4 原函数与不定积分,1.原函数与不定积分的概念,由2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分c fdz与路径无关，只与起点和终点有关.,当起点固定在z0,终点z在B内变动,c f(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作,定理 设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且,上面定理表明 是f(z)的一个原函数.,设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，,2.积分计算公式,定义 设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作,定理 设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则,此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强,例1 计算下列积分：,解1),解),例3 计算下列积分：,小结 求积分的方法,第七次课11月5日,利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.,5 Cauchy积分公式,分析,猜想积分,定理(Cauchy 积分公式),证明,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,例1,解,例2,解,本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式.研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点与实变函数有本质区别.,6 解析函数的高阶导数,形式上，,以下将对这些公式的正确性加以证明.,定理,证明 用数学归纳法和导数定义.,依次类推，用数学归纳法可得,一个解析函数的导数仍为解析函数.,例1,解,作业,P100 7(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5),解析函数与调和函数的关系,在6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系.,内 容 简 介,7 解析函数与调和函数的关系,定理,证明：设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则,上面定理说明：,由解析的概念得：,现在研究反过来的问题：,如,定理,公式不用强记！可如下推出：,类似地，,然后两端积分得，,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解析函数的关系.,例1,解,曲线积分法,故,又解,凑全微分法,又解,偏积分法,又解,不定积分法,第八次课11月12日,1.复数列的极限 2.级数的概念,第 四 章 级 数,1 复数项级数,1.复数列的极限,定义,又设复常数：,定理1,证明,2.级数概念,级数的前n项的和,不收敛,例1,解,定理2,证明,由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.,性质,定理3,证明,?,定义,由定理3的证明过程，及不等式,定理4,解,例2：P108,例3,解,练习(P108,例1)：,1.幂级数概念 2.收敛定理 3.收敛圆与收敛半径 4.收敛半径的求法 5.幂级数的运算和性质,2 幂级数,1.幂级数的概念,定义,设复变函数列：,级数的最前面n项的和,若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数,特殊情况，在级数(1)中,2.收敛定理,同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：,定理1 阿贝尔(Able)定理,讨论P142：5,证明,(2)用反证法，,3.收敛圆与收敛半径,由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：,(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛.,(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.,显然，,否则，级数(3)将在处发散.,将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变,小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错.故,播放,(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析.,(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.,4.收敛半径的求法,定理2(比值法),证明,定理3(根值法),定理2(比值法),第九次课11月19日,例1：P111,解,综上,例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:,解(1),p=1,p=2,该级数在收敛圆上是处处收敛的.,综上,该级数发散.,该级数收敛，,故该级数在复平面上是处处收敛的.,5.幂级数的运算和性质,代数运算,-幂级数的加、减运算,-幂级数的乘法运算,-幂级数的代换(复合)运算,幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.,例3：P116,解,解,分析运算,定理4,-幂级数的逐项求导运算,-幂级数的逐项积分运算,作业,P103 30(1)(2),31P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3),1.泰勒展开定理 2.展开式的唯一性 3.简单初等函数的泰勒展开式,3 泰勒(Taylor)级数,1.泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）,以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示.,定理（泰勒展开定理）,分析：,代入(1)得,-(*)得证！,证明(不讲),(不讲),证明(不讲),2.展开式的唯一性,结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数.,利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？,事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:,由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的.,-直接法,-间接法,代公式,由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开,函数展开成Taylor级数的方法：,3.简单初等函数的泰勒展开式,例1,解,(P120),上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.,例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:,解,(2)由幂级数逐项求导性质得：,(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z1.,定理,第十次课11月26日,?,1.预备知识 2.双边幂级数 3.函数展开成双边幂级数 4.展开式的唯一性,4 罗朗(Laurent)级数,由3 知,f(z)在 z0 解析，则 f(z)总可以在z0 的某一个圆域 z-z0R 内展开成 z-z0 的幂级数.若 f(z)在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z-z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1z-z0R2 内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？,例如，P127,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础.,1.预备知识,Cauchy 积分公式的推广到复连通域,-见第三章第18题P101,2.双边幂级数,-含有正负幂项的级数,定义 形如,-双边幂级数,正幂项(包括常数项)部分：,负幂项部分：,级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z-z0=R2 内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R 2外发散.,(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上,3.函数展开成双边幂级数,定理,证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式：,式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：,证毕！,(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么 就利用洛朗（Laurent）级数来展开.,4.展开式的唯一性,结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数.,事实上，,由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法.在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系数的方法.,例1,解,例2,解,例3,解,例4,P132,解:,没有奇点,注意首项,(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式.,小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：,解(1)在(最大的)去心邻域,例5,(2)在(最大的)去心邻域,练习：,(2)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数.,(3)Laurent级数与Taylor 级数的不同点：Taylor级数先展开求R,找出收敛域.Laurent级数先求 f(z)的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远 点的所有使 f(z)解析的环，在环域上展成 级数.,计算沿封闭路线积分中的应用P135,作业,P143 12(1)(3),16(2)(3),第五章 留数,第十一次课12月3日,1.定义 2.分类 3.性质 4.零点与极点的关系,1 孤立奇点,1.定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=0及z=1/n(n=1,2,)都是它的奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未必是孤立的.,除此之外，其它奇点不是孤立的,2.分类,以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类.考察：,特点：,没有负幂次项,特点：,只有有限多个负幂次项,特点：,有无穷多个负幂次项,定义 设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数,没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;,只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级（阶）极点;,有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点.,3.性质,若z0为f(z)的可去奇点,若z0为f(z)的m(m 1)级极点,例如：,z=1为f(z)的一个三级极点，z=i为f(z)的一级极点.,若z0为f(z)的本性奇点,4.零点与极点的关系,定义 不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成,例如：,定理,事实上，,必要性得证！,充分性略！,例如,定理:,证明,“”若z0为f(z)的m 级极点,例,解显然，z=i 是(1+z2)的一级零点,综合,1.留数的定义 2.留数定理 3.留数的计算规则,2 留数(Residue),1.留数的定义,定义设 z0 为 f(z)的孤立奇点，f(z)在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)1 的系数 c1 称为f(z)在 z0 的留数，记作 Res f(z),z0 或 Res f(z0).,由留数定义,Res f(z),z0=c1(1),2.留数定理,定理,证明,由复合闭路定理得：,用2i 除上式两边得:,得证！,求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数.,一般求 Res f(z),z0 是采用将 f(z)在 z0 邻域内展开成洛朗级数求系数 c1 的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.,以下就三类孤立奇点进行讨论：,3.留数的计算规则,规则I,规则II,事实上，由条件,（可以乘比m阶大的因式）,当m=1时，式(5)即为式(4).,规则III,事实上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故由留数定理得：,(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则.,如,是f(z)的三级极点.,-该方法较规则II更简单！,(2)由规则II 的推导过程知，在使用规则II时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更简单.,如,第十二次课12月10日,3.在无穷远点的留数 设函数 f(z)在圆环域 R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分,的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作,f(z)在圆环域 R|z|内解析：,理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线.,这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.,定理二 如果 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末 f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有,所以规则4 成立.,定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.,例 6,作 业,P147 1（1）（4）（7）8（2）（4）（6）（8）9（1）（2）（5）,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数.这就要利用解析延拓的概念.留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分.,3 留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分，变量 x 定义在闭区间 a,b(线段)，此区间应是回路 的一部分.实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：,1.形如 的积分,其中R(cosq,sinq)为 cosq与sinq 的有理函数.,令 z=eiq,则 dz=ieiq dq,而,其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的 f(z)的孤立奇点.,例1 计算 的值.,解 由于0p1,被积函数的分母在0q 2p内不为零,因 而积分是有意义的.,由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.,例2 计算 的值.,解：令,例 3,解：,取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,例 4,例 5,解：,第十三次课12月17日,也可写为,例6 计算 的值.,解 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,例4 计算积分 的值.,解 因为 是偶函数,所以,因此,要算出所求积分的值,只需求出极限,下面将证明,由于,所以,j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可使|j(z)|2,而,由于,在r充分小时,第六章共形映射,1.曲线的切线 2.导数的几何意义 3.共形映射的概念,1 共形映射的概念,1.曲线的切线,设连续曲线,定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线.,2.解析函数导数的几何意义(辐角和模),则,即,保角性,由上述讨论我们有,3.共形映射的概念,定理,在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.,定理一的几何意义.,3.共形映射的概念,定理,1.分式线性映射的定义 2.分式线性映射的性质,2 分式线性映射,1.分式线性映射的定义,分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊映射的复合：,事实上，,定义,规定无穷远点的对称点为圆心o,2.分式线性映射的性质,（详见P195）,定理1,定理2,定理3,在分式线性映射下，圆周或直线上没有点趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若有一点映射成无穷远点，它映射成直线。,作业,P245 1,7,8(1)(5)P246 15(1)(2),16(1)(2),1.分式线性映射的存在唯一性 2.举例,3 唯一决定分式线性映射的条件,定理,1.分式线性映射的存在唯一性,证明,式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。,因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性。,由分式线性映射的存在唯一性定理知：,以下讨论这个映射会把C的内部映射成什么？,(不可能把d1的部分映,入D1，d1的另一部分映入D2).,事实上，,由以上讨论给出确定对应区域的两个方法：,事实上,由上一节和本节的讨论，还有以下结论：,例1,解,2.举例,第十五次课12月31日,例2,解,x,y,(z),o,例3,解,1,例4,解,例5,解,作业,P246 15(1)(2),16(1)(2),1.幂函数 2.指数函数,4 几个初等函数所构成的映射,1.幂函数,幂函数：,上岸,下岸,幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成了原来的n倍，因此，,例1,解:,-i,例2,2.指数函数,上岸,下岸,例3,解,a,b,1,例4,解,复变函数的积分、级数、留数、闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,若 f(z)在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成与一元实变函数相比较要求更高.例4 证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续.