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高二数学课件,高二新授课,数列的极限,一类数列的变化特征 数列极限的定义 几个基本数列的极限 问题讨论 数列极限概念的小结,数列的极限,通过图像观察数列的特性,数列的图像（点击按钮调用图像）,通过图表定量观察(1),数列:0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,.,对=0.001与=0.000001,则n3与n6后满足|an-A|,通过图表定量观察(2),数列:1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,.,对=0.1与=0.01,则n3与n6后满足|an-A|,数列极限定义,1.描述性定义:如果对数列an,存在常数A,当数列序号n无限增大时,数列的项an无限接近常数A,称常数A是数列an的极限.2.-N定义任意给定正数0,如果总存在自然数N,当nN时,不等式|an-A|恒成立,则数列an的极限是A.记作:,|an-A|,0,对数列极限定义的说明,若数列an的极限是A,则an可能小于A无限的趋近于A;也可能大于A无限的趋近于A;还可能时而大于A,时而小于A而无限的趋近于A.在极限的全过程中,必须具有绝对的任意性,但在该过程的某一瞬间,又是相对固定的.N的不唯一性.虽然N与有关,但N不是的单值函数,若自然数N满足极限定义的条件,则N+1,N+2,.也必满足该条件.,例1:(1)举出两个以0为极限的数列;(2)举出两个以1为极限的数列;(3)举出两个以A为极限的数列.,解:(1)an=1/n2 bn=(1/2)n,.(2)an=(n+1)/n bn=1+(1/3)n,.(3)an=A+1/n bn=(-1)n(1/n)+A,.,问 题 1,根据极限定义,猜想下列数列的极限(1)_(2)_(3)_(4)_,0,0,0,0,问 题 2,判断下列命题的正确性:,数列an的极限是A,则A一定是该数列中的一项;,任何一个无穷数列必存在极限;,无穷数列的极限是A,指的是:对任意的0,总能在an中找到一项aN,使aN以后有无限项满足|an-A|.,数列(-1)n的极限存在,且偶数项的极限为1,奇数项的极限为-1.,几个基本数列的极限,1.,2.,3.,证明：任给0,由,的证明:,所以,故取N=,(注:,表示1/的整数部分）,所以，当nN时，不等式,恒成立，故数列1/n的极限：,证明：,的证明,任给0,则由|q|1,lg|q|nlg,nlg|q|lg,当|q|0,则当nN时,不等式|qn-0|恒成立;,当|q|=0,显然|0-0|=0 恒成立;,证明:,的证明,任给0,由|c-c|=0,取N=任意自然数,那么当nN时,|c-c|=0 恒成立,所以,数列c的极限是c.,问题讨论,选择题:1.已知非常数的数列an当n时极限为M,则在区间(M-,M+)外,这个数列的项数为:(A)无限项(B)有限项(C)零项(D)有限项与无项项都有可能2.记a1+a2+.+an=Sn,则数列an有极限是数列Sn有极限的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件,B,B,填空题1.数列an中,已知an=(n+2)/2n,则|an-1/2|=_,要使nN时,有|an-1/2|0.001,则N的最小值是_2.数列,问题讨论,的极限是:_,3.数列a,a,a,.,a,.的极限是:_,1/n,1000,0,a,问题讨论,推测下列数列的极限,并用极限定义证明你的结论.1.数列2.|q|1,a1,q0,数列3.数列,的极限是_;,的极限是_;,的极限是_.,1,-1,证明:任给0,由,证明,的极限为1,取,则nN时,不等式,恒成立,所以,证明:,证明,的极限为,任给0,由,|q|n|1-q|,lg|q|nlg|1-q|,nlg|q|lg|1-q|,(|q|1,lg|q|0),故当nN时,不等式,恒成立,所以,证明,证明,的极限为-1,任给0,由,证明,的极限为-1,恒成立,所以数列,的极限是-1.,则当nN时,不等式,对数列极限我们要把握“序号无限增大，数列的项无限接近一个常数”的含义，正确理解它的定义；掌握应用数列极限定义证明数列极限的方法，记住三个基本数列的极限，能应用它们求比较简单的数列的极限。,小结,再见,