高等数学：第八章 多元函数微分法及其应用课件.ppt

第一节 多元函数的基本概念,一 多元函数的定义,二 多元函数的极限与连续性,-2-,一 多元函数的定义,(1)邻域,1 有关区域的概念,定义1,设,是,平面上的一个点，,一正数，,距离小于,的点,的全,的,邻域，,是某,与点,体，,称为点,记为,-3-,(2)区域,例如，,即为开集,-4-,-5-,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,连通的不是开集,是开集不是连通的,不是闭区域的例子：,去掉边界不是开区域,-6-,有界闭区域；,是无界开区域,例如，,-7-,(3)聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,定义2,-8-,-9-,点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,-10-,2 n维空间,n维空间的记号为,说明：,n维空间中两点间距离公式,设两点为,定义3,-11-,n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,时，便为数轴、平面、空间两,点间的距离,-12-,3 多元函数的定义,元函数的定义，,记为,定义4,(1)二元函数的定义,或,称为函数的自变量，,称为函数的因变量。,说明,相应的可,得出,元函数统称为多元函数.,-13-,例1 求,解,所求定义域为,的定义域,-14-,(2)二元函数,的图形,对应的函数值,这个点集称为二元函数的图形.,-15-,例如,二元函数的图形通常是一张曲面.,-16-,例如,(3)多值函数,在函数的定义中要求对每个,这样的对应关系称为,多值函数，,例如,可分成,和,讨论。,第二节 多元函数的极限与连续性,-17-,1 多元函数的极限,定义5,是其聚点，,总存在正数,使得对于适合不等式,的一切点，且,都有,成立，,在,时的极限，,或,这里,如果对于任意给定的正数,为函数,称,记为,则,-18-,说明：,(1)定义中 的方式是任意的；,(2)二元函数的极限也叫二重极限,(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似,确定极限不存在可以找多种,趋向于,的路径，,且,的极限不相等。,(4)求二元函数的极限可以通过转变,化为一元函数的极限来计算,-19-,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,-20-,例3 求极限,解,其中,-21-,例4 证明,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,不存在,-22-,类似可以定义,元函数的极限,定义6,元函数,的定义域为点集,是其聚点，,总存在正数,使得对于适合不等式,的一切点,都有,成立，,元函数,在,时的极限，,为,记为,设,如果对于任意给定的正数,则称,-23-,2 多元函数的连续性,定义7,如果,则称,元函数,在点,处连续.,设,是函数,的定义域的聚点，,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D,上连续.,是其聚点且,-24-,例5 讨论函数,在(0,0)处的连续性,解,故函数在(0,0)处连续,-25-,函数,在点(0,0)极限不存在,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,一般地,求,时,如果,是初等函数,且,是,的定义域的内点,则,在,处连续,于是,-26-,-27-,例6,解,例7 求函数,的连续域.,解:,即为函数的连续域.,-28-,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,(1)最大值和最小值定理,(2)介值定理,第二节 偏导数与全微分,-29-,一 偏导数,二 全微分,一 偏导数,-30-,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,如果极限,设函数,1 偏导数及其计算,有定义，,定义1,-31-,同样可定义对,的偏导数,注意:,称,为函数在,关于x,的偏增量；,为函数在,关于y的偏增量,-32-,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,偏导数定义为,(请自己写出),则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或,若函数,在区域,内每一点,处对,偏导数存在，,例如,-33-,解,例1 求,在点,处的偏导数,-34-,证,原结论成立,求证,例2 设,-35-,解,例3 设,求,-36-,不存在,-37-,例4 设,求,解,-38-,例5 求,的偏导数.,解:,-39-,有关偏导数的几点说明：,1,2,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,-40-,2 偏导数存在与连续的关系,？,所以函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,因为,不存在,-41-,3 偏导数的几何意义,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,-42-,4 高阶偏导数,设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,二阶混和偏导数,-43-,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一,阶偏导数为,-44-,解,例6 设,求,及,.,-45-,解,例7 设,求二阶偏导数.,-46-,例8,设,求,解,-47-,解,例9 验证函数,满足拉普拉斯,方程,-48-,例10 设,求,解,-49-,问题：,混合偏导数都相等吗?具备怎样条件才相等？,则,定理1,例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,(证明略),二 全微分,-50-,1 全微分的定义,即,记为,为函数在点P 对应于自变量增量,的全增量，,称这两点的函数值之差,则,-51-,其中A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y),可表示成,处全增量,则称此函数在D 内可微.,称为函数,在点(x,y)的全微分,定义2,记作,或,即,-52-,事实上,如果函数,在点,可微分,则,函数在该点连续.,-53-,2 可微的条件,定理2（必要条件）,在点,可微分，,如果函数,的偏导数,必存在，,则该函数在点,在点,的全微分为,且函数,证:由全增量公式,得到对 x 的偏增量,-54-,同理可证,因此有,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,-55-,例如，,在点,处有,同样可得,而,-56-,则,当 时，,如果考虑点,沿着直线,趋近于,所以函数在点,处不可微.,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.,-57-,证,定理3（充分条件）,的偏导数,在点,连续，,一定可微,如果函数,则该函数在点,在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理,（依偏导数的连续性）,-58-,同理,其中,为,的函数,且当,时，,当,时，,故函数,在点,处可微.,-59-,习惯上，当,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏导数与自变量的微分乘积之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,全微分写为,自变量时，,例如,记,-60-,解,所求全微分,例11 计算函数,在点,处的全微分.,-61-,解,例12 求函数,时的全微分.,当,-62-,解,所求全微分,例13 计算函数,的全微分.,-63-,多元函数连续、可导、可微的关系,-64-,全微分在近似计算中的应用,也可写成,-65-,解,由公式得,例15 计算,的近似值.,第三节 多元函数的微分法,-66-,一 复合函数微分法,二 隐函数微分法,一 多元函数的微分法,-67-,1 链式法则,定理1,且其导数可用下列公式计算：,-68-,证,由于函数,在点,有连续偏导数,则,-69-,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,-70-,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,且可用下列公式计算,-71-,链式法则如图示,-72-,类似地再推广，,且可用下列公式计算,-73-,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,把复合函数,中的,看作不变而对,的偏导数,把,中的u,及,看作不变,的偏导数,而对,-74-,解,例1 设,而,求,-75-,解,例2 设,而,求全导数,-76-,例3,设,求,解,令,则,同理,-77-,例4,设,计算,其中,二阶,偏导数连续。,解,令,为方便起见记,同理有,则,在计算含有抽象复合函数的偏导数是应当注意,1)要学会分析函数的复合关系,2)将导数的四则运算复合运算分开做，不宜混为,一谈.,-78-,3)在计算高阶偏导数时,要注意,仍保持,的,复合关系.,-79-,例5,设,求,解,二阶偏导连续,-80-,-81-,例6,设函数,二阶可导，,求,解,-82-,例7 设,解,其中,二阶偏导数连续。,-83-,解,-84-,例9,设,其中,恒不为零的可导,函数,验证,解,-85-,2 全微分形式不变性,设函数,具有连续偏导数，,当,时，,则有全微分,如果,是自,变量，,由于,-86-,全微分形式不变形的实质：,它的全微分形式是一样的.,一阶全微分形式不变性,-87-,例10,利用全微分形式不变性可以计算较复杂函数的一阶,(偏)导数.,设,求,解,-88-,二 隐函数的微分法,-89-,1 一个方程的情形,1),(隐函数存在定理1),设函数,在点,的某一邻域内具有连续的偏导数，,且,一确定一个单值连续且具有连续导数的函数,则方程,在点,的某一邻域内恒能唯,它满足条件,并有,定理2,-90-,公式的推导，,由于由方程,所确定的隐,函数,满足,因此我们可以视方,程,两边对x 求导，,中的 y为x的函数，,得,所以,-91-,解法1,令,则,例11 已知,求,-92-,解法2,视方程,为,函数，,方程两边对,求导,中,即,所以,-93-,(隐函数存在定理2),设函数,在点,的某一邻域内有连续的偏导数，,且,在点,的某一邻域内恒,则方程,且,并有,2),定理3,能唯一的确定一个单值 连续且具有连续偏导数的函数,它满足,-94-,解法一,视方程,中,为,函数，,方程两边分别关于,求偏导数，,例12 已知,求,和,的,说明,解法一是将方程,中的z看成x与y,的函数，,方程两边分别对x与y 求偏导.,-95-,解法二,令,则,所以,说明,解法二是将函数,看成x,y,z的三元,函数分别求偏导.,-96-,解法三,说明,解法二,解法三一般针对一阶偏导数的计算，,求高阶偏导数一般使用解法一.,-97-,视方程,中的,为,函数，,解,例13 设,求,的,方程两边对,求偏导数，,对上面第一个式子两边关于,再求一次偏导数，,-98-,例14 设,其中f 一阶偏导数连续,求,解法一,将方程中的z看成 x,y 的函数，,两边分别对,x,y 求偏导数，,-99-,例14 设,其中f 一阶偏导数连续,求,解法二,令,则,所以,-100-,解,例15 设,求,将方程中的z看成x,y的函数，,两边对x求偏导,将方程中的x看成 y,z 的函数，,两边对 y 求偏导,-101-,将方程中的y看成 z,x 的函数，,两边对z 求偏导,-102-,2 方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F,G 的偏导数组成的行列式,个方程确定两个隐函数的情况为例,即,以两,-103-,定理4,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,3),的单值连续且一阶偏导数连续的函数,1)在点,2),的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,-104-,例16,求,解,设,视方程组中的,为,的函数，,求导,两边对,-105-,解,将所给方程的两边对,求导并移项,同理将所给方程的两边对,求导可得,例17 设,求,-106-,习题课一,一 多元函数的概念、极限、连续性,多元函数的复合、定义域,例1,已知,求,解,所以,-107-,例2,求函数,的定义域。,解,-108-,求多元函数的极限将其化为一元函数的极限计算。,例3,求下列极限,解,-109-,解,所以,-110-,解,-111-,判别多元函数的极限不存在，多用趋向于定点的,不同路径，极限值不同,例4,说明下列极限不存在,解,取路径,则,与,有关，,所以,不存在。,-112-,解,取路径,则,与,有关，,所以,不存在。,解,取路径,则,-113-,二 多元函数的的偏导数和全微分,设,为固定,对,求导,为固定,对,求导,-114-,例5,1)设,解,-115-,2)设,解,-116-,3)设,求,解,-117-,4)设,求,解,-118-,多元函数可微与连续、偏导存在的关系,1)函数,偏导数存在,连续,典型例题,但,不连续,-119-,例6,证明函数,在原点处连续，但,不存在。,解,所以函数在原点处连续。,不存在，,所以,不存在。,-120-,2)函数,可微,偏导数存在,连续,偏导数存在,连续,可微,典型例题,-121-,三 复合函数的偏导数,例7 设,求,解,令,则,-122-,例8 设,解,其中f 二,阶可导,g 二阶偏导数连续，,-123-,-124-,例9 设,求,其中f,二阶偏导数连续。,解,-125-,-126-,例10 设函数,二阶偏导数连续,且满足方程,又,求,解,将,两边对x 求导，,所以,将,分别两边对x 求导，,由于f 二阶偏导数连续,所以,因此,-127-,四 隐函数的偏导数,例11 设,是由,所确定的隐函数，求,解,分别对,求导,-128-,例12 设,求,解,分别对,求导,-129-,例13 设,是由方程,确定的隐函数，证明,其中,一阶,偏导数连续。,解,分别对,求导,-130-,例14 设,求,解,分别对,求导,-131-,例15 设,且,求,解,分别对,求导,第四节 多元函数微分法在几何上的应用,-132-,二 曲面的切平面与法线,一 空间曲线的切线与法平面,一 空间曲线的切线与法平面,-133-,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,面.,-134-,1.曲线方程为参数方程的情况,如果(1)式中的三个函数均有连续导数.,且,则称此曲线为光滑曲线。,即,-135-,切线方程,切线的方向向量:,称为曲线的切向量.,也是法平面的法向量,因此得法平面方程,-136-,说明:若引进向量函数,则,处的导向量,就是该点的切向量.,-137-,例1,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,解,对应的切向量为,在,由于,对应的切点为,-138-,解,切线方程,法平面方程,在,处的切线和法平面方程.,例2 求曲线,-139-,例3,求曲线,平行于平面,的切线,方程。,解,设切点对应的参数为,则切向量为,由于所求切线平行于已知平面，,即,或,即,-140-,切点为,切向量为,切线方程为,或,-141-,2 曲线为一般式的情况,光滑曲线,当,时,可表示为,即,参数方程可以写成,如果,为,切点，,即,视的方程中,y,z为x 的函数两边对x 求导，,得,因此可知在,-142-,点,切线方程为,法平面方程,处切向量为,否则，,可以视的方程中z,x为y 的函数两边对y 求导，,得,因此可知在点,处切向量为,-143-,所求切线方程为,法平面方程为,例4 求曲线,在点,处的切线及法平面方程.,解,将所给方程的两边对x求导,二 曲面的切平面与法线,-144-,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过定点,且,则称该曲面为光滑曲面,的光滑曲线,-145-,切线方程为,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面.,上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在 上,得,-146-,令,由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以,为法向量的平面上,从而切平面存在.,曲面 在点 M 的切平面的法向量,-147-,法线方程,切平面方程,-148-,曲面在M 处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,-149-,法向量,用,将,的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则法向量,向上,-150-,解,切平面方程为,法线方程为,例5 求旋转抛物面,在点,切平面及法线方程.,处的,-151-,解,令,切平面方程,法线方程,例6 求曲面,在点,及法线方程.,处的切平面,-152-,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,法向为,例7 求曲面,平行于平面,的切平面方程.,-153-,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),-154-,例8 证明曲面,上任意一点处的切平面和三,坐标面所围的四面体的体积为定数。,解,设,为曲面,上任意一点，,则在该,点处切面的法向量为,且,切面方程为,化为截距式,所以,第五节 方向导数与梯度,-155-,一 方向导数,二 梯度,一 方向导数,-156-,实例：一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行,1 问题的提出,-157-,2 方向导数的定义,讨论函数,在点P 沿某一方向的变化率,问题,设函数,在点,的某个邻域内有定义,引射线l，,设点,上另一点,且,仍在P 的邻域内，,记,当,沿,l 趋向于P 时,如果比式,定义1,自点P,为l,-158-,的极限存在，,则称此极限为函数,在点P处沿,方向l 的方向导数，,记为,即,依定义，,在点,P处沿着x轴正向,的方向导数为,沿x轴负向,的方向导数为,则函数,如果在点P 处,存在，,-159-,定理,3 方向导数的计算,在点,是可微的，,则函数在该点沿任意方向l,(其方向余弦为,的方向导数都存在，,且有,如果函数,证,由于函数可微，,则函数的增量可表示为,两边同除以,得到,-160-,故有方向导数,令,如果记,为,到,方向的转角,则方向导数的计算,公式为,或,或,-161-,解,例1 求函数,在点,处沿从点,到点,的方向的方向导数.,这里方向,为,所以,由于,-162-,例2 设函数,x轴正向到方向l,的转角为,在点(1.1)处求函数沿l方向的方向导数.,并问,在怎样的方向上此方向导数有,(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零？,解,由方向导数的计算公式知,-163-,因此,(1)当,时，,(2)当,时，,方向导数达到最小值,方向导数达到最大值,(3)当,和,时，,方向导数等于0.,-164-,推广可得三元函数方向导数的定义,对于三元函数,它在空间一点,沿着方向l 的方向导数定义为,其中,设方向l 的方向余弦为,方向导数都存在，,同理可得,当函数在此点可微时，,那末函数在该点沿任意方向l 的,且有,-165-,例3 设,是曲面,在点,处,的指向外侧的法向量，,求函数,在此处,沿方向,的方向导数.,解,令,因此指向外侧的法向量为,由于,所以方向余弦为,-166-,故,-167-,例4 设函数,求函数在点M(1,1,1),处沿曲线,在该点切线方向的方向导数.,解,点M(1,1,1)处切线的方向向量为,曲线上的点M(1,1,1)对应的参数为t=1，,曲线在,二 梯度,-168-,1 场的概念,定义2,则称在区域,确定了该物理量的一,个场，,当对应的物理量为数量时，,当对,应的物理量为向量时，,上的数量场,区域,上的数量函数,上的向量场,区域,上的向量函数,则称为数量场，,则称为向量场。,在空间直角坐标系下，,数量场可以表示为,-169-,向量场可以表示为,2 梯度的概念,方向的,方向余弦为,由方向导数公式,引入向量,-170-,方向导数取最大值：,因此,这说明,方向：,模:,f 变化率最大的方向,f 的最大变化率之值,定义3,在数量场,中一点,处，,如果存在,这样一个向量,其方向为数量场,在点,处变化,率最大的方向，,其模恰为这个最大变化率的数值，,则称,-171-,向量,为数量场,在点,处的梯度(gradient),记,或,当,且,可微分时,作,引入哈密尔顿微分算子,则梯度可以表示为,-172-,当,且,可全微分时,说明:,3 梯度的几何意义,函数,过点,当各偏导数不同时为零时,其上点P 处的法向量为,有等值(量)面,-173-,直于该点等值面(或等值线),另一方面，,在点P处沿梯度方向的方向导数是,最大的，,从而沿梯度方向函数值是,增加的，,所以函数在一点的梯度垂,函数,并且指向函数增大的方向.,-174-,解,由梯度计算公式得,故,例5 求函数,在点,处的梯度,并问在哪些点处梯度为零？,在,处梯度为0.,-175-,例6,求数量场,在点,处,沿球面,的内法向的方向导数.,解,在点,处,的内法向,为数量场,过点,的等值面,的法向，,且指向,减少的,即u 的函数值增加的,一方.,因此为梯度方向n，,而,所以,-176-,例7,证:,试证,-177-,4 梯度的基本运算公式,第六节 多元函数的极值最值与拉格朗日乘子法,-178-,一 多元函数的极值,二 多元函数的最值,三 条件极值,一 多元函数的极值,-179-,定义,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如:,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某个去心,邻域内有,若函数,-180-,说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.,例如,定理1(必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点处不取极值.,且在该点取得极值,则有,存在,故,-181-,为极值点，,定理2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令,则:1)当,A0 时取,A0 时取极小值.,2)当,3)当,一定不是极值点.,不能确定,需另行讨论.,若函数,且,时,时,极大值;,时,-182-,例1,求,解:第一步 求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,-183-,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,-184-,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解:,在(0,0)点邻域内的取值可能为,因此 z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)有,显然(0,0)都是它们的驻点,二 多元函数的最值,-185-,函数 f 在有界闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,区域内的驻点,边界上的最值点,特别,当在区域内部只有一个极值点P 时,为极小 值，,一定为最小 值,(大),(大),依据,当区域内部最值存在,且只有唯一的一个驻点P 时，,则驻点一定是最值点。,经判别,则,-186-,解,如图,例3 求二元函数,在直,线,x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与,最小值.,先求函数在D内的驻点，,得区域,内唯一驻点,-187-,在边界,和,上,再求,在,边界上的最值，,在边界,上，,即,上，,令,由,得,比较后可知,为最大值,最小值.,为,-188-,例4.,解:,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体,问当长,宽,高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,水箱,设水箱长,宽分别为x,y m,则高为,-189-,例5 有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来,解:,则断面,做成一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,面面积最大.,面积为,问怎样折法才能使断,设折起来的边长为 x cm,-190-,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内,只有一个驻点,故此点即为所求.,三 条件极值,-191-,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,-192-,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,-193-,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,因此,函数,在条件,下的极值点,一定是函数,的驻点。,-194-,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量,构造拉格朗日函数,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的,在条件,的情形.,极值.,-195-,拉格朗日乘数法可推广到多个约束条件的情形.,构造拉格朗日函数,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,-196-,例6.,要设计一个容量为,则问题为求x,y,令,解方程组,解:,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,设 x,y,z 分别表示长,宽,高,-197-,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此,当高为,-198-,例7,求原点到曲面,的最短距离。,解,问题可以转化为求函数,在条件,的最小值问题，,令,得驻点,所以最短距离为,-199-,例8,求原点到曲线,短与最长距离。,的最,解,问题可以转化为求函数,在条件,的最小与最大值问题，,令,-200-,得驻点,-201-,习题课（二）,一 空间曲线的切线与法平面,空间曲面的切平面与法线,设曲线参数方程为,在对应,处的切点：,切向,切线方程,法面方程,-202-,如果曲线的方程为,切点为,可以视方程中的y,z 为x 的函数，,求得,切向量,或者视方程中的x,z 为y 的函数，,求得,切向量,-203-,如果曲面方程为,切点为,法向为,切面方程为,法线方程为,-204-,例1,在曲线,上,求一点P，,使该曲线过该点的切线平行于平面,并写出切线方程。,解,该曲线的切向量,已知平面法向量,由于,所以,因此,所求点,或,切线方程为,或,-205-,例2,求曲线,在点,处的切线与,法平面方程。,解法一,两边对y求导，,因此,切向量,切线方程,或,法平面方程,或,-206-,解法二,先求曲面,在点,处的,切平面方程，,令,则在点,处,的法向量为,切面方程为,即,所以所求的切线方程为,其方向向量为,所求曲线的法平面方程,-207-,例3,求过直线,且与曲线,在点,处的切线平行的平面方程。,解,过已知直线的平面束方程为,其法向量为,曲线方程两边对x求导得,即,-208-,由于,因此,所以,因此已知曲线在点,处切向量,代入平面束方程,得所求平面方程为,-209-,例4,设,为可微函数，,且,曲面,通过点,求曲面过该点的切平面与法线方程。,解,令,则曲面方程为,因此曲面在点,的法向量,切平面方程,或,法线方程,或,-210-,例5,证明曲面,上任意一点,处的切平面在三个坐标轴截距的平方和为常数。,证,设,为曲面上任意一点，,则,令,则曲面在,处的法向量为,切平面方程,-211-,即,截距式方程,所以,-212-,例6,证明曲面,上任意一点处的,切平面都通过原点.,证,设曲面上任意一点为,由于,所以曲面在点P 处法向量为,切面方程为,-213-,即,所以切平面过原点。,-214-,二 方向导数与梯度,设函数,一阶偏导数连续，,方向l 的方向,余弦为,则 u 在点M 处沿l 方向的方向,导数为,梯度为,且指向函数u 的函数值增加的一方。,函数 u 在点M 处取最,大方向导数的方向。,其模为最大方向导数,函数u 在点M 处梯度的方向为,函数u 过点M 的等值,面的法向，,函数u 在点M 处梯度的方向为,-215-,例7,求函数,在点,处,沿点A 指向点,方向的方向导数。,解,-216-,例8,求函数,在点,处的最大,方向导数，,沿x 轴负向的方向导数。,及其取最大方向导数的方向，,在点,处,解,根据梯度的定义，,梯度的方向为取最大方向导数,的方向，,梯度的模为最大方向导数。,所以取最大方向导,数的方向为,沿x 轴负向的方向导数为,-217-,例9,求函数,在点,处沿曲面,在此点处沿内法向的方向导数。,解,曲面在点,处的法向为,内法向,所以,-218-,例10,求函数,在点,处沿曲,线,在此点的内法线方向的方向导数。,因此法线方向为,因为曲线切线的斜率为,所以法线的斜率为,解法一,内法线方向为,所以,-219-,解法二,曲线,在点P 处的内法向,刚好,为函数,过点P 的等值线,的法向，,且指向函数值z 增加的方向，,由梯度的几何意义,知,-220-,三 函数的极值，最值，拉格朗日乘子法,偏导数存在函数,的极值点一定是驻点。,如果,为函数,的驻点，,且,若,当,时，,为极大值点，,当,时，,为极大值点，,若,不是极,值点。,求有界闭区域D上的最值,即为比较D 的内部的驻点的,函数值,与D 的边界上的最值的大小。,函数,在条件,下的极值,一定是,的驻点。,-221-,例11,求函数,的极值。,解,得驻点,当,时，,与,因此函数在点,处取极大值,当,时，,因此函数在点,处不取极值,-222-,例12,求函数,在闭区域,的最大、最小值。,解,得,的驻点,下面求函数,在,上最值，,即求,的最值，,最小值,（当,时，,最大值,（当,时，,而,因此,-223-,例13,求过点(1,2,3)的一个平面，使其第一象限,部分与三坐标面围成的立体的体积最小。,解,设所求平面方程为,过点,因此,令,则,-224-,因此,代入,得,根据题意知最小体积的四面体存在，,因此所求的平面为,最小体积为,-225-,例14,在椭球面,上求距离平面,的最远、最近点，,并求最长、最短距离。,解,设,为椭球面上任意一点，,其到已知,平面的距离,为方便起见，作拉格朗日函数,则由,-226-,得,代入,得,由于,所以最近点为,最远点,最短距离为,最长距离为,-227-,求曲线,例15,到,的最短距离。,解,设,为曲线上任意一点，,则其到xoy 面,的距离,作拉格朗日函数,则由,或,所以最短距离为,