华师大版八年级数学上册期末复习ppt课件全册.ppt

,小结与复习,第11章 数的开方,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,八年级数学上（HS）教学课件,一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质,若，则x叫做a的平方根.,正数有两个平方根，互为相反数0的平方根是0.负数没有平方根.,若 则x的非负数值 叫做a的算术平方根.,非负性：当a 0时，0.,若，则x叫做的立方根.,正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0.,要点梳理,非负数,0,逆,二、开平方与开立方 求一个非负数a的 的运算，叫做开平方其中a叫做.求一个数a的 的运算，叫做开立方其中a叫做.开平方与、开立方与 都分别互为逆运算 点拨(1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“”号；(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根),平方根,被开方数,立方根,被开方数,平方,立方,强调：数的开方的几个重要性质,性质4：,点拨算术平方根的双重非负性：算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号(对被开方数实施开平方运算)，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根,1.用计算器求一个正数的算术平方根,三、用计算器求算术平方根、立方根,2.用计算器求立方根,用计算器求一个数a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入（）,用计算器求一个正数a的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入,四、实数,1.实数的分类,(1)按定义分：,(2)按符号分：,2.实数与数轴,(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；,(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.,3.在实数范围内，有理数的有关概念、大小比较法则、运算法则以及运算律同样适用.,考点讲练,例1 已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-18，求这个正数.,【解析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于a的一元一次方程，解之求得a的值，从而可求出这个正数.,解：根据平方根的性质，有a+3+2a-18=0，解得a=5，a+3=8，82=64，所以这个正数是64.,一个正数的平方根有两个，它们互为相反数而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.,1.下列说法正确的有（）-64的立方根是-4；49的算术平方根是7；的立方根是；的平方根是.A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个,B,C,2.的平方根是（）A.4 B.2 C.2 D.4,例2 若a，b为实数且+|b-1|=0，则(ab)2016=.,3.若 与(b-27)2 互为相反数，则.,-11,【解析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再根据乘方的定义求出(ab)2016的值.+|b-1|=0，a+1=0，且b-1=0，a=-1，b=1.(ab)2016=(-11)2016=(-1)2016=1，故填1.,1,初中阶段主要涉及三种非负数：0，|a|0，a20.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.,4.在实数，0，-1 中，无理数是（）A.B.C.0 D.-1,B,例3 在实数，中，无理数有（）A.3个 B.2个 C.1个 D.0个,A,【解析】是分数；虽然含有分母2，但它的分子是无理数，所以 是无理数；同理 也是无理数.故选B.,C,【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故A不正确；根据点A，B与原点的距离知|a|0，根据|a|b|，知-ab，C正确.故选C.,5.若|a|=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧,B,例5 估计 的值在（）A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间,B,【解析】469因此 的值在3到4之间.故选B.,像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.,6.满足 的整数x是.,8.规定用符号x表示一个实数x的整数部分，例如：3.14=3，=0.按此规定 的值为.,7.比较大小:.,例6 计算.,9.计算.,分类讨论思想,例7 a的算术平方根是3，b是16的平方根，则a+b=,【解析】a的算术平方根是3，可知a=9；16的平方根有两个，为4.由此可以确定a，b的值，然后代入计算即可.当a=9，b=4时，a+b=13；当a=9，b=-4时，a+b=5.故答案为13或5.,13或5,对于该类问题，在求解时，按一定的标准进行分类，并考虑到所有可能的情况，避免漏解或重复.,10.若a是16的平方根，b是-27的立方根，c的绝对值为2，求a-b+c的值.,解：由题意可知a=4或-4，b=-3，c=2或-2.有以下四种情况：（1）当a=4，b=-3，c=2时，a-b+c=4-（-3）+2=9；（2）当a=-4，b=-3，c=2时，a-b+c=-4-（-3）+2=1；（3）当a=4，b=-3，c=-2时，a-b+c=4-（-3）+（-2）=5；（4）当a=-4，b=-3，c=-2时，a-b+c=-4-（-3）+（-2）=-3.综上所述，a-b+c的值为9或1或5或-3.,数形结合思想,例8 如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为,【解析】设点C所对应的实数是x根据对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可设点C所对应的实数是x，则有x-=-1，解得x=2-1故答案为2-1,11.数轴上A，B两点对应的实数分别是 和2，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为.,数的范围由有理数扩大到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，这样可以通过观察“形”的特点（借助数轴），解答一些关于实数的比较抽象的问题.对于该类问题，运用数形结合思想，先利用数轴表示出三个点的位置，再根据对称的性质解答.,平方根,实 数,数的开方,性质,有理数,整数,无理数,立方根,性质,分数,平方根,算术平方根,立方根,课堂小结,第12章 整式的乘除,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,八年级数学上（HS）教学课件,小结与复习,1幂的运算法则,要点梳理,amn,amn,anbn,不变,相乘,相加,不变,相乘,乘方,不变,相减,底数,指数,相加,相乘,乘方,相减,amn,注意(1)其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式；(2)这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则2整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个.单项式与多项式相乘，用 和 的每一项分别相乘，再把所得的积.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 与另一个多项式的 相乘，再把所得的积.,系数,相同字母的幂,因式,单项式,多项式,相加,每一项,每一项,相加,3乘法公式,平方和,这两数积,a2b2,a22abb2,二,完全相同,互为相反数,二,平方差,二,平方,三,平方和,加上,积,两,(ab),2ab,2ab,4ab,点拨(1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算；(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式,a2,4整式的除法(1)单项式除以单项式单项式相除，把、分别相除作为商的，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个.(2)多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个，再把所得的商.点拨 多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式除以单项式,系数,同底数幂,因式,因式,单项式,相加,5因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做多项式的因式分解 因式分解的过程和 的过程正好相反6用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的；字母取多项式各项 的字母；各字母指数取次数最的 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到 外面，将多项式写成 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法注意 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时先要考虑多项式的各项有无公因式,积,整式乘法,最大公约数,相同,低,括号,因式乘积,7用公式法分解因式把 反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法这两个公式是：(1)逆用平方差公式；(2)逆用两数和(差)的平方公式点拨 这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚好左右互换运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有符合公式的特征时才能运用公式,乘法公式,(ab)(ab),.,a2b2,a22abb2,(ab)2,8因式分解的步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么先；(2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用 公式分解因式；三项式可以尝试运用 公式分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能 为止9图形面积与代数恒等式很多代数恒等式(如平方差公式、两数和(差)的平方公式等)都可以用平面几何图形的 来说明其正确性，方法是把图形的面积用不同的方式表示，根据列出的代数式，然后得到代数恒等式,提取公因式,平方差,两数和(差)的,再分解,面积,相等,考点讲练,例1 计算：（1）(2a)3(b3)24a3b4；（2）(-8)2016(0.125)2015.,【解析】（1）幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除；（2）可以先用同底数幂的乘法的逆运算，将（-8）2016化为（-8）（-8）2015，再用积的乘方的性质的逆运算进行计算.,【答案】（1）原式=8a3b6 4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.,（2）原式=（-8）（-8）2015（0.125）2015=（-8）（-8）0.1252015=（-8）（-1）2015=8.,幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.,1.下列计算不正确的是（）A.2a3 a=2a2 B.(-a3)2=a6 C.a4 a3=a7 D.a2 a4=a8,D,2.计算：0.252015（-4）2015-8100 0.5301.,解:原式=0.25（-4）2015-（23）100 0.5300 0.5=-1-（2 0.5）300 0.5=-1-0.5=-1.5.,解:420=（42）10=1610，16101510,4201510.,3.比较大小：420与1510.,例2 计算：x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)3x2y,其中x=1,y=3.,【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.,解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)3x2y=(2x3y2-2x2y)3x2y=.,当x=1,y=3时，原式=.,整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.,4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为.5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A，得商为2x，余式为x-1，则这个多项式是.,a2-2b+1,例3 先化简,再求值：(x-y)2+(x+y)(x-y)2x,其中x=3,y=1.5.,【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再进行整式的除法运算.,解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)2x=(2x2-2xy)2x=x-y.当x=3,y=1.5时，原式=3-1.5=1.5.,整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.,6.求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解.,解：x2+9y2+4x-6y+5=0,(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，(x+2)2+(3y-1)2=0.x+2=0,3y-1=0,解得x=-2,y=,7.已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.,解：原方程可化为-5x+5=0,解得x=1.,例4 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;(3)x2-6x+9=(x-3)2;(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.,解：（1）不是，因为最后不是做乘法运算，不是积的形式；（2）不是，因为从左边到右边是做乘法运算；（3）是；（4）不是，因为令x=2,y=1,左边=10，右边=32，不是恒等变形.,【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.,因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.,8.下列变形，是因式分解的是（）A.a(x+y)=ax+ay B.x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)C.am2-a=a(m+1)(m-1)D.m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.,C,转化思想,例5 计算：(1)-2a3a2b3(;(2)（-2x+5+x2）（-6x3）.,【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项式.,解：（1）原式=,（2）原式=（-2x）（-6x3）+5（-6x3）+x2（-6x3）=12x4-30 x3-6x5.,将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式多项式 单项式多项式 单项式单项式 有理数的乘法和同底数幂的乘法.,9.计算：（4a-b）（-2b）2.,解：原式=（4a-b）4b2=16ab2-4b3,整体思想,例6 若2a+5b-3=0，则4a32b=.,【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以逆用积的乘方先把4a32b.化简为含有与已知条件相关的部分，即4a32b=22a25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b-3=0，所以2a+5b=3，所以4a32b=23=8.,8,在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错.,10.若xn=5，则（x3n）2-5（x2）2n=.,12500,11.若x+y=2，则=.,2,例7 如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是.,数形结合思想,a2-b2=(a+b)(a-b),【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影 部分可知其面积是两个正方形的面积差（a2-b2),又由于图的梯形的上底是是2b,下底是2a,高为a-b,所以梯形的面积是（2a+2b)(a-b)2=(a+b)(a-b),根据面积相等，得乘法公式a2-b2=(a+b)(a-b).,本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形.由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起,12.我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表 示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图和图等图形的面积表示.,图,（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.,（1）请写出图所表示的代数恒等式；,图,【答案】(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2;(2)如图.,13.有若干张如图(1)所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为(2ab)，宽为(ab)的长方形，则需要A类卡片_张，B类卡片_张，C类卡片_张，请你在图(2)的大长方形中画出一种拼法,(1),(2),2,1,3,14.图是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形(1)求出图的长方形面积；(2)将四块小长方形拼成如图所示的正方形，利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式(ab)2、(ab)2、ab之间的等量关系,解：(1)(aa)(bb)4ab.(2)(ab)2(ab)24ab.,幂的运算,乘法公式,整式的乘除,积的乘方,平方差公式,多项式与单项式相乘、相除,完全平方公式,整式的乘除法,单项式与单项式相乘、相除,多项式与多项式相乘,同底数幂相乘,幂的乘方,同底数幂相除,课堂小结,因式分解,提公因式法,公式法,小结与复习,第13章 全等三角形,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,八年级数学上（HS）教学课件,1命题判断某一件事情的语句叫做.注意两点“判断”和“语句”所谓判断就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果，那么”“若，则”“是”等，但是，如“连结A、B两点”就不是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题2命题的组成每个命题都是由 和 两部分组成的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项命题一般写成“如果，那么”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论,条件,结论,要点梳理,命题,3命题的真假命题有真有假，其中正确的命题叫做；错误的命题叫做.事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明4基本事实与定理经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真假的原始依据，这样的真命题叫做.从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做.,真命题,假命题,基本事实,定理,5判定三角形全等主要有五种方法：(1)全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相等的两个三角形；(2)三边对应相等的两个三角形(简记为：S.S.S.)；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形(简记为：A.S.A.)；(4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为：A.A.S.)；(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为：S.A.S.)若是直角三角形，则除了上述五种方法外，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为：H.L.),全等,全等,全等,6证全等三角形的思路,7全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的面积相等，周长相等；(3)全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等,8等腰三角形的性质和判定(1)性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”(2)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简称“等角对等边”，它的逆定理应该是“等边对等角”9等边三角形(1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形10尺规作图把只能使用 这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图,没有刻度的直尺和圆规,11常见的基本作图(1)作 等于已知线段；(2)作一个角等于角；(3)作已知角的平分线；(4)过已知点作已知直线的；(5)作已知线段的垂直 线12互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题13逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成，并将结论改成，便可以得到原命题的逆命题,一条线段,已知,垂线,平分,结论,条件,结论,条件,注意 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题但原命题正确，它的逆命题未必正确如对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题14逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 定理注意 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理如“对顶角相等”就没有逆定理,逆,15垂直平分线到线段两端点的距离相等的点在这条线段的.它的逆定理是：线段垂直平分线上的点到.注意 前面是线段垂直平分线的判定，后面是线段垂直平分线的性质16角的平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等它的逆定理是：到角的两边距离相等的点在.注意 前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定,垂直平分线上,线段两端点的距离相等,角的平分线上,例1 下列命题中是假命题的是()A三角形的内角和是180B多边形的外角和都等于360C五边形的内角和是900D三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,考点讲练,【解析】要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确的对于A、B、D来说，都是经过证明，被认为是正确的，而五边形的内角和是540，所以C不正确，故选C.,C,命题这部分内容的概念多、理论性强，看似杂乱无章，其实只要抓住三点，一切问题也就迎刃而解主要是识别命题、找出命题的条件和结论、会判断命题的真假,1.下列命题：两点确定一条直线；两点之间，线段最短；对顶角相等；内错角相等；其中真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个,C,DF,DE,EF,D,E,F,例2 如图，已知ABCDEF，请指出图中对应边和对应角.,【解析】根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题.,两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.,2.如图，已知ABCAED若AB6，AC2,B25，你还能说出ADE中其他角的大小和边的长度吗？,解：ABCAED，EB25（全等三角形对应角相等），,AC=AD=2，AB=AE=6（全等三角形对应边相等）.,例3 已知：ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCB,ABCDCB(已知），BCCB（公共边），ACBDBC（已知），,证明：,在ABC和DCB中，,ABCDCB（A.S.A.）.,【解析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定,3.已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证ABC和DEF全等的是()A.AB=DE，AC=DF，BC=EF B.A=D，B=E，AC=DFC.AB=DE，AC=DF，A=D D.AB=DE，BC=EF，C=F,D,4.如图所示，AB与CD相交于点O,A=B，OA=OB 添加条件，所以 AOCBOD 理由是.,C=D,或AOC=BOD,A.A.S.或A.S.A.,例4 如图，在ABC中，AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F,求证：DEC=FEC.,【解析】,欲证DEC=FEC,由平行线的性质转化为证明DEC=DCE,只需要证明DEG DCG.,证明：CEAD,AGE=AGC=90.,在AGE和AGC中，,AGE AGC(A.S.A.).,GE=GC.,在DGE和DGC中，,DGE DGC(S.A.S.).,DEG=DCG.,EF/BC,FEC=ECD，,DEG=FEC.,利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.,5.如图，OBAB，OCAC，垂足为B，C，OB=OC，BAO=CAO吗？为什么？,解：AO平分BAC.,理由如下：OBAB,OCAC，B=C=90.在RtABO和RtACO中，OB=OC，AO=AO，RtABORtACO（H.L.）.BAO=CAO.,例5 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？,【解析】将本题中实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC.ADBC.,解：相等，理由如下：,ADBC，,ADB=ADC=90.,在RtADB和RtADC中，,RtADB RtADC(H.L.).,BD=CD.,利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.,6.小明想设计一种方案，测一下沼泽地的宽度AB的长度，如图所示，他在AB的垂线BM上分别取出C，D两点，使CDBC，再过D点作出BM的垂线DN，并在DN上找一点E，使A，C，E三点共线，这时所测得DE的长就是这块沼泽地的宽AB的长度，你能说明理由吗？,解：在ABC和EDC中，ABCEDC90，ACBECD，BCDC，根据“A.S.A.”的判定定理可以判定ABCEDC，再由全等三角形的对应边相等，可得ABDE.,例6 如图，在ABC中，AB=AC,BDAC于D.求证：BAC=2DBC.,【解析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角BAC的平分线，来获取角的数量关系.,证明：作BAC的平分线AE,交BC于点E,如图，则,AB=AC,AEBC.,2+ACB=90.,BDAC,DBC+ACB=90.,2=DBC.,BAC=2DBC.,等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30的直角三角形的性质是证明线段之间的倍分关系的重要手段.,7.如图，在ABC中，AC=BC,ACB=90,点D是AC上的一点，AE垂直BD的延长线于点E,且AE=BD.求证：BD平分ABC.,C,C,F,证明：延长AE交BC的延长线于点F,如图所示.,ACB=90,ACF=ACB=90.,F+FAC=90,F+EBF=90.,FAC=EBF.,在ACF和BCD中，,ACFBCD(ASA).,AF=BD.,在AEB和FEB中，,AEBFEB(S.A.S.).,C,AE=BD,ABE=FBE,即BD平分ABC.,AE=EF.,例7 如图，等边ABC中，点D，E，F分别同时从点A，B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE，EF，DF求证：DEF是等边三角形.,【解析】根据等边三角形的性质得出A=B=C=60，AB=BC=CA，AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF，即可证得ADFBEDCFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF=FD，即可证得DEF是等边三角形.,证明：ABC是等边三角形，A=B=C=60，AB=BC=CA.AD=BE=CF，BD=EC=AF.在ADF，BED和CFE中，,ADFBEDCFE，DE=EF=FD，DEF是等边三角形.,8.如图，ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE.求证：DBCEAC.,证明：ABC和EDC是等边三角形，BCADCE60，BCAACDDCEACD，即BCDACE.在DBC和EAC中，BCAC，BCDACE，DCEC，DBCEAC.,9.如图，ABC为等边三角形，又DEBC，EFAC，FDAB，垂足分别为E，F，D，则DEF是等边三角形吗？说明你的理由,解：是等边三角形理由如下：EFAC，FDAB，ABC为等边三角形，A60，ADFCFE90.AFD30，DFE60.同理可证FDEDEF60，DEF是等边三角形,例8 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC的依据是(),AS.S.S.BA.S.A.CA.A.S.D角平分线上的点到角两边的距离相等,A,【解析】由作法可得OMON，MCNC，OCOC，ONCOMC(S.S.S.)故选A.,作角的平分线，实际上就是平分已知角作已知角的平分线的理论依据是判定三角形全等的“S.S.S.”.,10.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明AOB=AOB的依据是（）AS.A.S.BS.S.S.CA.A.S.DA.S.A.,B,11.如图，已知在ABC中，AB=AC（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD=BD（不写作法，但需保留作图痕迹）（2）在（1）中，连接BD，若BD=BC，求A的度数,解：（1）如图所示.,（2）设A=x，AD=BD，DBA=A=x，在ABD中，BDC=A+DBA=2x，又BD=BC，C=BDC=2x，又AB=AC，ABC=C=2x，在ABC中，A+ABC+C=180，x+2x+2x=180，x=36,例9 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假(1)如果a0，那么ab0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上,解：(1)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果ab0，那么a0.逆命题为假(2)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等其逆命题也是真命题,【解析】写一个命题的逆命题，将命题的条件和结论交换 位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅,（1）写出一个命题的逆命题关键是分清它的条件和结论，然后将条件和结论互换.将命题的条件和结论交换位置，有时要添加适当的词语，使语句通畅（2）原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题不一定是假命题.要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可；而要判断一个命题是真命题，则需通过推理论证得出.,12.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.,解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|是真命题.,例10 如图，ABC中，ABAC6，BC4.5,分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连结BD，则BCD的周长是_,10.5,【解析】由题意可知过这两点的直线其实是AB边的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可以得BDAD.AC6，BC4.5，BCD的周长BDCDBC ADCDBC ACBC 64.5 10.5.,本题集垂直平分线的画法、垂直平分线的性质、整体的思想、转化的思想于一题求线段的长，是中考的一个新的题型，希望引起读者注意,13.如图，已知ABC，直线PM是线段AC的垂直平分线，射线AP是BAC的平分线，P是两线的交点，且CP3 cm，PM2 cm，求点P到直线AB的距离及到A点的距离,解：点P在线段AC的垂直平分线上，PAPC.CP3 cm，PA3 cm.AP是BAC的平分线，点P到AB的距离等于PM的长点P到AB的距离等于2 cm，到A点的距离为3 cm.,例11 如图,1=2,点P为BN上的一点，PCB+BAP=180，求证:PA=PC.,【解析】由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE，PF，构造角平分线的基本图形.,证明:过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,PE=PF,PEA=PFC=90.,PCB+BAP=180,又知BAP+EAP=180.,EAP=PCB.,在APE和CPF中，,APE CPF(AAS)，,AP=CP.,【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有PABPDB,再证PDC是等腰三角形即可获证.,B,证明过程请同学们自行完成！,D,角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法。应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.,14.如图,1=2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:PCB+BAP=180.,【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.,PE=PF,PEA=PFC=90.,在RtAPE和RtCPF中，,RtPAE RtPCF(H.L.).,EAP=FCP.,BAP+EAP=180，,PCB+BAP=180.,想一想：本题如果不给图，条件不变，请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？,分类讨论思想,例12 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.,【解析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.,解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，根据题意得 2x+x-8=20,解得 x=,x-8=;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4,y+8=12,但4+4=812,不符合题意.故此等腰三角形的三边长分别为,根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同时，求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确.,15.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.,解：若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.故这个三角形的周长为14或16.,命题、定理,等腰三角形,全等三角形,等腰三角形的性质与判定,线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,作线段、作角、作角平分线、作垂线、作线段的垂直平分线,三角形的全等,全等三角形的判定：（S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.、S.S.S.、H.L.）,尺规作图,全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等;,课堂小结,逆命题与逆定理,等边三角形的性质与判定,角平分线性质定理及逆定理,小结与复习,第14章 勾股定理,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,八年级数学上（HS）教学课件,勾股定理表达式的常见变形：a2c2b2,b2c2a2，.勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a、b(且ab)，那么，当第三边c是斜边时，c_；当a是斜边时，第三边c_.,1勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的.即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有.,平方,注意 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边,要点梳理,a2b2c2,如图，以a、b 为直角边(ba)，以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示的正方形ABCD，它是一个边长为c的正方形，它的面积等于.而四边形EFGH是一个边长为 的正方形，它的面积等于.,2勾股定理的验证 据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：,ba,c2,(ba)2,四个直角三角形与中间的小正方形拼