复变解析函数与调和函数的关系复级数的概念幂级数课件.ppt

第六讲,解析函数与调和函数的关系,在,3.6,我们证明了在,D,内的解析函数,其导数,仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节,利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间,的关系。,内,容,简,介,3.7,解析函数与调和函数的关系,.,),(,),0,0,:,),(,2,2,2,2,内,的,调,和,函,数,为,则,称,即,（,方,程,续,偏,导,数,且,满,足,内,具,有,二,阶,连,在,若,二,元,实,变,函,数,D,y,x,y,x,Laplace,D,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,定义,内的调和函数。,是,，,内解析,在区域,若,D,y,x,v,v,y,x,u,u,D,y,x,iv,y,x,u,z,f,),(,),(,),(,),(,),(,?,?,?,?,?,定理,证明：,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,i,v,(,x,y,),在区域,D,内解析，则,x,v,y,u,y,v,x,u,R,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,方,程,由,y,x,v,y,u,x,y,v,x,u,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,2,2,从而有,x,y,v,y,x,v,y,x,v,y,x,u,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,.,),(,),(,具,有,任,意,阶,的,连,续,导,数,理,由,解,析,函,数,高,阶,导,数,定,0,D,2,2,2,2,?,?,?,?,?,?,y,u,x,u,内有,故在,0,2,2,2,2,?,?,?,?,?,?,y,v,x,v,同理有,0,0,?,?,?,?,v,u,2,2,2,2,y,x,?,?,?,?,?,?,?,其中,即,u,及,v,在,D,内满足拉普拉斯,(,Laplace,),方程,:,内的调和函数。,是,，,D,y,x,v,v,y,x,u,u,),(,),(,?,?,?,.,),(,),(,D,),(,的共轭调和函数,为,函数,内构成解析函数的调和,在,称使得,内的调和函数,为,设,y,x,u,y,x,v,iv,u,D,y,x,u,?,定义,上面定理说明：,.,部的共轭调和函数,内解析函数的虚部是实,D,.,),(,),(,),(,),(,),(,的共轭调和函数,必为,内,在,内解析,在,即,y,x,u,u,y,x,v,D,D,y,x,iv,y,x,u,z,f,?,?,?,?,由解析的概念得：,.,:,的共轭调和函数,必为,调和函数,的两个,方程,内满足,在,u,v,v,u,v,u,v,u,R,C,D,x,y,y,x,?,?,?,?,.,一定解析,内就不,在,则,内的两个调和函数,区域,是任意选取的在,若,D,iv,u,D,v,u,?,现在研究反过来的问题：,.,的共轭调和函数,不是,y,x,u,y,x,v,?,?,?,?,如,),1,1,),(,),(,),(,x,y,y,x,v,u,v,u,z,y,x,i,y,x,iv,u,z,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,处处不解析,平面上,在,（,?,由此，,的共轭调和函数,必须是,方程，即,还必须满足,及,内解析,在,要想使,.,u,v,R,C,v,u,D,iv,u,?,?,.,),(,),(,iv,u,y,x,v,R,C,y,x,u,?,?,从而构成解析函数,程可求得它的虚部,方,利用,部,已知一个解析函数的实,),(,(,y,x,v,虚部,),(,(,y,x,u,实部,0,),(,2,2,2,2,?,?,?,?,?,?,y,u,x,u,D,y,x,u,D,则,函数,内的调和,是区域,一单连通区域,设,内有连续一阶偏导数,在,、,即,D,x,u,y,u,?,?,?,?,?,dy,x,u,dx,y,u,dy,y,v,dx,x,v,x,u,x,y,u,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,且,),(,y,x,dv,v,?,?,),(,),(,),(,),(,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,c,dy,x,u,dx,y,u,y,x,v,y,x,y,x,.,.,内,解,析,在,方,程,满,足,D,iv,u,R,C,x,u,y,v,y,u,x,v,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,.,),(,),(,),(,),(,内解析,在,使得,式所确定的,则,内调和函数,在单连通,设,D,iv,u,z,f,y,x,v,D,y,x,u,?,?,?,定理,?,公式不用强记！可如下推出：,dy,x,v,dx,y,v,dy,y,v,dx,x,v,du,R,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,方程,由,然,后,两,端,积,分,。,由,求,其,共,轭,调,和,函,数,已,知,：,方,程,dy,u,dx,u,dy,y,v,dx,x,v,dv,y,x,v,y,x,u,x,y,R,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,:,),(,),(,类似地，,然后两端积分得，,),(,),(,),(,),(,0,0,?,?,?,?,?,?,c,dy,v,dx,v,y,x,u,y,x,y,x,x,y,?,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际,问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解,析函数的关系。,i,i,f,y,xy,x,u,iv,u,z,f,?,?,?,?,?,?,?,?,1,),(,),(,2,2,由下列条件求解析函数,例,1,dy,y,x,dx,x,y,dy,y,v,dx,x,v,dv,x,y,y,u,x,v,y,x,x,u,y,v,),2,(,),2,(,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,解,c,y,xy,x,c,dy,y,x,xdx,c,dy,y,x,dx,x,y,y,x,v,y,x,o,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,),2,(,),2,(,),2,(,),(,2,2,0,),(,),0,0,(,曲线积分法,ic,z,i,ic,iy,x,i,iy,x,c,y,xy,x,i,xy,y,x,z,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,2,2,2,),2,1,1,(,),(,2,),(,),2,1,2,2,1,(,),(,),(,故,2,),2,1,(,),(,2,1,1,),2,1,(,1,),(,2,2,i,z,i,z,f,c,i,ic,i,i,i,i,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,代,入,上,式,得,，,?,?,),(,2,1,),(,2,1,z,z,i,y,z,z,x,?,?,?,?,),2,2,(,2,2,2,2,2,y,x,d,dxy,ydy,xdx,xdy,ydx,?,?,?,?,?,?,?,?,dy,y,x,dx,x,y,dy,y,v,dx,x,v,dv,),2,(,),2,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,又解,c,y,xy,x,y,x,v,?,?,?,?,?,2,2,2,),(,2,2,),2,1,2,2,1,(,),(,),(,2,2,2,2,c,y,xy,x,i,xy,y,x,z,f,?,?,?,?,?,?,?,?,凑,全,微,分,法,),(,2,2,2,2,x,y,xy,v,y,x,y,v,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),2,1,2,2,1,(,),(,),(,2,2,2,2,c,y,xy,x,i,xy,y,x,z,f,?,?,?,?,?,?,?,?,又解,偏,积,分,法,x,y,x,y,x,v,x,v,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,),(,2,?,?,c,x,x,?,?,?,2,),(,2,?,c,x,y,xy,y,x,v,?,?,?,?,?,2,2,2,),(,2,2,x,x,?,?,),(,?,),2,(,),2,(,),(,y,x,i,y,x,iu,u,iv,u,z,f,y,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,),2,1,2,2,1,(,),(,),(,2,2,2,2,c,y,xy,x,i,xy,y,x,z,f,?,?,?,?,?,?,?,?,又解,不,定,积,分,法,),)(,2,(,),(,),(,2,iy,x,i,iy,x,i,iy,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,i,?,?,2,ic,z,i,z,f,?,?,?,?,2,2,2,),(,?,1.,复数列的极限,?,2.,级数的概念,第,四,章,级,数,CH4,4.1,复数项级数,1.,复数列的极限,定义,),2,1,(,n,n,n,n,ib,a,n,?,?,其中,设复数列：,?,?,?,，,ib,a,?,?,?,又设复常数：,时的极限，,当,称为复数列,那么,，,恒有,若,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,N,n,N,n,n,0,0,?,?,?,?,?,?,定理,1,.,lim,lim,lim,b,b,a,a,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,证明,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,N,n,N,恒有,即，,”已知,“,0,0,lim,.,lim,?,?,?,?,?,?,收,敛,于,此,时,，,也,称,复,数,列,时,，,或,当,记,作,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,.,lim,lim,),(,),(,),(,),(,2,2,b,b,a,a,b,b,a,a,b,b,a,a,b,b,i,a,a,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,故,又,?,?,?,?,?,?,?,?,.,lim,),(,),(,2,2,0,0,lim,lim,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,b,b,a,a,b,b,i,a,a,b,b,a,a,N,n,N,b,b,a,a,故,又,，,恒,有,即,，,”,已,知,“,2.,级数的概念,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,?,?,?,?,2,1,1,?,?,?,?,?,?,?,n,i,i,n,n,s,1,2,1,?,?,?,?,?,?,级数的前面,n,项的和,-,级数的部分和,称为级数的和,s,s,n,n,?,?,?,lim,称为收敛,级数,?,?,?,1,n,n,?,不收敛,称为发散,级数,?,?,?,1,n,n,?,-,无穷级数,定义,),2,1,(,?,?,?,?,n,ib,a,n,n,n,?,?,设复数列：,?,?,?,?,?,?,?,收,敛,若,部,分,和,数,列,n,s,?,例,1,解,的敛散性。,判别,?,?,?,1,2,3,n,n,i,i,s,i,i,s,n,n,n,n,j,j,n,3,lim,),2,1,1,(,3,2,3,1,?,?,?,?,?,?,?,?,又,?,.,3,i,且和为,级数收敛,?,定理,2,都收敛。,和,收敛,级数,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,n,n,n,n,n,n,b,a,?,都收敛。,和,由定理，,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,1,1,lim,lim,lim,),(,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,k,k,n,k,k,k,n,k,k,n,k,k,n,b,a,b,a,ib,a,s,i,b,i,a,ib,a,s,?,?,?,?,?,?,证明,?,由定理,2,，复数项级数的收敛问题可归之为,两个实数项级数的收敛问题。,.,0,lim,:,?,?,?,n,n,?,收敛的必要条件,级数,?,?,?,1,n,n,?,性质,定理,3,.,1,1,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,收敛，且,收敛,若,证明,2,2,2,2,2,2,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,b,a,b,b,a,a,b,a,ib,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,收,敛,。,得,由,定,理,均,绝,对,收,敛,，,和,由,比,较,判,定,法,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,2,n,n,n,n,n,n,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,n,n,n,n,n,k,k,n,k,k,?,?,?,?,?,?,收敛.,收敛,若,?,?,?,?,?,?,?,1,1,n,n,n,n,?,?,?,),),1,(,:,(,1,?,?,?,?,n,n,n,i,例如,定义,.,1,1,1,1,1,条,件,收,敛,为,收,敛,，,则,称,发,散,，,而,若,为,绝,对,收,敛,；,收,敛,，,则,称,若,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,由定理,3,的证明过程，及不等式,:,2,2,有,n,n,n,n,b,a,b,a,?,?,?,定理,4,都收敛。,和,收敛,级数,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,n,n,n,n,n,n,b,a,?,解,.,),1,(,1,1,1,),1,(,1,1,2,1,发散,收敛，,发散，,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,n,i,n,n,n,?,绝对收敛。,收敛，,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,0,!,),8,(,!,8,!,8,),2,(,n,n,n,n,n,n,n,i,n,n,i,?,.,),2,),1,(,(,2,1,),1,(,),3,(,1,1,1,收敛,收敛，,收敛，,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,n,n,i,n,n,?,例,2,否绝对收敛？,下列级数是否收敛？是,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,1,1,),2,),1,(,(,),3,(,!,),8,(,),2,(,),1,(,1,),1,(,n,n,n,n,n,n,i,n,n,i,n,i,n,.,),1,(,1,原级数非绝对收敛,收敛，,条件,又,?,?,?,?,?,n,n,n,?,例,3,的敛散性。,讨论,?,?,?,0,!,n,n,n,z,解,敛。,在复平面上处处绝对收,令,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,0,!,!,!,n,n,r,n,n,n,n,n,z,e,n,r,n,z,r,z,练习：,的敛散性。,讨论,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,1,1,n,n,i,e,n,?,的敛散性。,讨论,?,?,?,0,2,cos,n,n,in,2,cos,n,n,e,e,in,?,?,?,一致收敛,(,定义,4.4),如果任给,，可以找到一个只与,有,关，而与,z,无关的正整数,，使得当,时，有,0,?,?,?,E,z,N,n,?,?,),(,?,N,N,?,.,|,),(,),(,|,1,?,?,?,?,?,z,f,z,f,n,k,k,那么我们说级数,在,E,上一致收敛于,f,(,z,),?,),(,z,f,n,注解：,注解,1,、和实变函数项级数一样，我们也有相应,的柯西一致收敛原理,(,定理,4.5),：,柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变,函数项级数,在,E,上一致收敛的必要与充分,条件是：任给,，可以找到一个只与,有关,，而与,z,无关的正整数,，使得当,，,p,=1,2,3,时，有,0,?,?,?,),(,?,N,N,?,E,z,N,n,?,?,.,|,),(,.,),(,),(,|,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,z,f,z,f,z,f,p,n,n,n,?,),(,z,f,n,注解：,注解,2,、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（,M-,判,别法）：设在复平面点集,E,上,.),2,1,)(,(,?,n,z,f,n,有定义，并且设,.,.,2,1,?,?,?,?,n,a,a,a,是一个收敛的正项级数。设在,E,上，,?,),(,z,f,n,.),2,1,(,|,),(,|,?,?,n,a,z,f,n,n,那么级数,在,E,上一致收敛。,定理,4.6,设复平面点集,E,表示区域、闭区域或简,单曲线。设在集,E,上,f,n,(,n,)(,n=,1,2,),连续,，,并且级数,在,E,上一致收敛于,f,(,z,),，那么,在,E,上连续。,?,),(,z,f,n,定理,4.7,设在简单曲线,C,上,f,n,(,n,)(,n=,1,2,),连续,并且级数,在,C,上一致收敛于,f,(,z,),那么,?,),(,z,f,n,1,(,),(,),n,C,C,n,f,z,dz,f,z,dz,?,?,?,?,?,?,(,),(,),n,f,z,f,z,?,?,注解：,注解,1,、在研究复变函数项级数的逐项求导的问,题时，我们一般考虑解析函数项级数；,注解,2,、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研,究和函数与极限函数的解析性及其导数。,内闭一致收敛：,定义：设函数序列,.),2,1,)(,(,?,n,z,f,n,在复平面,C,上的区域,D,内解析。如果级数,?,),(,z,f,n,在,D,内任一有界闭区域上一致收敛于,f(z),，那么,说此级数在,D,中内闭一致收敛于,f,(,z,),。,内闭一致收敛：,设函数序列,.),2,1,)(,(,?,n,z,f,n,在复平面,C,上的区域,D,内解析。如果级数,?,),(,z,f,n,在,D,内任一有界闭区域上一致收敛于,f(z),，那么,我们说此级数在,D,中内闭一致收敛于,f,(,z,),。,定理,4.9,（魏尔斯特拉斯定理）设函数,.),2,1,)(,(,?,n,z,f,n,在区域,D,内解析，并且级数,在,D,内闭一致,?,),(,z,f,n,收敛于函数,f,(,z,),，那么,f(z),在区域,D,内解析，并,且在,D,内,),(,),(,1,),(,),(,?,?,?,?,?,n,k,n,k,z,f,z,f,证明：先证明,f,(,z,),在,D,内任一点,z,0,解析，取,z,0,的一个邻域,U,，使其包含在,D,内，在,U,内作一条,简单闭曲线,C,。由定理,4.7,以及柯西定理,0,),(,),(,1,?,?,?,?,?,?,?,?,n,C,n,C,dz,z,f,dz,z,f,因为根据莫勒拉定理，可见,f,(,z,),在,U,内解析。再,由于,z,0,是,D,内任意一点，因此,f,(,z,),在,D,内解析。,其次，设,U,的边界即圆,K,也在,D,内，于是,?,?,?,?,?,?,1,1,0,),(,),(,n,k,n,z,z,z,f,对于,一致收敛于,。由定理,4.7,，,我们有,K,z,?,1,0,),(,),(,?,?,k,z,z,z,f,),(,),(,2,1,),(,),(,2,1,1,1,0,1,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,K,k,n,K,k,dz,z,z,z,f,i,dz,z,z,z,f,i,?,?,也就是,.),3,2,1,(,),(,),(,1,),(,),(,?,?,?,?,?,?,k,z,f,z,f,n,k,n,k,因此，定理中关于级数的部分证明结束。,?,1.,幂级数的概念,?,2.,收敛定理,?,3.,收敛圆与收敛半径,?,4.,收敛半径的求法,?,5.,幂级数的运算和性质,4.2,幂级数,1.,幂级数的概念,定义,?,设复变函数列：,),1,(,),(,),(,),(,),(,2,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,f,z,f,z,f,z,f,n,n,n,?,2,1,),(,?,?,n,D,z,z,f,n,-,称为复变函数项级数,?,级数的最前面,n,项的和,?,?,?,?,?,?,?,n,k,k,n,n,z,f,z,f,z,f,z,f,z,s,1,2,1,),(,),(,),(,),(,),(,?,-,级数的部分和,),1,(,),(,lim,),(,),1,(,),(,),(,lim,0,0,0,0,0,0,发散,不存在，称级数,其和为,收敛,在,称级数,若,z,s,z,s,z,z,s,z,s,D,z,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,若级数,(1),在,D,内处处收敛，其和为,z,的函数,?,?,),(,),(,),(,),(,2,1,z,f,z,f,z,f,z,s,n,?,?,?,?,-,级数,(1),的和函数,特殊情况，在级数,(1),中,得,n,n,n,z,z,c,z,f,),(,),(,0,?,?,),2,(,),(,0,0,?,?,?,?,n,n,n,z,z,c,),3,(,0,0,0,?,?,?,?,?,n,n,n,z,c,z,当,称为幂级数,并不失一般性。,研究级数,中令,在,),3,(,),2,(,),2,(,0,0,?,?,?,?,?,?,?,k,k,n,c,z,z,?,?,?,2.,收敛定理,同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：,定理,1(,阿贝尔,(Able),定理）,.,),0,(,0,0,0,级,数,必,绝,对,收,敛,的,则,对,满,足,收,敛,在,若,级,数,z,z,z,z,z,z,c,n,n,n,?,?,?,?,?,?,.,0,0,级数必发散,的,则对满足,发散,若级数在,z,z,z,z,z,?,?,?,?,?,?,2,1,0,max,0,0,2,0,2,0,1,0,?,?,?,n,M,z,c,z,c,z,c,z,c,c,M,n,n,N,N,故,取,?,证明,，即,则,收敛,0,lim,),1,(,0,0,0,?,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,n,z,c,z,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,z,c,N,n,N,0,0,0,，恒有,，,，,1,0,0,?,?,?,q,z,z,z,z,则,若,0,0,n,n,n,n,n,n,Mq,z,z,z,c,z,c,?,?,0,收敛,由于,?,?,?,n,n,Mq,0,收敛,由比较判别法得,?,?,?,n,n,n,z,c,绝对收敛。,?,?,?,?,?,0,n,n,n,z,c,(2),用反证法，,3.,收敛圆与收敛半径,收敛，,，有,设,?,?,?,?,?,?,0,1,0,1,1,n,n,n,z,c,z,z,z,由,Able,定理，幂级数的收敛范围不外乎下述,三种情况：,(,i,),若对所有正实数都收敛，级数,(3),在复平面上处,处收敛。,！,收敛与假设矛盾，得证,知,由,?,?,?,?,0,0,),1,(,n,n,n,z,c,(,ii,),除,z,=0,外，对所有的正实数都是发散的，这时，,级数,(3),在复平面上除,z,=0,外处处发散。,.,),3,(,:,),3,(,:,发,散,数,外,，,级,在,圆,周,收,敛,；,内,，,级,数,定,理,，,在,圆,周,由,?,?,?,?,?,?,z,c,z,c,Able,.,0,0,),(,0,0,发散,使得,收敛,使得,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,n,c,c,iii,?,?,?,?,显然，,?,?,否则，级数,(3),将在,?,处发散。,将收敛部分染成红色，发散,部分染成蓝色，,?,逐渐变大，,在,c,?,内部都是红色,?,逐渐变,小，在,c,?,外部都是蓝色，,红、蓝色不会交错。,故,蓝两色的分界线。,为红、,一定,R,z,c,R,?,?,：,?,?,播放,R,R,c,?,(,i,),幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外,部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题,要具体分析。,定义,这个红蓝两色的分界圆周,c,R,叫做幂级数的,收敛圆；这个圆的半径,R,叫做幂级数的收敛半径。,(,ii,),幂级数,(3),的收敛范围是以,0,为中心，半径为,R,的圆域；幂级数,(2),的收敛范围是以,z,0,为中心,半径,为,R,的圆域,.,4.,收敛半径的求法,的收敛半径求法，有,关于幂级数,),3,(,0,?,?,?,n,n,n,z,c,定理,2,(,比值法,),?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,0,/,1,lim,1,R,c,c,n,n,n,，则,若,z,z,c,c,z,c,z,c,i,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,lim,lim,0,),(,?,证明,发,散,，,时,时,，,即,当,绝,对,收,敛,；,时,即,时,当,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,1,1,1,1,n,n,n,n,n,n,z,c,z,z,z,c,z,z,?,?,?,?,!,0,1,矛盾,收敛,?,?,?,n,n,n,z,c,.,1,:,0,也发散,时，,当,以下证,?,?,?,?,n,n,n,z,c,z,?,1,0,0,0,收,，,外有一点,设在,用反证法,?,?,?,?,n,n,n,z,c,z,z,?,:,1,0,1,1,定,理得,，,由,满,足,再,取一,点,Able,z,z,z,?,?,?,.,1,1,0,?,?,?,?,?,?,?,R,z,c,z,n,n,n,故,发散,时，,当,即,发,散,0,0,?,?,?,?,n,n,n,z,c,收敛,都有,时，对,若,?,?,?,?,?,0,0,),(,n,n,n,z,c,z,ii,?,;,0,?,?,?,?,?,?,?,R,z,c,n,n,n,故,在复平面上处处收敛，,.,0,),(,0,0,也发散,发散，从而,有,外，对一切,时，除,当,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,n,z,c,z,c,z,z,iii,?,.,0,!,0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,R,z,c,z,z,z,z,c,z,n,n,n,n,n,n,故,收敛，矛盾,，,满足,则,收敛,否则，如果有一点,定理,3,(,根值法,),?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,0,/,1,lim,R,c,n,n,n,，则,若,定理,3,(,根值法,),?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,0,/,1,lim,R,c,n,n,n,，则,若,定理,2,(,比值法,),?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,0,/,1,lim,1,R,c,c,n,n,n,，则,若,例,1,的收敛范围及和函数。,求幂级数,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,z,z,z,z,2,0,1,1,2,1,?,?,?,?,?,?,n,n,z,z,z,s,?,又,z,z,n,?,?,?,1,1,解,1,1,lim,1,?,?,?,?,?,?,R,c,c,n,n,n,?,.,1,1,lim,0,lim,1,z,s,z,z,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,时，,当,?,.,0,lim,1,级数发散,时，,当,?,?,?,?,?,n,n,z,z,?,综上,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,.,1,;,1,1,1,0,时,当,发散,时,当,且和函数为,收敛,z,z,z,z,n,n,例,2,求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形,:,解,(1),;,),0,(,),1,(,1,?,?,?,?,n,p,n,p,n,z,;,),1,)(,(ch,),2,(,1,?,?,?,?,n,n,z,n,i,.,),ln,(,),3,(,1,n,n,in,z,?,?,?,n,n,n,c,c,1,lim,?,?,?,?,?,?,1,),1,(,lim,?,?,?,?,?,p,n,n,n,1,?,?,R,1,时,当,?,z,1,时,当,?,?,z,),1,(,1,?,?,?,?,n,n,n,级数为,1,1,?,?,?,n,n,级,数,为,该级数收敛,该级数发散,p,=1,p,=2,1,上,在圆周,?,z,?,?,?,?,?,?,?,1,1,2,2,1,n,n,n,n,n,z,是,收,敛,的,?,?,该级数在收敛圆上是,处处,收敛的。,n,n,i,n,n,i,n,e,e,n,i,c,n,i,n,i,n,1,cos,1,sin,1,cos,1,sin,1,cos,2,1,),(,2,1,ch,),2,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,n,c,c,1,lim,?,?,?,?,?,?,1,1,cos,1,1,cos,lim,?,?,?,?,?,n,n,n,1,?,?,R,1,1,上,在圆周,?,?,z,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,),1,(cos,),1,)(,ch,(,n,n,in,n,e,n,z,n,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,),1,)(,ch,(,0,),1,(cos,lim,n,n,in,n,z,n,i,e,n,发散。,?,?,综上,该级数发散。,该级数收敛，,时，,当,1,1,?,?,z,时，,当,1,1,?,?,z,;,),1,)(,(ch,),2,(,1,?,?,?,?,n,n,z,n,i,2,2,2,),2,(,ln,1,ln,1,n,n,n,n,in,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,R,2,2,2,ln,ln,2,ln,),arg(,ln,),ln(,),3,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,in,i,n,in,i,in,in,其,中,：,?,n,n,n,n,n,n,n,c,2,2,2,),2,(,ln,1,lim,lim,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,故,0,),2,(,ln,1,lim,2,1,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,.,),ln,(,),3,(,1,n,n,in,z,?,?,?,故该级数在复平面上是处处收敛的,.,5.,幂级数的运算和性质,?,代数运算,2,0,1,0,),(,),(,r,R,z,g,z,b,r,R,z,f,z,a,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,设,R,z,z,g,z,f,z,b,a,z,b,z,a,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,0,0,0,),min(,2,1,r,r,R,?,其中：,R,z,z,g,z,f,z,b,a,b,a,b,a,b,a,z,b,z,a,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,),(,),(,0,0,2,2,1,1,0,0,0,?,-,幂级数的加、减运算,-,幂级数的乘法运算,r,z,g,R,z,z,g,r,z,z,a,z,f,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,0,内解析，且,在,设,R,z,z,g,a,z,g,f,n,n,n,?,?,?,?,?,?,0,),(,),(,-,幂级数的代换,(,复合,),运算,?,幂级,数的代换运,算在函数展,成幂级数中,很有用,.,例,3,.,),(,1,0,a,b,a,z,c,b,z,n,n,n,?,?,?,?,?,?,这,里,，,复,常,数,的,幂,级,数,，,表,成,形,如,把,解,),(,),(,1,1,a,b,a,z,b,z,?,?,?,?,?,代换,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,a,b,z,g,a,b,a,z,a,b,1,),(,1,1,1,1,1,R,a,b,a,z,a,b,a,z,a,b,a,z,a,b,a,z,z,g,z,g,z,g,z,g,z,g,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,),(,),(,),(,),(,1,),(,1,1,2,2,?,?,?,?,?,解,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,a,b,z,g,a,b,a,z,a,b,a,b,a,z,b,z,1,),(,1,1,1,1,1,),(,),(,1,1,R,a,z,a,z,a,b,a,z,a,b,a,z,a,b,a,b,z,g,a,b,b,z,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,1,),(,),(,1,),(,),(,1,1,),(,1,1,1,1,1,2,3,2,代换,展开,还原,?,分析运算,定理,4,R,z,z,f,z,c,n,n,n,?,?,?,?,?,),(,0,设,.,),(,),(,内解析,在,R,z,z,f,i,?,?,R,z,z,nc,z,c,z,c,z,f,ii,n,n,n,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,1,0,0,),(,),(,),(,),(,z,d,z,c,dz,z,c,dz,z,f,iii,n,c,n,n,c,n,n,n,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,),(,),(,-,幂级数的逐项求导运算,-,幂级数的逐项积分运算,?,?,?,?,?,?,?,0,1,0,1,),(,n,n,n,z,n,z,c,d,f,?,?,或,R,a,z,C,R,z,?,?,?,?,