正射影及三垂线定理及其逆定理.ppt

正射影和三垂线定理,蝇,9.4(2)正射影和三垂线定理,一、点在平面上的射影,自点P向平面引垂线，垂足P1叫做点P在平面内的正射影(简称射影),P1,P,如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形,则 叫做图形F在这个平面上的射影.,二、图形在平面内的射影,如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做平面的斜线(直线PA),P,A,O,a,斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段(线段AP),斜线和平面的交点叫做斜足(A),容易看出：平面的斜线在平面内的射影仍是一条直线例如在图中，斜线PA上的点A是斜足，PO，点O是垂足，则直线PA在平面内的射影就是直线OA,P,A,O,a,PO,PA分别是平面的垂线、斜线,OA是PA在 内的射影，直线a在平面 内,且a OA,a PA,a平面POA,又 a OA，POOA=O，,PO a,证明：,求证：a PA,已知:,PO，,在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直,三垂线定理,三垂线定理一个平面(垂面）四条直线（垂线，斜线，射影，平面内直线）,A,O,P,三垂线定理 基本图形的特点分析,1:一面,2:四线,3:三垂直,线面垂直,线射垂直,线斜垂直,正,逆,在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直,及其逆定理,1、两平行直线在一平面内的射影不可能是（）A、两平行直线B、两点,2、两直线在平面内的射影是两相交直线，则这两直线的位置关系不是（）A、两异面直线;B、两平行直线 C、两相交直线;D、以上都不对,巩固练习：,D,B,3斜线b在面内的射影为c，直线a c，则a与b（）,A垂直 B不垂直C垂直且相交 D以上都有可能,C、一条直线D、两相交直线,D,4.在正方 体AC1中，求证：(1)AC平面D1DB;,(2)D1B平面ACB1,证明:,所以D1B平面ACB1,5.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上,求证：BAO=CAO,证明：PEAB，,PFAC，PO，,ABOE，ACOF(三垂线定理的逆定理),PE=PF，,OE=OF,点 O 在BAC的角平分线上即BAO=CAO,已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF,6、如图942 道路旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只用量角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解:,测得CD=20m,故电塔顶与道路的距离为25m,A,B,C,D,求证：AD BC,证明：,设O是A在平面BCD内的射影，,ABCD，ACBD，,BOCD，COBD，,（三垂线逆定理）,O是三角形BDC的垂心，,DOBC，（三角形的性质）,ADBC，（三垂线定理）,练习：,证明：,OP平面ABC,AO是PA在平面ABC内的射影，,又AOBC，,PA BC。,（三垂线定理）,练习：,证明：,AC=BC，D是BC的中点，,ABCD，,PD平面ABC，,CD是PC在平面ABC内的射影，,ABPC（三垂线定理）,练习.在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,练习:,解:,证明:,取BC的中点E,连结AE,DE.,AB=AC,AEBC.,DB=DC DEBC.,BC平面AED.,BCAD.,练习.如图，ABCD是矩形，PA平面AC，连结PB、PC、PD，指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直,三由线面垂直，线射垂直得出线斜垂直,解题回顾,三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：,相交直线,异面直线,使用三垂线定理还应注意些什么？,解题回顾,作业：P25第1、2题、3题,作业：已知 PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是ABC的垂心。,