高等数学第六版 第一章 函数与极限课件.ppt

第一节 映射与函数,一、集合二、映射三、函数四、小结,第一章 函数与极限,一、集合,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,集合的运算,（1）集合的并,（2）集合的交,（3）集合的差,（4）集合的补,集合的运算律,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）分配律：,（4）摩根律：,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,4.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x,y,t等表示变量.,5.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,二、映射,1 映射概念,设 是两个非空集合，如果存在一个法则,使得对于 中每个元素，按法则 在 中有唯一确定的元素 与之对应，则 称为从 到 的映射，记作 其中 称为元素（在映射 下）的像，并记作，即 而元素 称为元素（在映射 下）的一个原像；集合 称为映射 的定义域，记作，即；中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，记作 或，即,从上述映射的定义中，需要注意的是：,（1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合，即定义域；集合，即值域的范围：；对应法则，使对每个，有唯一确定的 与之对应.,（2）对每个，元素 的像 是唯一的；而对于每个，元素 的原像不一定是唯一的；映射 的值域 是 的一个子集，即，不一定.,设 Y 是从集合 到集合 的映射，若，即 中任一元素 都是 中某元素的像，则称 为 到 上的映射或满射；若对 中任意两个不同元素，它们的像，则称 为 到 的单射；若映射 既是单射又是满射，则称 为一一映射（或双射）,满射、单射与双射,设 是从集合 到集合 的映射，则由定义，对每个 有唯一的，适合.于是，可以定义一个从 到 的新映射，即 对每个，规定，这 满足.这个映射 称为 的逆映射，记作，其定义域，值域,2.逆映射与复合映射,注意：只有单射才存在逆映射.,复合映射：设有两个映射 其中.则有映射 可以定义一个从 的对应法则，它将每个 映成.显然，这个对应法则确定了一个从 的映射，这个映射称为映射 构成的复合映射，记作，即,注意：的值域 必须包含在 的定义域内，即,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,三、函数,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,(1)符号函数,几个特殊的函数举例,(2)取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3)狄利克雷函数,(4)取最值函数,例1,解,故,有界,无界,M,-M,y,x,o,X,（1）函数的有界性:,2、函数的特性,（2）函数的单调性:,（3）函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,（4）函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,例2,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,3、反函数与复合函数,(1)反函数,设函数,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,（2）、复合函数,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,5、初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数.,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数.,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,4.基本初等函数,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x=0,当 x 0,取整函数,当,第二节 数列的极限,一、概念的引入二、数列的定义三、数列极限的定义四、收敛数列的性质五、小结,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,数列与函数,几何意义,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,通过上面演示实验的观察:,例如,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛a,记为,数列极限的描述定义,问题:,“无限增大”，“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它？,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,数列极限的精确定义,几何解释:,简记形式,0,NN 当nN时 有|xna|.,0,NN 当nN时 有|xna|.,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,0,NN 当nN时 有|xna|.,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,0,NN 当nN时 有|xna|.,例3,证,0,NN 当nN时 有|xna|.,例4,分析:,证明,0,NN 当nN时 有|xna|.,四、收敛数列的性质,1、有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,3.收敛数列的保号性,定理3 如果,证,从而有,推论 如果数列,4、子数列的收敛性,注意：,例如，,定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,第三节 函数的极限,一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结 练习题,一、函数极限的定义,1、自变量趋于无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,1、定义：,2、另两种情形:,3、几何解释:,例1,证,2、自变量趋向有限值时函数的极限,1、定义：,2、几何解释:,注意：,例2,证,例3,证,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,二、函数极限的性质,1.有界性,2.唯一性,定理(保号性),推论2,3.函数极限的局部保号性,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,三、小结,函数极限的统一定义,(见下表),第四节 无穷小与无穷大,一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,2、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界，,证,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,第五节 极限运算法则,一、极限运算法则二、求极限方法举例三、小结 思考题,一、极限运算法则,定理,证,由无穷小运算法则,得,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,二、求极限方法举例,例1,解,小结:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先变形再求极限.,解,例6,例7,解,左右极限存在且相等,例8.求,解:方法 1,则,令,原式,方法 2,（变量替换）,（有理化）,意义：,例8,解,第六节 极限存在准则 两个重要极限,一、极限存在准则二、两个重要极限三、小结 思考题,一、极限存在准则,1.夹逼准则,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则 和准则 称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼定理得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例2,证,(舍去),二、两个重要极限,(1),若,则,推广：,例3,解,(2),推广：,1）,2）,3）若,则,4）若,则,例4,解,例5,解1,解2,原式=,第七节 无穷小的比较,一、无穷小的比较二、等价无穷小代换三、小结 思考题,一、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,例如，,例1,解,证,必要性,充分性,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,例,解,二、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,例,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,例,解,例,解,解,错,说明:,(1)无穷小量和差取低阶规则:,若=o(),(2)无穷小量和差代替规则:,例如,例如,(3)无穷小量因式代替规则:,界,则,例如,(4)无穷大量和差取高阶规则:,例如,第八节 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性二、函数的间断点三、小结 思考题,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,或左右极限都存在的间断点统称为第一类间断点.,3.第二类间断点,例6,解,例7,解,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,其余各点处处间断.,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例8,解,第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性,一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性,一、四则运算的连续性,定理1,例如,二、反函数与复合函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,证,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例1,解,例2,解,同理可得,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,例3,例4,解,解,一、最值定理,二、介值定理,第九节 闭区间上连续函数的性质,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论.,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,二、介值定理,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,例1.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,上连续,且恒为正,例2.设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令,则,使,故由零点定理知,存在,即,当,时,取,或,则有,证明:,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,则,证明至少存在,使,提示:令,则,易证,1.设,一点,2,至少有一个不超过 4 的正根.,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,