半导体中光子电子的互作用课件.ppt

第一章 半导体中光子-电子的相互作用,半导体物理基础1.1 半导体中量子跃迁的特点1.2 直接带隙与间接带隙跃迁1.3 光子密度分布1.4 电子态密度与占据几率1.5 跃迁速率与爱因斯坦关系1.6 半导体中的载流子复合 1.7 增益系数与电流密度的关系小结,半导体物理基础,能带单个原子能级当原子结合成晶体时，原子相互接近电子壳层交叠电子不再局限在某一个原子上电子的共有化运动内层电子变化不大，仍然是孤立能级，外层电子（价电子）由于电子的共有化运动，导致外层运动轨道容纳的电子个数增多，由于泡利不相容原理，能级分裂能带，能带是由N(固体中原子的个数)个靠得很近的能级组成，准连续。,原子相互靠近能级分裂能带（允带）允带和允带之间的能量间隔禁带较低的能带被价电子填满，较高的能带是空的。对于半导体来说，能量最高的满带称为价带，能量最低的空带称为导带。导带：接收被激发的电子（半导体）价带：通常被价电子填满（半导体）Ec：导带底的能量Ev：价带顶的能量Eg：禁带宽度，是打破共价键所需的最小能量，是材料特有的重要特性。,导体、半导体、绝缘体的能带论解释,能带理论提出：一个晶体是否具有导电性，关键在于它是否有不满的能带存在。导体下面能带是满带，上面能带是半满带；绝缘体下面能带（价带）是满带，上面能带（导带）是空带，且禁带宽度比较大。半导体下面能带（价带）是满带，上面能带（导带）是空带，且禁带宽度比较小，数量级约在1eV左右。,电子和空穴 半导体由于Eg较小，在室温下，由于热激发或入射光子吸收，使得价带中一部分电子跃迁到导带中，一个电子由价带跃迁至导带，就在价带留下一个空量子状态，可以把它看成是带正电荷的准粒子，称之为空穴（hole）。这个过程是电子-空穴对的产生，反之电子由导带跃迁至价带，价带内丢失一个空穴，是电子空穴对的复合。二者为载流子。,半导体中一般采用电子的有效质量替代电子的惯性质量，这样载流子的运动规律就可以用经典力学方程来描述，起到了简化作用，这是一种近似，称有效质量近似，用 me表示。为了方便，空穴同样用有效质量表示，用 mh表示。有效质量m*：考虑了晶格对于电子运动的影响并对电子静止质量进行修正后得到的值。,有效质量,1.1 半导体中量子跃迁的特点,跃迁：原子存在某些定态，在这些定态时不发出也不吸收电磁辐射，原子定态能量只能采取某些分立值E1、E2等，这些定态能量的值称为能阶。电子通过能阶跃迁可以改变其轨道，当它从离原子核较远的轨道（高能阶）跃迁到离原子核较近的轨道（低能阶）上时将会发射出光子，反之将会吸收光子。每个跃迁对应一个特定的能量和波长。,半导体中三种跃迁现象：1.受激吸收 2.自发发射 3.受激发射,受激吸收,应用：光电导、光探测器、太阳能电池,在适当能量光子的作用下，价带中的电子获得能量跃迁到导带，形成电子空穴对，这就是受激吸收。从能量的角度看：是光能量转化成电能量的过程。,自发发射,导带中的电子以一定几率自发与价带中的空穴复合，并以光子形式放出复合所产生的能量，称为自发发射。,应用：LED,受激发射,复合过程不是自发的，而是在适当能量光激励下进行的，则复合产生的光子与激发该过程的光子有完全相同的特性（频率、相位、偏振、传播方向），这称为受激发射。,应用：激光器LD,三种跃迁现象的区别与联系：受激吸收与受激发射是互逆的。受激发射与自发发射的区别在于这种跃迁中是否有外来光子的参与。同一种光电子器件中，有可能同时并存以上两种甚至三种跃迁过程。,半导体中量子跃迁过程的突出特点：量子跃迁速率高，光增益系数大。频响应特性好，量子效率高。能量转换效率高。半导体LD比普通LD有更宽的谱线宽度。,1.2 直接带隙与间接带隙跃迁,Ge、Si和GaAs的能带图,跃迁与跃迁选择定则：跃迁发生在导带能量极小值与价带能量极大值之间间接带隙半导体中电子在导带极小值与价带极大值之间的跃迁在能带图中表现为非竖直方向，称为非竖直跃迁（间接带隙跃迁）。直接带隙半导体中电子在导带极小值与价带极大值之间的跃迁在能带图中表现为竖直方向，称为竖直跃迁（直接带隙跃迁）。,跃迁的k选择定则：不管是竖直跃迁还是非竖直跃迁，也无论是吸收光子还是发射光子，量子系统总的动量和能量必须守恒。,给定电子跃迁的初始态能量和动量及终态能量和动量，当跃迁只涉及一个光子时，选择定则可表示为：,kp很小，可将光子的动量忽略不计，因此：,直接带隙跃迁符合k选择定律。,在间接带隙半导体中 上式不再相等，为满足选择定则，跃迁过程一定有声子参与（声子：晶格振动能量的单位，有能量、动量）。这时动量守恒可表示为：,正号表示吸收光子、声子，负号表示发射光子、声子。,在间接带隙半导体中，导带电子与价带空穴如果直接复合就不满足动量守恒定律。因此，间接带隙半导体导带电子与价带空穴的复合必须借助复合中心。这个复合中心可以是晶体缺陷或杂质，它处于价带顶上方的带隙中的Er处。当电子与空穴复合时，电子首先被复合中心俘获，然后再与空穴复合。在俘获过程中电子的能量和动量改变传递给晶格振动，即传递给声子。这样会降低发光效率。所以，大多数发光装置都不采用这种材料，而采用直接带隙半导体材料。,GaAs就是一种直接带隙半导体材料。它的晶体结构如图。,它属于闪锌矿结构。它与金刚石有相似的结构，每一个晶格点阵上的原子与4个相邻的原子键结合。在GaAs晶体中，As是5价的，Ga是3价的。在晶体中，它们的化学键是sp3杂化的。,通常，半导体激光器发射的光子能量接近带隙能量。发光波长和带隙能量用下面的式子估计,在上式中，Eg的单位是eV，波长的单位是mm。GaAs晶体的直接带隙是1.424eV。可以发射870-900nm的光。,为了使半导体发出的光处于现代光通信的波段，通常选用GaxIn1-xAsyP1-y(InP)材料。这里0 x1，0y1，它们分别表示Ga和As含量的百分比。P和As都是5价原子，用P取代一部分As，那么晶体的结构以及类型不会改变，只是改变能带和晶格常数。同样，用In取代一部分Ga，也只是改变能带和晶格常数。原则上，通过改变x或y的值，在一定的范围内就可以得到想要的带隙，也就得到想要的发射波长。,在光通信波段的半导体激光器的制造过程中，通常是以InP材料为衬底的，然后在它的表面外延生长GaxIn1-xAsyP1-y材料。这就要求外延生长的材料的晶格常数要与InP材料的晶格常数(0.587nm)一致。否则的话，半导体材料中就会出现缺陷，从而影响半导体激光器的发光质量和半导体激光器的寿命。外延生长的材料的晶格常数要与衬底材料一致的情况，也称为晶格匹配。,在与InP材料晶格匹配的限制下，x和y的取值必须符合一定条件：,在这种情况下，带隙为,0y1，由x0.45y，得到，0 x0.45。在这个范围内，半导体材料就是直接带隙半导体。0y1对应0.92g1.67(m)。,(无掺杂情况),跃迁几率,求解跃迁几率的基本出发点是考虑到与半导体中电子相互作用的辐射场是一个随时间周期变化的函数，要使用与时间有关的微扰理论求解有关的薛定谔方程，从而得出反映电子在辐射场作用下跃迁几率的大小。,思路：按照量子力学原理，电子从初态跃迁到终态的跃迁几率B21取决于两个因素：1.微扰哈密顿量H的表达式 2.描述电子运动状态的波函数 跃迁几率的数学表述：,具体推导：1.先求H的表达式 2.再求波函数 的表达式,3.代入跃迁公式求解：凯恩（Kane）对直接带隙跃迁-族化合物半导体辐射跃迁速率近似表达式：,自旋轨道裂距，比Eg小得多跃迁速率与Eg基本无关，决定于电子的有效质量,电子在浅杂质能级和对应能带间的跃迁,掺杂半导体中，会发生杂质能级上的电子或空穴与对应能带间的跃迁，由于掺杂，严格的k选择定则被松驰或不再成立，跃迁矩阵元只与能量有关。杂质能级上的电子是束缚电子，其波函数看成是布洛赫函数和类氢原子波函数之积。,凯恩的计算结果：,伊克尔斯的计算结果：,重掺杂下的带带跃迁,当重掺杂时，杂质原子外层电子的波函数发生相互交叠而形成杂质能带，当杂质能带与原本的价带或导带相接时，就相当于原来的能带长出了一个带尾，相当于带隙变窄。带尾的形成是各杂质电势无规则涨落的结果，处于带尾中的电子态，既不同于价带和导带中的电子态，又区别于单个杂质原子上的束缚态，是一种半局部电子态。,在讨论跃迁速率之前需要先弄清楚辐射场中光子密度随能量分布，这对分析辐射场与半导体中电子的相互作用非常重要。单位体积、单位频率间隔内的光子数光子密度分布，需要求出两个量，一是光子状态密度，另一个是这些状态被光子占据的几率。光子状态密度由电磁场方程利用边界条件得到。占据几率服从玻色-爱因斯坦（Poise-Einstein）分布律。,1.3 光子密度分布,光学腔内产生稳定振荡的条件是：腔长应是平面波半波长/2的整数倍，这就是驻波边界条件，波长受到限制,L3,空间驻波条件对波矢k选取值的限制为:,m、p、q为正整数,（m、p、q）值确定一个k,因为m、p、q为正整数，只考虑1/8球壳，同时考虑光场TE模和TM模两个偏振状态，间的光子状态数为,每个k在k空间中占据的体积为,再除以V就得到了单位体积内的光子态密度：,热平衡状态下每个状态被光子所占据的几率服从玻色-爱因斯坦分布,表示在温度T时或能量为 的状态被光子占据的几率,因为:单位体积内,之间的光子数为:,因为:单位体积内,因为:单位体积内,单位体积、单位能量间隔内的光子数：,单位体积、单位频率间隔内的光子能量,1.4 电子态密度与占据几率,在讨论跃迁速率之前先还要弄清电子态密度与占据几率。单位体积、单位能量内的电子数，似于上一节讨论光子密度分布（态密度占据几率）。两者之间有相同之处，在于状态密度的求解过程，不同之处是电子属于费米子，它受泡利不相容原理制约，它服从费米-狄拉克统计分布。另外半导体中电子有导带和价带之分。电子状态密度由电子波边界条件得到。占据几率服从费米-狄拉克分布函数。,与光子能态一样，半导体中电子的能态用k表示，根据驻波边界条件，在一个边长为L的立方体半导体中，波矢k满足右边式子，式中m、p、q为正整数,每一组（m、p、q）值确定一个k，确定一个状态，则在k空间中每一电子态同样占据体积,考虑电子两个自旋态，再乘个因子2,再除以体积，就得到单位体积，波矢间隔为 的电子状态密度为：,对于半导体材料：,导带 价带,取导带底为坐标原点（能量0点），可写出导带电子能量EC和价带电子能量EV的表达式：,，,单位体积单位能量间隔的状态数，即状态密度：,单位体积能量间隔 之间的状态数为:,典型半导体导带和价带态密度，由于一般情况下导带电子的有效质量比价带空穴有效质量小一个数量级左右，所以价带态密度比导带态密度高很多。,上面推导了状态密度，想要求单位体积单位能量间隔的电子数，还需知道费米-狄拉克分布函数，即每个状态被电子占据的几率。导带和价带中某能量EC、EV被电子所占据的几率分别表示为：,费米分布函数,补充：,费米-狄拉克分布函数，EF称为费米能级，它和温度、材料、导电类型、杂质含量等有关，是半导体中重要的物理参量，知道了它就知道了某个状态电子占据的几率，处于热平衡的系统具有统一的EF，处于非平衡状态时，带与带之间不再有统一费米能级，但带内载流子仍处在准平衡状态，因此每个带有各自的费米能级，Fc，Fv，称为准费米能级。在光电子器件中，因为有光照或者载流子注入，是非平衡状态，所以应用准费米能级。,导带总的电子浓度,价带空穴浓度,与浓度有关的态密度,理论：半导体激光器的有源材料有时是在重掺杂，而且是在大注入（注入载流子浓度很高）的条件下工作。在大注入和重掺杂条件下，随机分布的杂质电荷与自由载流子电荷会造成晶格间的波动，引起电势涨落（晶格势场V发生变化），从而使导带和价带出现能级尾态，电子能级上可能的态数增加。,实验：Emelganenko等人用霍尔效应测量表明：当在GaAs中掺入杂质时，随着掺杂浓度的增加，电离能逐渐减小，当施主杂质与受主杂质浓度分别达到21016cm-3或41018cm-3时，就会出现能带尾态效应。带尾的存在能增加电子能级上可能的态数。Unger指出，对某一给定的费米能级F，由于带尾的存在所增加的注入载流子总量，相当于温度从T增加到 所引起的载流子增量。,结论：在晶体中掺入的带电杂质会引起势场变化，从而产生导带尾和价带尾。由于受主电离能大于施主（空穴有效质量大），受主尾态更突出。实验发现施主、受主电离能随掺杂浓度的增加，逐渐变为零。即杂质能级与本征能级相衔接。带尾的存在使禁带变小，对载流子浓度、电子跃迁概率、半导体激光器的增益、阈值和光谱特性等均会产生影响。,1.5 跃迁速率与爱因斯坦关系,具体分析与半导体光电子器件工作原理有关的三种跃迁（受激吸收、受激发射、自发发射）过程的跃迁速率，以及联系这几种跃迁速率的爱因斯坦关系。影响跃迁速率的因素：（1）与跃迁有关的电子能态的占据情况（2）正比于激励该跃迁过程的入射光子密度（3）正比于参与光跃迁的电子态密度（4）正比于跃迁几率,（1）与跃迁有关的电子能态的占据情况 电子在半导体能带之间的跃迁只能始于电子的占有态而终止于电子的空态，因此跃迁速率应该正比于与跃迁有关的初态占据几率和终态被空着的几率。可以认为发生跃迁时系统仍处于热平衡状态，描写电子占据几率的函数仍可使用导带和价带中各自的准费米能级。,（2）正比于激励该跃迁过程的入射光子密度 在受激发射与受激吸收跃迁中，跃迁速率应正比于激励该跃迁过程的入射光子密度，如果是单频光，跃迁速率就正比于单频光子密度，而一般实际光子有一定的能量范围或一定的频率宽度，则电子跃迁速率应正比于下式表示的单位体积单位能量间隔的光子数P(E)。,（3）正比于参与光跃迁的电子态密度 由量子力学测不准原理，光子与电子相互作用时间越短，则跃迁所涉及的能量范围就越宽。半导体能带中一定能量范围内的电子都能跃迁。有必要知道单位能量间隔参与跃迁的电子态密度，包括上级态密度，也包括下级态密度，两者不能分别考虑。电子有自旋，且跃迁受选择定则限制，所以两者有一定的关系，假设从价带跃迁至导带，跃迁能量范围为，对应此能量的状态数为,由k选择定则知道跃迁初态终态有相同的k，每个k对应两个电子态，所以导带和价带同样的状态数参与跃迁，N是涉及光跃迁的态数目。考虑自旋方向不同的不能跃迁，则发生跃迁的状态数为 N/2。发生跃迁的总的能量范围 因此电子参与光子跃迁的态密度，具有折合密度的意义，即：,（4）正比于跃迁几率 对于自发发射跃迁几率记作A21，就是载流子的寿命的倒数，是单位时间内跃迁的百分比。量纲为t-1。自发发射跃迁速率与A21成正比。对于受激吸收和受激发射的情况存在光子参与，定义B21、B12分别为发射和吸收的光子电子互作用系数（跃迁几率系数），跃迁速率应正比于互作用系数，单位为能量体积/时间。B21、B12与P(E)相乘与A21有同样的量纲。P(E)表示的单位体积单位能量间隔的光子数，量纲为V-1E-1。,跃迁速率单位体积、单位能量间隔、单位时间发生跃迁的电子数自发发射速率：受激发射速率：受激吸收速率：,爱因斯坦关系：热平衡情况下，向上跃迁的速率必须等于向下跃迁的总速率。把上页公式代入得：热平衡时有统一的费米能级：,这是著名的爱因斯坦关系，说明在相同条件下，受激发射和受激吸收的跃迁几率系数相同，即一个光子碰到高能级电子而引起受激发射的可能性正好相当于它碰到低能级电子而被吸收的可能性。三种跃迁除了爱因斯坦关系外还可进一步分析之间的关系，分析中会得到对光电子器件工作原理和特性有重要意义的结论。,1.5.1 净的受激发射速率和 半导体激光器粒子数反转条件,受激跃迁包括发射和吸收，忽略自发发射的影响，可定义净的受激发射速率为受激发射速率与受激吸收速率之差：,同样净受激吸收速率为净受激发射速率的负值,Laser(light amplification by stimulated emission of radiation)受激发射速率必须大于受激吸收速率，则：,这是半导体产生受激发射的必要条件，就是导带中电子占据几率大于价带中电子占据几率，也称为半导体激光器的粒子数反转条件（伯纳德.杜拉福格条件），对于二能级激光系统产生激光的必要条件是上能级电子数大于下能级，就是真正意义的粒子数反转，而半导体激光器中实际上是占据几率反转，正常是低能级占据几率大，而半导体激光器中恰好相反。,粒子数反转条件的表达式：,粒子数反转条件，是1962年出现的半导体激光器的理论基础，从式中看见要产生激光发射必须使半导体处于非平衡状态，并且，具体的半导体激光器中是通过电注入来实现的。,前面讨论的跃迁速率是从严格的k选择定则考虑的，跃迁是一对一的，而实际发射同样光子的跃迁初态和终态都存在一个可能的范围，因此只需限定跃迁初态或终态的能量Ec或Ev和光子能量hv来重新考虑跃迁几率。给定体积V、导带能量Ec和光子能量hv的情况下，导带内单位能量范围的跃迁几率为B21(E,hv)c(Ec)V。,现在，只需将已经考虑了一个能量范围内的跃迁几率B21(E,hv)c(Ec)V代替之前式中的Bl2和B21，再对整个Ec积分，就可得出相应向上和向下总的跃迁速率，,不考虑自旋方向不同的不能跃迁的因素,二者之差即为净的总跃迁速率，表示为,很显然要产生净的受激发射必须满足条件：,1.5.2 自发发射与受激发射速率之间的关系,自发发射与受激发射有密切的关系，受激发射是放大的自发发射，引起受激发射的光子往往来源于自发发射，另外每个激光模式中也包含着一定的自发发射成分，含自发发射的比率将直接影响激光器的性能,若想要得到净的受激发射，即需要：,要知道r净(hv)与rsp(hv)之间的关系，只需分析W净(hv)与Wsp(hv)之间的关系。,1.5.3 净受激发射速率与增益系数的关系,当半导体处于粒子数反转状态时，也就是有净受激发射时，光波通过该区域会被放大得到增益，一般增益表示为：,z是表示光的传播方向上的某一点，F(z)表示某一点z处单位面积的光子通量，F0为光波进入反转区z=0时单位面积的光子通量，g为单位长度的增益或增益系数。,另一种解释：g是单位面积上所产生的附加光子通量与总光子通量之比,附加光子通量就是体积内净的受激发射速率，总的光子通量为光子密度与光波在介质中的传播速度之积，因此有：,为场限制因子，它是考虑到部分光场扩展出粒子反转区而造成的损失。,1.5.4 净的受激吸收速率与吸收系数,净的吸收速率就是电子在能带系统中受激吸收与受激发射速率之差，当 对应光损耗，就是光通过该区域不会产生增益而是损耗，同增益系数的定义相同，吸收系数定义为经单位距离、单位面积上光子通量的减少量与总的光子通量之比,不考虑色散时的光子状态密度分布,由于吸收系数与自发发射速率的关系，可通过吸收谱的曲线来获得自发发射谱。,1.6 半导体中的载流子复合,在半导体中电子与空穴的复合以两种形式释放能量：一种是放出光子，称为辐射复合，前面提到的自发发射与受激发射就属于这一种，这种主要指复合发生在带间不经过任何的复合中心。此外辐射复合也可能发生在杂质或缺陷中心与能带之间，施主和受主能级之间，这时释放的能量小于禁带宽度。另一种复合叫非辐射复合，所释放的能量以声子（一般为多声子）形式放出，或转变为自由载流子的动能，后者称为俄歇（Auger）复合。,1.6.1 自发辐射复合速率,对于半导体激光器有源区材料，在未达到粒子数反转条件时，自发辐射复合应占主要地位。为了和注入载流子浓度联系起来（有利于对材料的一些其它性质作出评价），有必要在整个光子能谱范围内得出总的自发发射速率，首先从严格的k选择条件出发。,利用Einstan关系，可得整个光子能谱范围内的总的自发发射速率：,考虑自旋方向不同的不能跃迁,是自发辐射载流子寿命（复合时间常数）,利用了下面公式,当k选择定则受到松弛时，总的自发发射速率:,r自发辐射复合系数 cm3/s,平衡载流子自发辐射速率,非平衡载流子自发辐射速率,利用热平衡时，FcFv,在高注入电流下,在低注入电流下,s是非平衡载流子的自发辐射寿命,1.6.2 俄歇（Auger）复合,自旋-轨道裂矩,GaxIn1-xAsyP1-y四元化合物半导体的自旋-轨道裂矩,俄歇复合是碰撞电离的逆过程，是一个三体过程，是电子与空穴复合，将能量转移到其它的电子或空穴，使其跃迁到高能级的过程。俄歇复合是碰撞电离的逆过程。俄歇复合包括带间俄歇复合与杂质俄歇复合,导带电子（C）与价带重空穴（H）复合后，将它们复合放出的能量和动量转移到导带另一个电子（C）中，使其进入更高的导带电子能态，简称为CCHC。,导带电子（C）和一个重空穴（H）复合后将能量和动量转移到另一个重空穴（H），使其激发到自旋-轨道裂矩带（S）上，简称CHHS。,ce、cp俄歇复合系数,在热平衡条件下,俄歇复合速率,高能电子或空穴的产生速率：,俄歇复合是碰撞电离的逆过程，碰撞电离的产生率依赖于高能电子，其数量与电子或空穴浓度成正比。,在热平衡条件下,总俄歇复合速率,俄歇复合寿命,小注入情况下,本征情况下,热平衡时,由贝蒂建立的微扰理论可以得到,Eg越小，波长越长，Auger复合系数越大。,碰撞电离和俄歇复合都需要一定的激活能才能发生。为产生碰撞电离，依照能量和动量守恒，电子和空穴的动能必须超过禁带宽度而达到某一阈值ET。在室温下，对 Ge、Si和 GaAs等所测得的这一阈值动能都在Eg的1.5倍以上。俄歇复合过程的初态和终态不可能都与能带极值重合，故其动能之和也必须超过一定的阈值（ET-Eg），俄歇复合才能发生。阈值能 ET与禁带宽度ET和自旋一轨道裂矩 的关系被表示为：,CHHS俄歇复合速率随Eg-的减小而增加。在InGaAsP中随着As含量y的增加（对应激射波长增加），由之前的(y)公式可见，自旋-轨道裂矩也相应增加，所以俄歇复合速率增加更大，这是长波半导体激光器遇到的难题。,1.7 增益系数与电流密度的关系,我们已从量子跃迁速率出发得出了增益系数的表达式，从而对增益系数有了一些定性的了解。由上式可以看到，一旦在半导体材料中出现了粒子数反转，即满足fcfv，则在半导体材料中就有正的增益(或负的吸收)，受激发射速率将大于受激吸收速率。,但是，粒子数反转条件是靠外加注入电流来实现的，因此，增益系数并不是半导体材料本身的属性。原则上，增益系数与电流密度的关系可以通过求解上式关于增益系数的积分来得到。但实际上，要比较精确地得到在积分式中出现的有关态密度c和v、爱因斯坦系数B21是困难的。为了把宏观电流密度与半导体中的微观光子增益过程联系起来，可以用一些更熟悉的参数对增益系数作出半经验但又符合实际的定量估计。,注入的载流子在浓度梯度方向上会发生扩散，在扩散长度以内的载流子在直接带隙材料中将以较大的速率产生受激的或自发的辐射复合；也有部分载流子不可避免地消耗在非辐射复合之中，如载流子与表面态、异质结界面态的复合和俄歇复合；在异质结激光器或发光二极管的有源区中的注入载流于还有部分越过异质结势垒而泄漏。,与辐射复合相比，消耗在非辐射复合和泄漏方面的载流子所占比例较小。如忽略这些损耗，就可将描述载流子变化速率的方程简单地表示为,载流子变化速率方程,n 注入的载流子浓度，Rr(n)辐射复合速率，d 有源层厚度，J 注入电流密度。,稳态情况下,载流子变化速率方程,此时注入的载流子全用来产生辐射复合，这时量子效率为1，即每注入一对电子一空穴对，就辐射出一个光子。这种量子效率为1的电流密度称为名义电流密度。名义电流密度Jn:是在厚度d=1m的有源层内全部用来产生辐射复合所需的电流密度。Jn的单位为A/cm2m。,当注入电流由零开始增加时，所注入的载流子也同时增加，并用来产生自发辐射复合。随着注入载流子浓度的增加，并达到粒子数反转条件Fc-Fv Eg时，开始有少量注入载流子将产生受激辐射复合，但与自发发射复合相比，这部分载流子所占比例是很小的。当注入载流子浓度进一步增加，使粒子数反转达到达到光子增益与其损耗相抗衡的某一阈值以后，这时所注入的电流除用来维持自发辐射外，更主要是用来产生受激辐射，这时总的电流,其中 Isp与Ist分别为产生自发辐射与受激辐射的电流。,这样，表示的电流密度在达到阈值Jth以前可以近似表示为,rsp为单位体积、单位能量间隔的自发辐射速率,从上图可以看出，增益系数从某一电流密度Jt开始为正值，此时在增益介质中已经形成粒子数反转。此后，随着电流密度的增加，介质的增益系数相应地增加。当电流密度达到某一阈值Jth时，由于增益饱和效应致使增益系数不再随电流密度发生大的变化，而使增益系数被“钳制”在阈值增益处，对于不处于振荡状态的光子（如行波半导体光放大器中的光子），增益系数按图中虚线随电流密度变化。,峰值增益与电流密度之间的关系可拟合成下面的线性关系：,Jt是增益曲线在电流密度坐标上的截距，对应于刚好满足粒子数反转条件Fc-Fv=h或增益恰好为正值时的电流密度。,系数A无明显的物理意义，只是代表某一温度下增益与电流密度关系曲线的斜率。,